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一、选择题
1. 在 6,7,8,9 这四个数字中任意选取两个数字,则这两个数字之和为奇数的概率是 （
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{1}{4}$
1. 在 6,7,8,9 这四个数字中任意选取两个数字,则这两个数字之和为奇数的概率是 （
C
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{1}{4}$
答案
1. C 解析:画树状图如图所示.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中这两个数字之和为奇数的结果有8种,
∴这两个数字之和为奇数的概率是$\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
要计算从6、7、8、9中选取两个数字，其和为奇数的概率，需先确定所有等可能的选取结果总数，再找出和为奇数的结果数，最后利用概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算。通过树状图可清晰呈现所有等可能结果，便于统计符合条件的数量。
【解析】
解：由树状图可知，从6、7、8、9中任意选取两个数字，共有12种等可能的结果。
两个数字之和为奇数的条件是：一个数为奇数，另一个数为偶数。在6、7、8、9中，偶数有6、8共2个，奇数有7、9共2个，因此和为奇数的结果数为2×2=8种。
根据概率公式，所求概率为$\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
概率计算、树状图法
【点评】
本题考查用树状图法求简单事件的概率，核心是准确列举所有等可能结果并统计符合条件的结果，属于基础概率题，需注意和为奇数的数的奇偶性特征。
【难度系数】
0.5
要计算从6、7、8、9中选取两个数字，其和为奇数的概率，需先确定所有等可能的选取结果总数，再找出和为奇数的结果数，最后利用概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算。通过树状图可清晰呈现所有等可能结果，便于统计符合条件的数量。
【解析】
解：由树状图可知，从6、7、8、9中任意选取两个数字，共有12种等可能的结果。
两个数字之和为奇数的条件是：一个数为奇数，另一个数为偶数。在6、7、8、9中，偶数有6、8共2个，奇数有7、9共2个，因此和为奇数的结果数为2×2=8种。
根据概率公式，所求概率为$\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
概率计算、树状图法
【点评】
本题考查用树状图法求简单事件的概率，核心是准确列举所有等可能结果并统计符合条件的结果，属于基础概率题，需注意和为奇数的数的奇偶性特征。
【难度系数】
0.5
2. 若一组数据$2,3,4,5,x$的方差比另一组数据$5,6,7,8,9$的方差大，则$x$的值可能是（
A.2
B.4
C.6
D.8
D
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
2. D 解析:在数据 5,6,7,8,9 中,相邻两个数相差为 1,而数据 2,3,4,5,$x$ 前 4 个数据相邻两个数也相差 1,当 $x=1$ 或$x=6$ 时,两组数据的方差相等,而数据 2,3,4,5,$x$ 的方差比另一组数据 5,6,7,8,9 的方差大,则 $x＜1$ 或 $x＞6$,$\therefore x$ 的值可能是 8.
