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一、选择题
1. 若一组数据 2,4,6,x,3,9 的众数是 3,则这组数据的中位数是
（
A.3
B.3.5
C.4
D.4.5
1. 若一组数据 2,4,6,x,3,9 的众数是 3,则这组数据的中位数是
（
B
）A.3
B.3.5
C.4
D.4.5
答案
1. B 解析:
∵这组数据 2,4,6,x,3,9 的众数是 3,
∴x=3,从小到大排列这组数据为 2,3,3,4,6,9,处于中间位置的数是3 和 4,
∴这组数据的中位数是 3.5.
∵这组数据 2,4,6,x,3,9 的众数是 3,
∴x=3,从小到大排列这组数据为 2,3,3,4,6,9,处于中间位置的数是3 和 4,
∴这组数据的中位数是 3.5.
解析
【分析】
要解决本题，需先明确众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大排列后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数则取中间的数。题目已知众数是3，需先根据众数定义确定未知数据x的值，再对所有数据排序，最后计算中位数即可。
【解析】
1. 确定x的值：已知数据2,4,6,x,3,9的众数是3，原数据中3仅出现1次，其他数各出现1次，要使3成为众数，需让3出现次数最多，因此x=3。
2. 排序数据：将所有数据从小到大排列为：2,3,3,4,6,9。
3. 计算中位数：数据共6个（偶数个），中间两个数为3和4，中位数为这两个数的平均数：(3+4)÷2=3.5。
【答案】
B
【知识点】
众数、中位数
【点评】
本题考查统计量中众数和中位数的基础概念，解题核心是先根据众数确定未知数据，再正确排序后计算偶数个数据的中位数，属于初中数学基础题型，需牢记统计量的定义及计算规则。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先明确众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据从小到大排列后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数则取中间的数。题目已知众数是3，需先根据众数定义确定未知数据x的值，再对所有数据排序，最后计算中位数即可。
【解析】
1. 确定x的值：已知数据2,4,6,x,3,9的众数是3，原数据中3仅出现1次，其他数各出现1次，要使3成为众数，需让3出现次数最多，因此x=3。
2. 排序数据：将所有数据从小到大排列为：2,3,3,4,6,9。
3. 计算中位数：数据共6个（偶数个），中间两个数为3和4，中位数为这两个数的平均数：(3+4)÷2=3.5。
【答案】
B
【知识点】
众数、中位数
【点评】
本题考查统计量中众数和中位数的基础概念，解题核心是先根据众数确定未知数据，再正确排序后计算偶数个数据的中位数，属于初中数学基础题型，需牢记统计量的定义及计算规则。
【难度系数】
0.7
2. 如图是一张三角形纸板,顺次连接各边中点得到新三角形,再顺次连接新三角形各边中点得到一个小三角形.将一个飞镖随机投掷到大三角形纸板上(假设飞镖落在纸板上),则飞镖落在阴影部分的概率是（
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{3}{16}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{3}{8}$
B
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{3}{16}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{3}{8}$
答案
2. B 解析:如图,设△GHI 的面积是 S,则△DEF 的面积是 4S,
∴阴影部分的面积是 3S.
∵D、E、F 分别是△ABC 三边的中点,
∴△ABC 的面积是 16S,
∴飞镖落在阴影部分的概率是$\dfrac{3S}{16S}=\dfrac{3}{16}$.
