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三、解答题
11. 如图,反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象与一次函数 $y=kx+n$ 的图象交于点 $A(2,a)$、$B(-6,b)$.
(1) 若 $a=6$,求 $m$ 与 $b$ 的值.
(2) 关于 $x$ 的不等式 $kx+n＜\dfrac{m}{x}$ 的解集为
(3) 连接 $OA$、$OB$,若 $△ AOB$ 的面积为 12,则 $m$ 的值为
11. 如图,反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象与一次函数 $y=kx+n$ 的图象交于点 $A(2,a)$、$B(-6,b)$.
(1) 若 $a=6$,求 $m$ 与 $b$ 的值.
(2) 关于 $x$ 的不等式 $kx+n＜\dfrac{m}{x}$ 的解集为
$x＜-6或0＜x＜2$
.(3) 连接 $OA$、$OB$,若 $△ AOB$ 的面积为 12,则 $m$ 的值为
$9$
.答案
11. (1)当 $a=6$ 时,将 $A(2,6)$ 代入 $y=\dfrac{m}{x}$,得 $6=\dfrac{m}{2}$,解得 $m=12$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{12}{x}$. 将 $B(-6,b)$ 代入 $y=\dfrac{12}{x}$,得 $b=-2$.
(2)$x＜-6$ 或 $0＜x＜2$ 解析:观察图象可知,不等式 $kx+n＜\dfrac{m}{x}$ 的解集为 $x＜-6$ 或 $0＜x＜2$.
(3)9 解析:如图,分别过点 $A、B$ 向 $x$ 轴、$y$ 轴作垂线交于点 $G$,$AG$ 交 $x$ 轴于点 $E$,$BG$ 交 $y$ 轴于点 $F$,连接 $OG$,$\therefore S_{△ AOB}+S_{△ BOG}+S_{△ AOG}=S_{△ ABG}$,$\therefore 12+\dfrac{1}{2}×8×(-b)+\dfrac{1}{2}×2×(a-b)=\dfrac{1}{2}×8×(a-b)$,$\therefore 3a+b=12$.$\because A(2,a)、B(-6,b)$ 在 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象上,$\therefore a=\dfrac{m}{2}$,$b=-\dfrac{m}{6}$,$\therefore \dfrac{3m}{2}-\dfrac{m}{6}=12$,解得 $m=9$.
解析
【分析】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，分三小问：第(1)问利用反比例函数图象上点的坐标特征，先求反比例函数解析式，再求点B的纵坐标；第(2)问通过观察函数图象，确定一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围，即为不等式的解集；第(3)问结合三角形面积公式，利用反比例函数上点的坐标关系建立方程，求解m的值，解题时需运用数形结合思想。
【解析】
(1) 已知点$A(2,a)$在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$上，且$a=6$，将$A(2,6)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$6=\dfrac{m}{2}$，解得$m=12$，因此反比例函数解析式为$y=\dfrac{12}{x}$。
将点$B(-6,b)$代入$y=\dfrac{12}{x}$，得$b=\dfrac{12}{-6}=-2$，故$m=12$，$b=-2$。
(2) 不等式$kx+n＜\dfrac{m}{x}$的几何意义是：一次函数$y=kx+n$的图象在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$图象下方时对应的x的取值范围。
由图象可知，两函数交点为$A(2,a)$、$B(-6,b)$，因此满足条件的x范围是$x＜-6$或$0＜x＜2$，即不等式的解集为$x＜-6$或$0＜x＜2$。
(3) 因为点$A(2,a)$、$B(-6,b)$在$y=\dfrac{m}{x}$上，所以$a=\dfrac{m}{2}$，$b=\dfrac{m}{-6}=-\dfrac{m}{6}$。
过A、B分别作坐标轴垂线，构造矩形，利用三角形面积关系推导得$S_{△ AOB}=12$时，$3a + b=12$。
将$a=\dfrac{m}{2}$，$b=-\dfrac{m}{6}$代入$3a + b=12$，得$3×\dfrac{m}{2} - \dfrac{m}{6}=12$，化简得$\dfrac{8m}{6}=12$，解得$m=9$。
【答案】
(1) $m=12$，$b=-2$；(2) $x＜-6$或$0＜x＜2$；(3) $9$
【知识点】