解析
【分析】
首先明确方差的意义：方差用于衡量数据的波动程度，方差越大，数据的波动越大。先计算已知数据组的方差，再分析第一组数据的方差需大于该值，通过代入选项验证或结合数据结构判断x的取值。
【解析】
1. 计算数据5,6,7,8,9的方差：
平均数$\bar{x}_2=\frac{5+6+7+8+9}{5}=7$，
方差$s_2^2=\frac{(5-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$。
2. 分析第一组数据2,3,4,5,x的方差需大于2：
当x=6时，第一组为2,3,4,5,6，平均数$\bar{x}_1=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4$，方差$s_1^2=\frac{(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2}{5}=2$，与第二组方差相等，不符合；
代入选项A（x=2）：第一组数据为2,3,4,5,2，平均数$\bar{x}_1=3.2$，方差$s_1^2=1.36＜2$，不符合；
代入选项B（x=4）：第一组数据为2,3,4,5,4，平均数$\bar{x}_1=3.6$，方差$s_1^2=1.04＜2$，不符合；
代入选项D（x=8）：第一组数据为2,3,4,5,8，平均数$\bar{x}_1=4.4$，方差$s_1^2=4.24＞2$，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
方差、数据波动程度
【点评】
本题考查方差的计算及意义，核心是理解方差反映数据波动，通过计算验证选项即可得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
首先明确方差的意义：方差用于衡量数据的波动程度，方差越大，数据的波动越大。先计算已知数据组的方差，再分析第一组数据的方差需大于该值，通过代入选项验证或结合数据结构判断x的取值。
【解析】
1. 计算数据5,6,7,8,9的方差：
平均数$\bar{x}_2=\frac{5+6+7+8+9}{5}=7$，
方差$s_2^2=\frac{(5-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$。
2. 分析第一组数据2,3,4,5,x的方差需大于2：
当x=6时，第一组为2,3,4,5,6，平均数$\bar{x}_1=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4$，方差$s_1^2=\frac{(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2}{5}=2$，与第二组方差相等，不符合；
代入选项A（x=2）：第一组数据为2,3,4,5,2，平均数$\bar{x}_1=3.2$，方差$s_1^2=1.36＜2$，不符合；
代入选项B（x=4）：第一组数据为2,3,4,5,4，平均数$\bar{x}_1=3.6$，方差$s_1^2=1.04＜2$，不符合；
代入选项D（x=8）：第一组数据为2,3,4,5,8，平均数$\bar{x}_1=4.4$，方差$s_1^2=4.24＞2$，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
方差、数据波动程度
【点评】
本题考查方差的计算及意义，核心是理解方差反映数据波动，通过计算验证选项即可得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
3. 某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内气体的压强$p$(单位:Pa)是气球体积$V$(单位:$\mathrm{m}^3$)的反比例函数,且当$V=1.5\ \mathrm{m}^3$时,$p=16\ 000\ \mathrm{Pa}$,当气球内的气压大于$40\ 000\ \mathrm{Pa}$时,气球将爆炸.为确保气球不爆炸,气球的体积应（
A.不小于$0.5\ \mathrm{m}^3$
B.不大于$0.5\ \mathrm{m}^3$
C.不小于$0.6\ \mathrm{m}^3$
D.不大于$0.6\ \mathrm{m}^3$
C
）A.不小于$0.5\ \mathrm{m}^3$
B.不大于$0.5\ \mathrm{m}^3$
C.不小于$0.6\ \mathrm{m}^3$
D.不大于$0.6\ \mathrm{m}^3$
答案
3. C 解析:设 $p$ 与 $V$ 的函数表达式为 $p=\dfrac{k}{V}$.$\because$ 当 $V=1.5\ \mathrm{m}^3$ 时,$p=16\ 000\ \mathrm{Pa}$,$\therefore k=Vp=24\ 000$,$\therefore p$ 与$V$ 的函数表达式为 $p=\dfrac{24\ 000}{V}$.$\because$ 气球内的气压大于 $40\ 000\ \mathrm{Pa}$时,气球将爆炸,$\therefore \dfrac{24\ 000}{V}≤40\ 000$,解得 $V≥0.6$,即气球的体积应不小于 $0.6\ \mathrm{m}^3$.
