9. 如图,A、B两点在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象上,它们的横坐标分别为$a$、$b(a＜b)$,过点A作$AC⊥ x$轴于点$C$.若$△ ABC$的面积为1,则$\dfrac{a}{b}$的值为.

9. $\dfrac{3}{5}$ 解析:设 AC=m.
∵A、B 两点在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象上,它们的横坐标分别为 a、b(a＜b),
∴A(a,m),
∴am=3,
∴$m=\dfrac{3}{a}$.
∵$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}m(b-a)=1$,
∴$\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{a}×(b-a)=1$,
∴$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$.

【分析】
要解决本题，需先利用反比例函数的解析式确定A、B两点的坐标，再结合△ABC的底和高，根据三角形面积公式建立等式，最后化简求出$\frac{a}{b}$的值。具体步骤：1. 根据反比例函数$y=\frac{3}{x}$，由A、B的横坐标分别为a、b，写出它们的纵坐标；2. 确定△ABC的底为$b-a$，高为A点的纵坐标$\frac{3}{a}$；3. 代入三角形面积为1的条件，化简得到关于a、b的方程，进而求出$\frac{a}{b}$。
【解析】
设点A的坐标为$(a, y_A)$，点B的坐标为$(b, y_B)$。
因为A、B在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，所以$y_A=\frac{3}{a}$，$y_B=\frac{3}{b}$。
又因为$AC⊥x$轴，所以点C的坐标为$(a,0)$，则$AC=\frac{3}{a}$，△ABC的底边长为$b-a$，高为$AC$的长度$\frac{3}{a}$。
根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×(b-a)×\frac{3}{a}$。
已知$S_{△ABC}=1$，代入得：
$\frac{1}{2}×\frac{3}{a}×(b-a)=1$
两边同乘$2a$得：$3(b-a)=2a$
展开得：$3b - 3a = 2a$
移项合并得：$3b=5a$
两边同时除以$5b$，得：$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】
本题将反比例函数与几何图形结合，考查反比例函数的坐标特征和三角形面积公式的应用，关键是正确确定三角形的底和高，通过建立方程化简求解，难度适中。
【难度系数】
0.5

10. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 C 的坐标为$(6,8)$,以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切,点 A、B 在 x 轴上,且$OA=OB$,P 为$\odot C$上的动点,$∠ APB=90°$,则 AB 长度的最大值为.

10. 32 解析:如图,连接 OC 并延长交⊙C 于点 P,以点 O 为圆心、OP 的长为半径作弧,交 x 轴于点 A、B,此时 AB 的长度最大.
∵点 C 的坐标为(6,8),
∴$OC=\sqrt{6^2+8^2}=10$.
∵以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切,
∴⊙C 的半径为 6,
∴OP=OC+CP=10+6=16.
∵∠APB=90°,OA=OB,
∴AB=2OP=2×16=32,即 AB长度的最大值为 32.

【分析】
要解决这个问题，核心是利用直角三角形和圆的性质转化线段关系：首先，在Rt△APB中，∠APB=90°，OA=OB，说明O是AB的中点，根据直角三角形斜边中线定理，AB=2OP，因此求AB的最大值等价于求OP的最大值；其次，P是⊙C上的动点，圆上一点到定点O的最大距离为“O到圆心C的距离 + ⊙C的半径”，据此计算OP的最大值，进而得到AB的最大值。
【解析】
1. 计算点O到圆心C的距离OC：已知点C坐标为(6,8)，根据两点间距离公式，$OC=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
2. 求⊙C的半径：因为⊙C与y轴相切，圆心C到y轴的距离等于⊙C的半径，即半径$r=6$。
3. 确定OP的最大值：P是⊙C上的动点，O是定点，因此OP的最大值为$OC + r=10+6=16$。
4. 计算AB的最大值：由∠APB=90°，OA=OB，根据直角三角形斜边中线定理，AB=2OP，故AB的最大值为$2×16=32$。
【答案】
32
【知识点】
圆的切线性质、直角三角形斜边中线定理、两点间距离公式
【点评】
本题通过转化思想，将AB的长度与圆上点到定点的距离关联，结合圆的性质求解最大值，关键是利用直角三角形的性质简化线段关系，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

三、解答题
11. 解下列方程：
(1)$(x-1)^{2}=4$；
(2)$3(x-2)^{2}=x(x-2)$；
(3)$3x^{2}-6x+1=0.$

11. (1)$x_1=3,x_2=-1$.
(2)$x_1=3,x_2=2$.
(3)$x_1=1+\dfrac{\sqrt{6}}{3},x_2=1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

【分析】
本题是解三个一元二次方程，需根据方程的结构特点选择合适的解法：(1)方程左边为完全平方形式，右边是常数，适合用直接开平方法；(2)方程两边含相同公因式，适合用提公因式法因式分解；(3)是一般形式的一元二次方程，适合用公式法求解。
【解析】
(1) 对$(x-1)^2=4$，两边直接开平方得：
$x-1=\pm2$，
则$x=1\pm2$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
(2) 对$3(x-2)^2=x(x-2)$，先移项得：
$3(x-2)^2 - x(x-2)=0$，
提取公因式$(x-2)$得：
$(x-2)[3(x-2)-x]=0$，
化简括号内的式子：$3x-6-x=2x-6=2(x-3)$，
则方程变为$(x-2)·2(x-3)=0$，即$(x-2)(x-3)=0$，
所以$x-2=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$。
(3) 对$3x^2-6x+1=0$，用公式法求解：
其中$a=3$，$b=-6$，$c=1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4×3×1=36-12=24$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{6\pm\sqrt{24}}{6}=\frac{6\pm2\sqrt{6}}{6}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{3}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
11. (1)$x_1=3,x_2=-1$；(2)$x_1=3,x_2=2$；(3)$x_1=1+\dfrac{\sqrt{6}}{3},x_2=1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，需根据方程特征选择恰当方法，熟练掌握各类解法是解题核心，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8

12. 某校组织学生去敬老院表演节目,表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌三种类型.小明、小丽两人积极报名参加,各从三种类型中随机挑选一种类型.求小明、小丽选择不同类型的概率.

12. 画树状图如图所示. 由树状图可知,共有 9 种等可能的结果,其中小明、小丽选择不同类型的结果有6 种,
∴小明、小丽选择不同类型的概率是$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.

【分析】
要计算小明、小丽选择不同类型的概率，需先通过树状图法列举两人选择表演类型的所有等可能结果，再找出选择不同类型的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算。小明和小丽各有3种表演类型可选，总结果数为两人选择数的乘积，再统计不同类型的结果数即可求解。
【解析】
根据题意，用树状图法列举所有等可能结果：
1. 小明选择表演类型，有舞蹈、情景剧、唱歌3种情况；
2. 小丽在小明选择后，同样有舞蹈、情景剧、唱歌3种情况，因此总共有$3×3=9$种等可能的结果。
其中，小明和小丽选择相同类型的结果有：（舞蹈，舞蹈）、（情景剧，情景剧）、（唱歌，唱歌），共3种，所以选择不同类型的结果数为$9-3=6$种。
根据概率公式，所求概率为$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
12. 画树状图如图所示. 由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中小明、小丽选择不同类型的结果有6种,
∴小明、小丽选择不同类型的概率是$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.

【知识点】
树状图法求概率、概率的计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，考查树状图法列举等可能结果的应用，通过列举所有情况后计算符合条件的概率，属于初中数学概率部分的基础应用，难度较低，需学生掌握树状图的绘制和概率公式的使用。
【难度系数】
0.6