解析
【分析】要计算飞镖落在阴影部分的概率，需先求出阴影部分面积与大三角形面积的比值。利用三角形中位线定理：三角形的中位线所构成的三角形面积是原三角形面积的$\frac{1}{4}$，据此逐步推导各部分面积的关系，最终计算概率。
【解析】设中间空白小三角形$△ GHI$的面积为$S$。
因为$D、E、F$分别是$△ ABC$三边的中点，根据三角形中位线性质，连接三角形各边中点所得的三角形面积是原三角形面积的$\frac{1}{4}$，所以$△ DEF$的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$；
又因为$G、H、I$分别是$△ DEF$三边的中点，同理，$△ GHI$的面积是$△ DEF$面积的$\frac{1}{4}$，因此$△ DEF$的面积为$4S$，$△ ABC$的面积为$4×4S=16S$。
阴影部分的面积为$△ DEF$的面积减去$△ GHI$的面积，即$4S - S = 3S$。
飞镖落在阴影部分的概率为阴影面积与大三角形面积的比值，即$\frac{3S}{16S}=\frac{3}{16}$。
【答案】B
【知识点】三角形中位线性质、几何概率
【点评】本题结合三角形中位线性质考查几何概率的计算，核心是利用中位线分割面积的比例关系，理清各部分面积的倍数关系即可求解，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】设中间空白小三角形$△ GHI$的面积为$S$。
因为$D、E、F$分别是$△ ABC$三边的中点，根据三角形中位线性质，连接三角形各边中点所得的三角形面积是原三角形面积的$\frac{1}{4}$，所以$△ DEF$的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$；
又因为$G、H、I$分别是$△ DEF$三边的中点，同理，$△ GHI$的面积是$△ DEF$面积的$\frac{1}{4}$，因此$△ DEF$的面积为$4S$，$△ ABC$的面积为$4×4S=16S$。
阴影部分的面积为$△ DEF$的面积减去$△ GHI$的面积，即$4S - S = 3S$。
飞镖落在阴影部分的概率为阴影面积与大三角形面积的比值，即$\frac{3S}{16S}=\frac{3}{16}$。
【答案】B
【知识点】三角形中位线性质、几何概率
【点评】本题结合三角形中位线性质考查几何概率的计算，核心是利用中位线分割面积的比例关系，理清各部分面积的倍数关系即可求解，属于基础题型。
【难度系数】0.5
3. 在平面直角坐标系中, 对于点 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y')$, 若 $x ≥ 0$ 时, $y'=-y ; x＜0$ 时, $y'=y+2$,则称点 $Q$ 是点 $P$ 的“演绎点”. 若点 $Q(a,3)$ 是反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 图象上点 $P$ 的“演绎点”,则 $a$ 的值为（
A.$-\dfrac{4}{3}$ 或 $4$
B.$\dfrac{4}{3}$ 或 $-4$
C.$-\dfrac{4}{3}$ 或 $-4$
D.$\dfrac{4}{3}$ 或 $4$
B
）A.$-\dfrac{4}{3}$ 或 $4$
B.$\dfrac{4}{3}$ 或 $-4$
C.$-\dfrac{4}{3}$ 或 $-4$
D.$\dfrac{4}{3}$ 或 $4$
答案
3. B 解析:
∵k=-4＜0,
∴反比例函数的图象在第二、四象限,当 x＞0 时,点 Q(a,3)是反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 图象上点 P的“演绎点”,
∴P(a,-3),
∴-3a=-4,
∴$a=\dfrac{4}{3}$;当 x＜0时,点 Q(a,3)是反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 图象上点 P 的“演绎点”,
∴P(a,3-2),
∴a=-4. 综上所述,a 的值为$\dfrac{4}{3}$或-4.
∵k=-4＜0,
∴反比例函数的图象在第二、四象限,当 x＞0 时,点 Q(a,3)是反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 图象上点 P的“演绎点”,
∴P(a,-3),
∴-3a=-4,
∴$a=\dfrac{4}{3}$;当 x＜0时,点 Q(a,3)是反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 图象上点 P 的“演绎点”,
∴P(a,3-2),
∴a=-4. 综上所述,a 的值为$\dfrac{4}{3}$或-4.
解析
【分析】
要解决本题，需先明确“演绎点”的定义，再结合反比例函数的性质分情况讨论：已知Q(a,3)是P的演绎点，且P在反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$上，需根据P点横坐标a的正负（$a≥0$或$a＜0$），利用“演绎点”的坐标转换规则求出P点的纵坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式求解a，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a≥0$时，根据“演绎点”规则：$x≥0$时，$y'=-y$（$y'$为Q的纵坐标，$y$为P的纵坐标），已知Q(a,3)，则$3=-y$，得P点纵坐标$y=-3$，即$P(a,-3)$。
将$P(a,-3)$代入反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$，得：$-3=-\dfrac{4}{a}$，解得$a=\dfrac{4}{3}$，符合$a≥0$的条件。
2. 当$a＜0$时，根据“演绎点”规则：$x＜0$时，$y'=y+2$，已知Q(a,3)，则$3=y+2$，得P点纵坐标$y=1$，即$P(a,1)$。
将$P(a,1)$代入反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$，得：$1=-\dfrac{4}{a}$，解得$a=-4$，符合$a＜0$的条件。
综上，a的值为$\dfrac{4}{3}$或$-4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数，新定义运算
【点评】