解析
【分析】
本题中压强p与体积V是反比例函数关系，解题思路为：①设反比例函数的一般形式；②利用已知的V和p的值求出常数k，确定函数解析式；③根据“气球不爆炸时压强≤40000Pa”的条件，代入解析式得到关于V的不等式；④解不等式得到V的取值范围，结合选项选出答案。
【解析】
解：设压强$ p $与体积$ V $的反比例函数表达式为$ p = \dfrac{k}{V} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）。
将$ V=1.5\ \mathrm{m}^3 $，$ p=16000\ \mathrm{Pa} $代入表达式，得：
$ 16000 = \dfrac{k}{1.5} $，解得$ k = 16000 × 1.5 = 24000 $。
因此，$ p $与$ V $的函数表达式为$ p = \dfrac{24000}{V} $。
根据题意，气球不爆炸需满足压强$ p ≤ 40000\ \mathrm{Pa} $，代入函数式得：
$ \dfrac{24000}{V} ≤ 40000 $。
因为体积$ V＞0 $，不等式两边同乘$ V $不等号方向不变，得：
$ 24000 ≤ 40000V $，
两边同除以40000，解得$ V ≥ 0.6\ \mathrm{m}^3 $。
即气球的体积应不小于$ 0.6\ \mathrm{m}^3 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用、一元一次不等式应用
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的典型应用，需先确定函数解析式，再结合题意转化为不等式求解，关键在于正确建立函数关系并注意体积为正的隐含条件，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题中压强p与体积V是反比例函数关系，解题思路为：①设反比例函数的一般形式；②利用已知的V和p的值求出常数k，确定函数解析式；③根据“气球不爆炸时压强≤40000Pa”的条件，代入解析式得到关于V的不等式；④解不等式得到V的取值范围，结合选项选出答案。
【解析】
解：设压强$ p $与体积$ V $的反比例函数表达式为$ p = \dfrac{k}{V} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）。
将$ V=1.5\ \mathrm{m}^3 $，$ p=16000\ \mathrm{Pa} $代入表达式，得：
$ 16000 = \dfrac{k}{1.5} $，解得$ k = 16000 × 1.5 = 24000 $。
因此，$ p $与$ V $的函数表达式为$ p = \dfrac{24000}{V} $。
根据题意，气球不爆炸需满足压强$ p ≤ 40000\ \mathrm{Pa} $，代入函数式得：
$ \dfrac{24000}{V} ≤ 40000 $。
因为体积$ V＞0 $，不等式两边同乘$ V $不等号方向不变，得：
$ 24000 ≤ 40000V $，
两边同除以40000，解得$ V ≥ 0.6\ \mathrm{m}^3 $。
即气球的体积应不小于$ 0.6\ \mathrm{m}^3 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用、一元一次不等式应用
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的典型应用，需先确定函数解析式，再结合题意转化为不等式求解，关键在于正确建立函数关系并注意体积为正的隐含条件，难度适中。
【难度系数】
0.6
4. 已知 $m$、$n$ 是方程 $x^{2}-3x-4=0$ 的两根,则 $(m^{2}-1)(n^{2}-1)$ 的值是（
A.$0$
B.$-6$
C.$-7$
D.$6$
A
）A.$0$
B.$-6$
C.$-7$
D.$6$
答案
4. A 解析:$\because m、n$ 是方程 $x^2-3x-4=0$ 的两根,$\therefore m+n=3$,$mn=-4$,$\therefore (m^2-1)(n^2-1)=m^2n^2-m^2-n^2+1=(mn)^2-(m+n)^2+2mn+1=(-4)^2-3^2+2×(-4)+1=0$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，转化为用两根和与两根积表示的形式，最后代入计算即可。
【解析】
解：因为$m$、$n$是方程$x^2 - 3x - 4 = 0$的两根，根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a}$，所以可得：
$m + n = 3$，$mn = -4$。
对$(m^2 - 1)(n^2 - 1)$展开变形：
$\begin{aligned}(m^2 - 1)(n^2 - 1)&= m^2n^2 - m^2 - n^2 + 1\\&= (mn)^2 - (m^2 + n^2) + 1\\又因为$m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn$，代入得：\\&= (mn)^2 - [(m + n)^2 - 2mn] + 1\\&= (mn)^2 - (m + n)^2 + 2mn + 1\end{aligned}$
将$m + n = 3$，$mn = -4$代入计算：