反比例函数性质，一次函数与反比例函数交点，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的相关知识，涉及函数解析式求解、不等式解集的图象判断、三角形面积的代数推导，需学生熟练运用数形结合思想，掌握函数图象与性质的关联，是一道综合性较强的解答题。
【难度系数】
0.5
本题是反比例函数与一次函数的综合题，分三小问：第(1)问利用反比例函数图象上点的坐标特征，先求反比例函数解析式，再求点B的纵坐标；第(2)问通过观察函数图象，确定一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围，即为不等式的解集；第(3)问结合三角形面积公式，利用反比例函数上点的坐标关系建立方程，求解m的值，解题时需运用数形结合思想。
【解析】
(1) 已知点$A(2,a)$在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$上，且$a=6$，将$A(2,6)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$6=\dfrac{m}{2}$，解得$m=12$，因此反比例函数解析式为$y=\dfrac{12}{x}$。
将点$B(-6,b)$代入$y=\dfrac{12}{x}$，得$b=\dfrac{12}{-6}=-2$，故$m=12$，$b=-2$。
(2) 不等式$kx+n＜\dfrac{m}{x}$的几何意义是：一次函数$y=kx+n$的图象在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$图象下方时对应的x的取值范围。
由图象可知，两函数交点为$A(2,a)$、$B(-6,b)$，因此满足条件的x范围是$x＜-6$或$0＜x＜2$，即不等式的解集为$x＜-6$或$0＜x＜2$。
(3) 因为点$A(2,a)$、$B(-6,b)$在$y=\dfrac{m}{x}$上，所以$a=\dfrac{m}{2}$，$b=\dfrac{m}{-6}=-\dfrac{m}{6}$。
过A、B分别作坐标轴垂线，构造矩形，利用三角形面积关系推导得$S_{△ AOB}=12$时，$3a + b=12$。
将$a=\dfrac{m}{2}$，$b=-\dfrac{m}{6}$代入$3a + b=12$，得$3×\dfrac{m}{2} - \dfrac{m}{6}=12$，化简得$\dfrac{8m}{6}=12$，解得$m=9$。
【答案】
(1) $m=12$，$b=-2$；(2) $x＜-6$或$0＜x＜2$；(3) $9$
【知识点】
反比例函数性质，一次函数与反比例函数交点，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数与一次函数的相关知识，涉及函数解析式求解、不等式解集的图象判断、三角形面积的代数推导，需学生熟练运用数形结合思想，掌握函数图象与性质的关联，是一道综合性较强的解答题。
【难度系数】
0.5
12. 如图,老李想用长为 70 m 的栅栏,再借助房屋的外墙(图中阴影部分,外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD,并在边 BC 上留一个 2 m 宽的门(建在 EF 处,另用其他材料).请问:当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为 $640\ \mathrm{m}^2$ 的羊圈?
答案
12. 设矩形 $ABCD$ 的边 $AB=x\ \mathrm{m}$,则边 $BC=(72-2x)\ \mathrm{m}$. 根据题意,得 $x(72-2x)=640$,化简,得 $x^2-36x+320=0$,解得 $x_1=16$,$x_2=20$. 当 $x=16$ 时,$72-2x=72-32=40$;当 $x=20$ 时,$72-2x=72-40=32$. 答:当羊圈的长为 40 m、宽为 16 m 或长为 32 m、宽为 20 m 时,能围成一个面积为 $640\ \mathrm{m}^2$ 的羊圈.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确栅栏长度与矩形各边的关系：借助外墙时，栅栏仅围AB、CD和BC部分，且BC上有2m宽的门，因此栅栏总长度等于AB+CD+(BC-2)。设AB为x米，可表示出BC的长度，再根据矩形面积公式（面积=长×宽）结合已知面积列出一元二次方程，解方程后得到x的值，进而求出羊圈的长和宽，需注意区分两种不同的长、宽组合情况。
【解析】
设矩形ABCD的边AB的长度为$ x \, \mathrm{m} $，因为栅栏总长为70 m，BC边上留2 m宽的门，所以边BC的长度为$ (70 + 2 - 2x) \, \mathrm{m} = (72 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式，面积为$ 640 \, \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$ x(72 - 2x) = 640 $
整理得：
$ x^2 - 36x + 320 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 16)(x - 20) = 0 $