本题结合新定义“演绎点”考查反比例函数的应用，核心是理解新定义的坐标转换规则，需运用分类讨论思想分情况分析P点横坐标的正负，避免漏解，重点考查学生对函数解析式的运用能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先明确“演绎点”的定义，再结合反比例函数的性质分情况讨论：已知Q(a,3)是P的演绎点，且P在反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$上，需根据P点横坐标a的正负（$a≥0$或$a＜0$），利用“演绎点”的坐标转换规则求出P点的纵坐标，再将P点坐标代入反比例函数解析式求解a，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a≥0$时，根据“演绎点”规则：$x≥0$时，$y'=-y$（$y'$为Q的纵坐标，$y$为P的纵坐标），已知Q(a,3)，则$3=-y$，得P点纵坐标$y=-3$，即$P(a,-3)$。
将$P(a,-3)$代入反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$，得：$-3=-\dfrac{4}{a}$，解得$a=\dfrac{4}{3}$，符合$a≥0$的条件。
2. 当$a＜0$时，根据“演绎点”规则：$x＜0$时，$y'=y+2$，已知Q(a,3)，则$3=y+2$，得P点纵坐标$y=1$，即$P(a,1)$。
将$P(a,1)$代入反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$，得：$1=-\dfrac{4}{a}$，解得$a=-4$，符合$a＜0$的条件。
综上，a的值为$\dfrac{4}{3}$或$-4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数，新定义运算
【点评】
本题结合新定义“演绎点”考查反比例函数的应用，核心是理解新定义的坐标转换规则，需运用分类讨论思想分情况分析P点横坐标的正负，避免漏解，重点考查学生对函数解析式的运用能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 2,$E$ 是边 $BC$ 上的一点,以 $AB$ 为直径在正方形内作半圆 $O$,将$△ DCE$ 沿 $DE$ 翻折,点 $C$ 刚好落在半圆 $O$ 的点 $F$ 处,则 $CE$ 的长为（
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{7}$
A
）A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{7}$
答案
4. A 解析:如图,连接 OD、OF. 由题意,得 OF=OA=1,FD=CD=AD=2. 又
∵OD=OD,
∴△FOD≌△AOD(SSS),
∴∠DFO=∠DAO=90°.
∵∠DFE=∠C=90°,
∴点 O、F、E在同一条直线上. 设 CE=EF=x,则 BE=2-x,OE=1+x.在Rt△OBE 中,$OB^2+BE^2=OE^2$,即$1^2+(2-x)^2=(1+x)^2$,解得 $x=\dfrac{2}{3}$,
∴$CE=\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
要解决该问题，需结合正方形、半圆的性质，利用折叠的性质、全等三角形的判定与勾股定理求解。首先连接OD、OF，通过折叠得到线段和角的关系，证明△FOD≌△AOD，进而推出O、F、E三点共线，最后设CE为未知数，在直角三角形OBE中用勾股定理列方程计算。
【解析】
已知正方形ABCD边长为2，故AB=BC=CD=DA=2；AB是半圆O的直径，因此OA=OB=OF=1。
由折叠性质得：DF=DC=2，EF=CE，∠DFE=∠C=90°。
在△AOD和△FOD中：
$\{\begin{array}{l}OA=OF\\AD=FD\\OD=OD\end{array} $
∴△FOD≌△AOD（SSS），得∠DFO=∠DAO=90°。
又∠DFE=90°，故∠DFO+∠DFE=180°，即点O、F、E在同一直线上。
设CE=EF=x，则BE=2-x，OE=1+x。
在Rt△OBE中，由勾股定理：$OB^2 + BE^2 = OE^2$，
代入得：$1^2 + (2-x)^2 = (1+x)^2$，
展开化简：$1 + 4 -4x +x^2 =1 +2x +x^2$，
解得：$6x=4$，即$x=\frac{2}{3}$，故CE的长为$\frac{2}{3}$。
【答案】
A.$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
正方形性质、折叠性质、勾股定理、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查几何知识的应用，核心是利用全等三角形证明三点共线，再通过勾股定理建立方程，需学生具备较强的几何逻辑推导能力，是中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需结合正方形、半圆的性质，利用折叠的性质、全等三角形的判定与勾股定理求解。首先连接OD、OF，通过折叠得到线段和角的关系，证明△FOD≌△AOD，进而推出O、F、E三点共线，最后设CE为未知数，在直角三角形OBE中用勾股定理列方程计算。
【解析】
已知正方形ABCD边长为2，故AB=BC=CD=DA=2；AB是半圆O的直径，因此OA=OB=OF=1。
由折叠性质得：DF=DC=2，EF=CE，∠DFE=∠C=90°。
在△AOD和△FOD中：
$\{\begin{array}{l}OA=OF\\AD=FD\\OD=OD\end{array} $
∴△FOD≌△AOD（SSS），得∠DFO=∠DAO=90°。
又∠DFE=90°，故∠DFO+∠DFE=180°，即点O、F、E在同一直线上。
设CE=EF=x，则BE=2-x，OE=1+x。
在Rt△OBE中，由勾股定理：$OB^2 + BE^2 = OE^2$，
代入得：$1^2 + (2-x)^2 = (1+x)^2$，
展开化简：$1 + 4 -4x +x^2 =1 +2x +x^2$，
解得：$6x=4$，即$x=\frac{2}{3}$，故CE的长为$\frac{2}{3}$。
【答案】
A.$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
正方形性质、折叠性质、勾股定理、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查几何知识的应用，核心是利用全等三角形证明三点共线，再通过勾股定理建立方程，需学生具备较强的几何逻辑推导能力，是中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
二、填空题
5. 小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是 10 cm，弧长是 $12π$ cm，那么这个圆锥的高是
5. 小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是 10 cm，弧长是 $12π$ cm，那么这个圆锥的高是
8
cm.答案
5. 8 解析:设圆锥的底面圆半径为 r cm,高为 h cm,则 2πr=12π,解得 r=6,
∴$h=\sqrt{10^2-6^2}=8$(cm),即圆锥的高是8 cm.