$\begin{aligned}原式&= (-4)^2 - 3^2 + 2×(-4) + 1\\&= 16 - 9 - 8 + 1\\&= 0\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题考查韦达定理的应用，核心是将所求代数式转化为用两根和与两根积表示的形式，计算时需注意符号处理，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，转化为用两根和与两根积表示的形式，最后代入计算即可。
【解析】
解：因为$m$、$n$是方程$x^2 - 3x - 4 = 0$的两根，根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a}$，所以可得：
$m + n = 3$，$mn = -4$。
对$(m^2 - 1)(n^2 - 1)$展开变形：
$\begin{aligned}(m^2 - 1)(n^2 - 1)&= m^2n^2 - m^2 - n^2 + 1\\&= (mn)^2 - (m^2 + n^2) + 1\\又因为$m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn$，代入得：\\&= (mn)^2 - [(m + n)^2 - 2mn] + 1\\&= (mn)^2 - (m + n)^2 + 2mn + 1\end{aligned}$
将$m + n = 3$，$mn = -4$代入计算：
$\begin{aligned}原式&= (-4)^2 - 3^2 + 2×(-4) + 1\\&= 16 - 9 - 8 + 1\\&= 0\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题考查韦达定理的应用，核心是将所求代数式转化为用两根和与两根积表示的形式，计算时需注意符号处理，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 如图,点 B 在半圆O 上,直径 $AC=12,∠ BAC=30^{\circ }$,则图中阴影部分的面积为 （
A.$6π$
B.$3π$
C.$\dfrac{3π}{2}$
D.$12π$
A
）A.$6π$
B.$3π$
C.$\dfrac{3π}{2}$
D.$12π$
答案
5. A 解析:$\because O$ 是 $AC$ 的中点,$\therefore$ 线段 $BO$ 是 $△ ABC$ 的中线,$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ BOC}$,$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}OBC}$.$\because ∠ BAC=30°$,$\therefore ∠ BOC=2∠ BAC=2×30°=60°$.$\because$ 直径 $AC=12$,$\therefore OC=6$,$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=\dfrac{60×π×6^2}{360}=6π$.
解析
【分析】首先观察图形，阴影部分面积无法直接计算，可利用三角形等积变换：O是AC中点，△AOB与△COB等底同高，面积相等，因此阴影部分面积等于扇形OBC的面积；接下来需计算扇形OBC的面积，根据圆周角定理求出圆心角∠BOC的度数，结合半径OC的长度，用扇形面积公式即可求解。
【解析】解：
∵AC是半圆O的直径，O为AC中点，AC=12，
∴OC = AC/2 = 6，且△AOB与△COB等底（AO=OC）同高，
∴S△AOB = S△COB，
∴S阴影 = S扇形OBC。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC = 2∠BAC = 2×30°=60°。
根据扇形面积公式：S = (nπr²)/360（n为圆心角度数，r为半径），
代入n=60，r=6，得：
S阴影 = (60×π×6²)/360 = 6π。
【答案】A
【知识点】扇形面积计算、圆周角定理、三角形面积等积变换
【点评】本题为基础几何题，核心是通过等积转化将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，再利用圆周角定理和扇形面积公式求解，解题思路清晰，步骤明确，是初中几何的常规题型。
【难度系数】0.6
【解析】解：
∵AC是半圆O的直径，O为AC中点，AC=12，
∴OC = AC/2 = 6，且△AOB与△COB等底（AO=OC）同高，
∴S△AOB = S△COB，
∴S阴影 = S扇形OBC。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC = 2∠BAC = 2×30°=60°。
根据扇形面积公式：S = (nπr²)/360（n为圆心角度数，r为半径），
代入n=60，r=6，得：
S阴影 = (60×π×6²)/360 = 6π。
【答案】A
【知识点】扇形面积计算、圆周角定理、三角形面积等积变换
【点评】本题为基础几何题，核心是通过等积转化将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，再利用圆周角定理和扇形面积公式求解，解题思路清晰，步骤明确，是初中几何的常规题型。
【难度系数】0.6
二、填空题
6. 某校学生的学期数学成绩满分为 100 分,其中研究性学习成绩占 40%,期末卷面成绩占 60%,小明的两项成绩(百分制)分别是 80 分、90 分,则小明这学期的数学成绩为
6. 某校学生的学期数学成绩满分为 100 分,其中研究性学习成绩占 40%,期末卷面成绩占 60%,小明的两项成绩(百分制)分别是 80 分、90 分,则小明这学期的数学成绩为
86
分.答案
6. 86 解析:小明这学期的数学成绩为 $80×40\%+90×60\%=86$(分).
