13. 如图,$△ ABC$内接于$\odot O$,$AB$是$\odot O$的直径,$CE$平分$∠ ACB$交$\odot O$于点$E$,过点$E$作$EF// AB$,交$CA$的延长线于点$F$.
(1)求证:$EF$与$\odot O$相切.
(2)若$∠ CAB=30°$,$AB=8$,过点$E$作$EG⊥ AC$交$AC$于点$M$,交$\odot O$于点$G$,交$AB$于点$N$,求$\overset{\frown}{AG}$的长.

13. (1)证明:如图,连接 OE.
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°.
∵CE 平分∠ACB,
∴∠ACE=$\dfrac{1}{2}$∠ACB=45°,
∴∠AOE=2∠ACE=90°,
∴OE⊥AB.
∵EF//AB,
∴OE⊥EF.
∵OE 为⊙O 的半径,
∴EF 与⊙O 相切.
(2)如图,连接 OG、OC.
∵∠CAB=30°,
∴∠BOC=60°,
∴∠AOC=120°.
∵∠ACE=45°,EG⊥AC,
∴∠MEC=45°,
∴∠GOC=2∠MEC=2×45°=90°,
∴∠AOG=∠AOC-∠GOC=120°-90°=30°.
∵AB=8,
∴OA=OG=4,
∴$\overset{\frown}{AG}$ 的长为$\dfrac{30π×4}{180}=\dfrac{2π}{3}$.

【分析】
(1) 要证明EF与⊙O相切，需依据切线判定定理，证明OE⊥EF。已知AB是⊙O直径，可得直径所对圆周角∠ACB=90°；结合CE平分∠ACB，算出∠ACE=45°；再用圆周角定理（同弧所对圆心角是圆周角的2倍）推出∠AOE=90°，即OE⊥AB；最后由EF//AB，得到OE⊥EF，完成切线证明。
(2) 求$\overset{\frown}{AG}$的长，需用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，先确定半径OA=4；再通过∠CAB=30°算出∠AOC=120°，结合EG⊥AC和∠ACE=45°得∠MEC=45°，用圆周角定理得圆心角∠GOC=90°，进而算出∠AOG=30°，代入公式计算弧长。
【解析】
(1) 证明：连接OE。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°。
由圆周角定理，同弧AE所对的圆心角∠AOE=2∠ACE=90°，
∴OE⊥AB。
又
∵EF//AB，
∴OE⊥EF。
∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切（经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）。
(2) 解：连接OG、OC。
∵AB是⊙O的直径，AB=8，
∴OA=OC=OG=$\frac{1}{2}$AB=4。
在△AOC中，OA=OC，∠CAB=30°，
∴∠AOC=180°-2×30°=120°。
∵EG⊥AC，
∴∠EMC=90°，在△EMC中，∠ACE=45°，
∴∠MEC=180°-90°-45°=45°。
由圆周角定理，同弧GC所对的圆心角∠GOC=2∠MEC=90°。
∴∠AOG=∠AOC - ∠GOC=120°-90°=30°。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AG}$的长为$\frac{30π×4}{180}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\overset{\frown}{AG}$的长为$\dfrac{2π}{3}$
【知识点】
切线的判定、圆周角定理、弧长的计算
【点评】
本题为圆的综合题，综合考查切线判定、圆周角定理及弧长公式的应用，解题需熟练运用圆的性质，逻辑清晰，步骤规范，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

14. 在平面直角坐标系中, 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象与一次函数 $y=2x$ 的图象交于点 $A(a,2)$.
(1)求 $a$、$k$ 的值.
(2)$P$ 是射线 $OA$ 上一点, 过点 $P$ 分别作 $x$ 轴、$y$ 轴的垂线交函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象于点$B$、$C$. 将线段 $PB$、$PC$ 和函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象在点 $B$、$C$ 之间的部分所围成的区域(不含边界) 记为 $W$, 我们把横、纵坐标都是整数的点叫作整点. 利用函数图象解决下列问题.
①若点 $P$ 的横坐标是 2 , 则区域 $W$ 内整点的坐标为,$S_{△ PAB}=$;
②若区域 $W$ 内恰有 5 个整点, 则点 $P$ 的横坐标 $x_P$ 的取值范围为.

14. (1)
∵函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象与一次函数 $y=2x$ 的图象交于点 A(a,2),
∴2=2a,即 a=1,
∴A(1,2). 将 A(1,2)代入 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$,得 $2=\dfrac{k}{1}$,解得 k=2.
(2)①(1,3) $\dfrac{3}{2}$
解析:由(1)可知,反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$.
∵P 是射线 OA 上一点,点 P 的横坐标是 2,
∴y=2×2=4,
∴P(2,4). 将 x=2 代入 $y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$,得 y=1;将 y=4 代入$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$,得 $x=\dfrac{1}{2}$,
∴B(2,1),$C(\dfrac{1}{2},4)$. 如图 1,结合函数图象可知,区域 W 内有 1 个整点为(1,3),$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$.
②$2＜x_P≤\dfrac{5}{2}$ 解析:区域 W 内恰有 5 个整点,由图可知,点 P 只能位于点 A 的上方,如图 2. 当点 P 的纵坐标为 5 时,横坐标为 $x=\dfrac{y}{2}=\dfrac{5}{2}$,结合图象可知,当 $2＜x_P≤\dfrac{5}{2}$时,区域 W 内恰有 5 个整点.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用点在函数图象上的性质，通过待定系数法求参数；第(2)问结合反比例函数和一次函数的图象，先确定函数解析式，再通过点的坐标分析区域内的整点、计算三角形面积，最后根据整点数量确定参数范围，核心是数形结合思想的应用。
【解析】
(1)
∵点$A(a,2)$在一次函数$y=2x$的图象上，将$y=2$代入$y=2x$，得$2=2a$，解得$a=1$，即$A(1,2)$。
把$A(1,2)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{1}$，解得$k=2$。
(2) ① 由(1)知反比例函数解析式为$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$。
∵$P$在射线$OA$上，$OA$的解析式为$y=2x$，$P$的横坐标为$2$，
∴$P$的纵坐标为$2×2=4$，即$P(2,4)$。
过$P$作$x$轴垂线交反比例函数于$B$，将$x=2$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$y=1$，故$B(2,1)$；
过$P$作$y$轴垂线交反比例函数于$C$，将$y=4$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$x=\dfrac{1}{2}$，故$C(\dfrac{1}{2},4)$。
结合图象，区域$W$内（不含边界）的整点为$(1,3)$。
计算$S_{△ PAB}$：$A(1,2)$，$P(2,4)$，$B(2,1)$，$PB$长度为$4-1=3$，点$A$到直线$PB$（$x=2$）的水平距离为$2-1=1$，
∴$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$。
② 区域$W$内恰有$5$个整点，结合函数图象，当$P$的纵坐标为$5$时，横坐标$x_P=\dfrac{5}{2}$，结合图象可知，当$2＜x_P≤\dfrac{5}{2}$时，区域$W$内恰有$5$个整点。
【答案】
(1) $a=1$，$k=2$；
(2) ① $(1,3)$，$\dfrac{3}{2}$；② $2＜x_P≤\dfrac{5}{2}$；


【知识点】
反比例函数与一次函数交点，整点问题，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的性质，运用待定系数法求解析式，结合数形结合思想分析区域内的整点及面积，需要学生具备较强的图象分析和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5