解得$ x_1 = 16 $，$ x_2 = 20 $。
当$ x = 16 $时，$ BC = 72 - 2×16 = 40 \, \mathrm{m} $，此时羊圈的宽为16 m，长为40 m；
当$ x = 20 $时，$ BC = 72 - 2×20 = 32 \, \mathrm{m} $，此时羊圈的宽为20 m，长为32 m。
【答案】
当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，能围成一个面积为$ 640 \, \mathrm{m}^2 $的羊圈。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是理清栅栏长度与矩形各边的关系，注意门的长度需额外计入栅栏总长，解方程后要结合实际意义确定长和宽的取值，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先明确栅栏长度与矩形各边的关系：借助外墙时，栅栏仅围AB、CD和BC部分，且BC上有2m宽的门，因此栅栏总长度等于AB+CD+(BC-2)。设AB为x米，可表示出BC的长度，再根据矩形面积公式（面积=长×宽）结合已知面积列出一元二次方程，解方程后得到x的值，进而求出羊圈的长和宽，需注意区分两种不同的长、宽组合情况。
【解析】
设矩形ABCD的边AB的长度为$ x \, \mathrm{m} $，因为栅栏总长为70 m，BC边上留2 m宽的门，所以边BC的长度为$ (70 + 2 - 2x) \, \mathrm{m} = (72 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式，面积为$ 640 \, \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$ x(72 - 2x) = 640 $
整理得：
$ x^2 - 36x + 320 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 16)(x - 20) = 0 $
解得$ x_1 = 16 $，$ x_2 = 20 $。
当$ x = 16 $时，$ BC = 72 - 2×16 = 40 \, \mathrm{m} $，此时羊圈的宽为16 m，长为40 m；
当$ x = 20 $时，$ BC = 72 - 2×20 = 32 \, \mathrm{m} $，此时羊圈的宽为20 m，长为32 m。
【答案】
当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，能围成一个面积为$ 640 \, \mathrm{m}^2 $的羊圈。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是理清栅栏长度与矩形各边的关系，注意门的长度需额外计入栅栏总长，解方程后要结合实际意义确定长和宽的取值，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
13. 如图,铁匠师傅要在等边三角形铁皮($△ ABC$)上切一块最大的且无破损的圆形铁皮($\odot O$).
(1)如图 1,三角形铁皮无破损,用直尺和圆规作出$\odot O$.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)三角形铁皮上有一破损小洞(点$P$).
①如图 2,点$P$在$△ ABC$的中心,用直尺和圆规作出$\odot O$.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
②如图 3,点$P$不在$△ ABC$的中心,画出$\odot O$的示意图,并写出用直尺和圆规作$\odot O$的思路.
(1)如图 1,三角形铁皮无破损,用直尺和圆规作出$\odot O$.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)三角形铁皮上有一破损小洞(点$P$).
①如图 2,点$P$在$△ ABC$的中心,用直尺和圆规作出$\odot O$.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
②如图 3,点$P$不在$△ ABC$的中心,画出$\odot O$的示意图,并写出用直尺和圆规作$\odot O$的思路.
答案
13. (1)如图 1,$\odot O$ 即为所求.
(2)①方法一:如图 2-1,使得 $O$ 为 $BP$ 上靠近点 $P$ 的三等分点;方法二:如图 2-2,使得 $O$ 为 $△ BDE$ 的中心.
②如图 3,$\odot O$ 即为所求.思路:作 $△ ABC$ 的角平分线 $BD$,在 $BD$ 上任取一点 $O'$,作 $\odot O'$ 分别与 $BC、AB$ 相切,连接 $BP$,交 $\odot O'$ 于点 $P'$,过点 $P$ 作 $PO// P'O'$,交 $BD$ 于点 $O$,以点 $O$ 为圆心、$OP$ 的长为半径作 $\odot O$ 即为所求.