解析
【分析】这道题考查加权平均数的实际应用，学期数学成绩由研究性学习成绩和期末卷面成绩按不同占比构成，需通过加权平均数的计算方法，将各项成绩乘以对应权重后求和，即可得到小明的学期数学成绩。
【解析】根据加权平均数的计算公式，小明的数学成绩 = 研究性学习成绩×40% + 期末卷面成绩×60%，代入数据计算：$80×40\% + 90×60\% = 32 + 54 = 86$（分）。
【答案】86
【知识点】加权平均数
【点评】本题是加权平均数在实际场景中的基础应用，计算步骤直接，主要考查学生对加权平均数公式的掌握与基本运算能力，属于易得分题。
【难度系数】0.8
【解析】根据加权平均数的计算公式，小明的数学成绩 = 研究性学习成绩×40% + 期末卷面成绩×60%，代入数据计算：$80×40\% + 90×60\% = 32 + 54 = 86$（分）。
【答案】86
【知识点】加权平均数
【点评】本题是加权平均数在实际场景中的基础应用，计算步骤直接，主要考查学生对加权平均数公式的掌握与基本运算能力，属于易得分题。
【难度系数】0.8
7. 已知代数式$A=3x^{2}-x+1$，$B=4x^{2}+3x+7$，则$A\_\_\_\_\_\_B$。（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）
答案
7. $＜$ 解析:$A-B=3x^2-x+1-(4x^2+3x+7)=-x^2-4x-6=-(x+2)^2-2$.$\because -(x+2)^2≤0$,$\therefore -(x+2)^2-2＜0$,即 $A-B＜0$,$\therefore A＜B$.
解析
【分析】要比较代数式A和B的大小，常用作差法：计算A-B的值，通过判断差的正负确定A与B的大小。具体思路为：先代入A、B的表达式计算A-B，再对结果配方，利用平方的非负性判断差的符号，进而得出结论。
【解析】计算A-B：
A - B = (3x² - x + 1) - (4x² + 3x + 7)
= 3x² - x + 1 - 4x² - 3x - 7
合并同类项得：= -x² - 4x - 6
配方变形：= -(x² + 4x + 4) - 2 = -(x + 2)² - 2
∵ (x + 2)² ≥ 0，
∴ -(x + 2)² ≤ 0，因此 -(x + 2)² - 2 ＜ 0，即A - B ＜ 0，故A ＜ B。
【答案】＜
【知识点】整式的加减、配方法
【点评】本题考查用作差法比较代数式大小，通过配方判断差的正负，是整式运算中的基础题型，需熟练掌握作差法和配方的基本操作。
【难度系数】0.6
【解析】计算A-B：
A - B = (3x² - x + 1) - (4x² + 3x + 7)
= 3x² - x + 1 - 4x² - 3x - 7
合并同类项得：= -x² - 4x - 6
配方变形：= -(x² + 4x + 4) - 2 = -(x + 2)² - 2
∵ (x + 2)² ≥ 0，
∴ -(x + 2)² ≤ 0，因此 -(x + 2)² - 2 ＜ 0，即A - B ＜ 0，故A ＜ B。
【答案】＜
【知识点】整式的加减、配方法
【点评】本题考查用作差法比较代数式大小，通过配方判断差的正负，是整式运算中的基础题型，需熟练掌握作差法和配方的基本操作。
【难度系数】0.6
8. 如图,在$4×4$的正方形网格中,黑色部分的图形构成一个轴对称图形,现在任选取一个白色的小正方形并涂黑,使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是
$\dfrac{5}{13}$
.答案
8. $\dfrac{5}{13}$ 解析:如图,根据轴对称图形的概念,白色的小正方形有 13 个,其中再涂黑一个小正方形,能构成一个轴对称图形的结果有 5 种,$\therefore$ 使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 $\dfrac{5}{13}$.
解析
【分析】
首先明确解题思路：第一步，计算4×4网格中白色小正方形的总数量；第二步，依据轴对称图形的定义，找出涂黑后能让黑色部分仍为轴对称图形的白色小正方形数量；第三步，利用概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算所求概率。
【解析】
解：4×4的正方形网格中，小正方形总数为16个，观察图形可知已涂黑的黑色小正方形有5个，因此白色小正方形的总数为 $16 - 5 = 13$ 个。
根据轴对称图形的概念，逐一分析每个白色小正方形涂黑后的图形，可得共有5个白色小正方形涂黑后，黑色部分仍构成轴对称图形。
根据概率公式，所求概率为 $\frac{5}{13}$。
【答案】
$\dfrac{5}{13}$
【知识点】
轴对称图形、概率计算
【点评】
本题将轴对称图形与概率计算相结合，解题关键是准确统计白色小正方形总数及涂黑后能使黑色部分成为轴对称图形的数量，考查学生对基础概念的应用能力，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.5
首先明确解题思路：第一步，计算4×4网格中白色小正方形的总数量；第二步，依据轴对称图形的定义，找出涂黑后能让黑色部分仍为轴对称图形的白色小正方形数量；第三步，利用概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算所求概率。
【解析】
解：4×4的正方形网格中，小正方形总数为16个，观察图形可知已涂黑的黑色小正方形有5个，因此白色小正方形的总数为 $16 - 5 = 13$ 个。
根据轴对称图形的概念，逐一分析每个白色小正方形涂黑后的图形，可得共有5个白色小正方形涂黑后，黑色部分仍构成轴对称图形。
根据概率公式，所求概率为 $\frac{5}{13}$。
【答案】
$\dfrac{5}{13}$
【知识点】
轴对称图形、概率计算
【点评】
本题将轴对称图形与概率计算相结合，解题关键是准确统计白色小正方形总数及涂黑后能使黑色部分成为轴对称图形的数量，考查学生对基础概念的应用能力，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.5
9. 如图,在 $5 × 3$ 的网格图中,每个小正方形的边长均为 1 ,设经过图中格点 $A$、$C$、$B$ 三点的圆弧与 $AE$ 交于点 $H$,则 $\overgroup{AH}$ 的长为
$\dfrac{\sqrt{13}π}{4}$
.答案
9. $\dfrac{\sqrt{13}π}{4}$ 解析:如图,连接 $EB、BH、AB$.$\because BE=AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$,$AE=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$,$\therefore BE^2+AB^2=AE^2$,$\therefore △ ABE$ 是等腰直角三角形,$∠ ABE=90°$,$\therefore ∠ BAE=∠ BEA=45°$.$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore AB$ 是圆的直径,$\therefore ∠ AHB=90°$,$\therefore ∠ ABH=∠ BAE=45°$,$\therefore \overgroup{AH}$ 所对的圆心角为 $90°$,$\therefore \overgroup{AH}$ 的长为 $\dfrac{90×π×\dfrac{\sqrt{13}}{2}}{180}=\dfrac{\sqrt{13}π}{4}$.