解析
【分析】
本题考查等边三角形内切圆的尺规作图，核心是利用等边三角形内心（角平分线交点）的性质，当存在破损点P时，需保证所作圆与三角形两边相切且过点P，可通过三等分点或位似变换的思路完成作图。解题时，先明确等边三角形内切圆的圆心是角平分线交点，再结合点P的位置调整圆心位置，确保圆满足条件。
【解析】
(1) 作等边△ABC的任意两个内角的角平分线，两条角平分线的交点即为圆心O，以O到△ABC任意一边的距离为半径作圆，所得⊙O即为所求的最大无破损圆形铁皮。
(2) ① 方法一：连接BP，取BP上靠近点P的三等分点，该点即为圆心O，以O到△ABC任意一边的距离为半径作圆，所得⊙O即为所求；方法二：作与AB、BC相切且过点P的圆，通过作△BDE（E在AB，D在BC）的中心确定O，再作圆。
② 作图思路：作△ABC的角平分线BD，在BD上任取一点O'，作⊙O'分别与AB、BC相切；连接BP，交⊙O'于点P'；过点P作PO//P'O'，交BD于点O；以点O为圆心、OP的长为半径作⊙O，该圆即为所求，此方法利用位似变换保证圆与AB、BC相切且过点P。
【答案】
(1) 如图1，⊙O即为所求。
(2) ① 方法一：如图2-1，O为BP上靠近点P的三等分点，⊙O即为所求；方法二：如图2-2，O为△BDE的中心，⊙O即为所求。
② 如图3，⊙O即为所求。思路：作△ABC的角平分线BD，在BD上任取一点O'，作⊙O'分别与BC、AB相切，连接BP，交⊙O'于点P'，过点P作PO//P'O'，交BD于点O，以点O为圆心、OP的长为半径作⊙O即为所求。
【知识点】
等边三角形内切圆、尺规作图、位似变换
【点评】
本题围绕等边三角形内切圆的尺规作图展开，既考查基础内切圆作法，又结合破损点P的情况，需灵活运用内心性质和位似思想，对几何作图综合应用能力有一定要求，是初中几何典型题型。
【难度系数】
0.5
本题考查等边三角形内切圆的尺规作图，核心是利用等边三角形内心（角平分线交点）的性质，当存在破损点P时，需保证所作圆与三角形两边相切且过点P，可通过三等分点或位似变换的思路完成作图。解题时，先明确等边三角形内切圆的圆心是角平分线交点，再结合点P的位置调整圆心位置，确保圆满足条件。
【解析】
(1) 作等边△ABC的任意两个内角的角平分线，两条角平分线的交点即为圆心O，以O到△ABC任意一边的距离为半径作圆，所得⊙O即为所求的最大无破损圆形铁皮。
(2) ① 方法一：连接BP，取BP上靠近点P的三等分点，该点即为圆心O，以O到△ABC任意一边的距离为半径作圆，所得⊙O即为所求；方法二：作与AB、BC相切且过点P的圆，通过作△BDE（E在AB，D在BC）的中心确定O，再作圆。
② 作图思路：作△ABC的角平分线BD，在BD上任取一点O'，作⊙O'分别与AB、BC相切；连接BP，交⊙O'于点P'；过点P作PO//P'O'，交BD于点O；以点O为圆心、OP的长为半径作⊙O，该圆即为所求，此方法利用位似变换保证圆与AB、BC相切且过点P。
【答案】
(1) 如图1，⊙O即为所求。
(2) ① 方法一：如图2-1，O为BP上靠近点P的三等分点，⊙O即为所求；方法二：如图2-2，O为△BDE的中心，⊙O即为所求。
② 如图3，⊙O即为所求。思路：作△ABC的角平分线BD，在BD上任取一点O'，作⊙O'分别与BC、AB相切，连接BP，交⊙O'于点P'，过点P作PO//P'O'，交BD于点O，以点O为圆心、OP的长为半径作⊙O即为所求。
【知识点】
等边三角形内切圆、尺规作图、位似变换
【点评】
本题围绕等边三角形内切圆的尺规作图展开，既考查基础内切圆作法，又结合破损点P的情况，需灵活运用内心性质和位似思想，对几何作图综合应用能力有一定要求，是初中几何典型题型。
【难度系数】
0.5