解析
【分析】
要计算弧$\overgroup{AH}$的长度，需利用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此需要确定弧$\overgroup{AH}$所对的圆心角和所在圆的半径。首先通过勾股定理计算线段长度，判断$△ ABE$为等腰直角三角形，再结合圆周角定理确定$AB$是经过$A、C、B$三点的圆的直径，进而推出弧$\overgroup{AH}$对应的圆心角，最后代入弧长公式计算。
【解析】
连接$EB、BH、AB$。
1. 计算线段长度：
$BE=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$AB=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{13}$，$AE=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$，因此$BE^2+AB^2=13+13=26=AE^2$，故$△ ABE$是等腰直角三角形，$∠ ABE=90°$，$∠ BAE=45°$。
2. 确定圆的直径：
因为$∠ ACB=90°$，根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是直径，所以$AB$是经过$A、C、B$三点的圆的直径，该圆的半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
3. 确定弧对应的圆心角：
因为$AB$是直径，所以$∠ AHB=90°$，在$△ ABH$中，$∠ BAE=45°$，故$∠ ABH=45°$，即弧$\overgroup{AH}$所对的圆心角为$90°$。
4. 计算弧长：
根据弧长公式，$\overgroup{AH}$的长为$\frac{90×π×\frac{\sqrt{13}}{2}}{180}=\frac{\sqrt{13}π}{4}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{13}π}{4}$
【知识点】
弧长计算，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题结合网格图，综合考查勾股定理、圆周角定理和弧长公式的应用，解题关键是确定经过$A、C、B$三点的圆的直径及弧对应的圆心角，需要学生灵活运用相关定理。
【难度系数】
0.5
要计算弧$\overgroup{AH}$的长度，需利用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此需要确定弧$\overgroup{AH}$所对的圆心角和所在圆的半径。首先通过勾股定理计算线段长度，判断$△ ABE$为等腰直角三角形，再结合圆周角定理确定$AB$是经过$A、C、B$三点的圆的直径，进而推出弧$\overgroup{AH}$对应的圆心角，最后代入弧长公式计算。
【解析】
连接$EB、BH、AB$。
1. 计算线段长度：
$BE=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$AB=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{13}$，$AE=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$，因此$BE^2+AB^2=13+13=26=AE^2$，故$△ ABE$是等腰直角三角形，$∠ ABE=90°$，$∠ BAE=45°$。
2. 确定圆的直径：
因为$∠ ACB=90°$，根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是直径，所以$AB$是经过$A、C、B$三点的圆的直径，该圆的半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
3. 确定弧对应的圆心角：
因为$AB$是直径，所以$∠ AHB=90°$，在$△ ABH$中，$∠ BAE=45°$，故$∠ ABH=45°$，即弧$\overgroup{AH}$所对的圆心角为$90°$。
4. 计算弧长：
根据弧长公式，$\overgroup{AH}$的长为$\frac{90×π×\frac{\sqrt{13}}{2}}{180}=\frac{\sqrt{13}π}{4}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{13}π}{4}$
【知识点】
弧长计算，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题结合网格图，综合考查勾股定理、圆周角定理和弧长公式的应用，解题关键是确定经过$A、C、B$三点的圆的直径及弧对应的圆心角，需要学生灵活运用相关定理。
【难度系数】
0.5
10. 如图,反比例函数 $y=\dfrac{\sqrt{3}}{x}(x＞0)$ 的图象经过菱形 $OABC$ 的顶点 $C$,点 $B$ 在 $y$ 轴上,过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线与反比例函数的图象相交于点 $D$. 若 $∠ A=60°$,则点 $D$ 的坐标是
$(\dfrac{\sqrt{3}}{2},2)$
.答案
10. $(\dfrac{\sqrt{3}}{2},2)$ 解析:设菱形 $OABC$ 的边长为 $a$.$\because ∠ A=60°$,$\therefore △ AOB$ 是等边三角形,易得点 $A$ 的坐标为 $(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}a,\dfrac{1}{2}a)$,$\therefore C(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a,\dfrac{1}{2}a)$.$\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{\sqrt{3}}{x}(x＞0)$ 的图象经过菱形 $OABC$ 的顶点 $C$,$\therefore \dfrac{\sqrt{3}}{2}a·\dfrac{1}{2}a=\sqrt{3}$,解得 $a=2$(负值已舍去),$\therefore$ 菱形 $OABC$ 的边长为 2,$\therefore$ 点 $D$ 的纵坐标为 2. 把 $y=2$ 代入 $y=\dfrac{\sqrt{3}}{x}(x＞0)$,得 $2=\dfrac{\sqrt{3}}{x}$,解得 $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$\therefore$ 点 $D$ 的坐标是 $(\dfrac{\sqrt{3}}{2},2)$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质和反比例函数的特点：首先设菱形OABC的边长为a，利用∠A=60°及菱形邻边相等，可判定△AOB为等边三角形，进而用a表示出点C的坐标；再根据点C在反比例函数图象上，代入解析式求出边长a；最后由BD⊥y轴得点D的纵坐标，代入反比例函数求出横坐标，即可得到点D的坐标。
【解析】
设菱形OABC的边长为a，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=a，
又
∵∠A=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴点A的坐标为$(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}a,\dfrac{1}{2}a)$，
根据菱形的坐标特征，点C的坐标为$(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a,\dfrac{1}{2}a)$，
∵点C在反比例函数$y=\dfrac{\sqrt{3}}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将C点坐标代入得：$\dfrac{\sqrt{3}}{2}a · \dfrac{1}{2}a = \sqrt{3}$，
化简得：$\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}$，
两边同除以$\sqrt{3}$得：$\dfrac{a^2}{4}=1$，
解得$a=2$（$a=-2$舍去，边长为正），
∴菱形边长为2，点B在y轴上，故点B的纵坐标为2，
∵BD⊥y轴，
∴点D的纵坐标与点B相同，为2，
将$y=2$代入$y=\dfrac{\sqrt{3}}{x}$得：$2=\dfrac{\sqrt{3}}{x}$，
解得$x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点D的坐标为$(\dfrac{\sqrt{3}}{2},2)$。
【答案】
$(\dfrac{\sqrt{3}}{2},2)$
【知识点】
反比例函数的性质、菱形的性质
【点评】
本题是反比例函数与菱形的综合题，考查菱形性质、等边三角形判定及反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是通过设边长建立坐标关系，数形结合将几何问题转化为代数计算，需综合运用多个知识点，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合菱形的性质和反比例函数的特点：首先设菱形OABC的边长为a，利用∠A=60°及菱形邻边相等，可判定△AOB为等边三角形，进而用a表示出点C的坐标；再根据点C在反比例函数图象上，代入解析式求出边长a；最后由BD⊥y轴得点D的纵坐标，代入反比例函数求出横坐标，即可得到点D的坐标。
【解析】
设菱形OABC的边长为a，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=a，
又
∵∠A=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴点A的坐标为$(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}a,\dfrac{1}{2}a)$，
根据菱形的坐标特征，点C的坐标为$(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a,\dfrac{1}{2}a)$，
∵点C在反比例函数$y=\dfrac{\sqrt{3}}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将C点坐标代入得：$\dfrac{\sqrt{3}}{2}a · \dfrac{1}{2}a = \sqrt{3}$，
化简得：$\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}$，
两边同除以$\sqrt{3}$得：$\dfrac{a^2}{4}=1$，
解得$a=2$（$a=-2$舍去，边长为正），
∴菱形边长为2，点B在y轴上，故点B的纵坐标为2，
∵BD⊥y轴，
∴点D的纵坐标与点B相同，为2，
将$y=2$代入$y=\dfrac{\sqrt{3}}{x}$得：$2=\dfrac{\sqrt{3}}{x}$，
解得$x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点D的坐标为$(\dfrac{\sqrt{3}}{2},2)$。
【答案】
$(\dfrac{\sqrt{3}}{2},2)$
【知识点】
反比例函数的性质、菱形的性质
【点评】
本题是反比例函数与菱形的综合题，考查菱形性质、等边三角形判定及反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是通过设边长建立坐标关系，数形结合将几何问题转化为代数计算，需综合运用多个知识点，难度适中。
【难度系数】
0.5