∴$h=\sqrt{10^2-6^2}=8$(cm),即圆锥的高是8 cm.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时，先通过弧长求出圆锥底面半径，再结合母线长，利用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
设圆锥的底面圆半径为$ r $ cm，高为$ h $ cm。
因为圆锥底面的周长等于侧面扇形的弧长，所以$ 2π r = 12π $，
两边同时除以$ 2π $，解得$ r = 6 $ cm。
又因为圆锥的母线长等于扇形的半径，即母线长为10 cm，且圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，满足勾股定理：$ h = \sqrt{母线长^2 - 底面半径^2} $，
代入数值可得：$ h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 $ cm。
【答案】
8
【知识点】
圆锥侧面展开图、勾股定理
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的相关计算，核心是掌握扇形弧长与圆锥底面周长的关系，以及勾股定理在圆锥高计算中的应用，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时，先通过弧长求出圆锥底面半径，再结合母线长，利用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
设圆锥的底面圆半径为$ r $ cm，高为$ h $ cm。
因为圆锥底面的周长等于侧面扇形的弧长，所以$ 2π r = 12π $，
两边同时除以$ 2π $，解得$ r = 6 $ cm。
又因为圆锥的母线长等于扇形的半径，即母线长为10 cm，且圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，满足勾股定理：$ h = \sqrt{母线长^2 - 底面半径^2} $，
代入数值可得：$ h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 $ cm。
【答案】
8
【知识点】
圆锥侧面展开图、勾股定理
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图的相关计算，核心是掌握扇形弧长与圆锥底面周长的关系，以及勾股定理在圆锥高计算中的应用，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
6. 函数$y=\dfrac{1}{x}$与$y=x-3$图象的一个交点坐标为$(a,b)$，则$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$的值为
-3
.答案
6. -3 解析:
∵函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 与 $y=x-3$ 图象的一个交点坐标为(a,b),
∴ab=1,b=a-3,
∴b-a=-3,
∴$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}=-3$.
∵函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 与 $y=x-3$ 图象的一个交点坐标为(a,b),
∴ab=1,b=a-3,
∴b-a=-3,
∴$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}=-3$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用函数交点坐标的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式，将交点$(a,b)$代入两个函数得到$a$、$b$的关系式，再对所求分式通分，代入已知关系计算即可。
【解析】
因为函数$y=\dfrac{1}{x}$与$y=x-3$图象的交点坐标为$(a,b)$，所以该点同时满足两个函数解析式：
1. 代入$y=\dfrac{1}{x}$，得$b=\dfrac{1}{a}$，整理得$ab=1$；
2. 代入$y=x-3$，得$b=a-3$，整理得$b-a=-3$。
对所求式子$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$通分，可得：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}$，
将$ab=1$，$b-a=-3$代入上式，得：
$\dfrac{-3}{1}=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，分式化简求值
【点评】
本题结合函数交点性质与分式运算，属于基础题型，重点考查学生对函数交点意义的理解及分式通分的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用函数交点坐标的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式，将交点$(a,b)$代入两个函数得到$a$、$b$的关系式，再对所求分式通分，代入已知关系计算即可。
【解析】
因为函数$y=\dfrac{1}{x}$与$y=x-3$图象的交点坐标为$(a,b)$，所以该点同时满足两个函数解析式：
1. 代入$y=\dfrac{1}{x}$，得$b=\dfrac{1}{a}$，整理得$ab=1$；
2. 代入$y=x-3$，得$b=a-3$，整理得$b-a=-3$。
对所求式子$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$通分，可得：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}$，
将$ab=1$，$b-a=-3$代入上式，得：
$\dfrac{-3}{1}=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，分式化简求值
【点评】
本题结合函数交点性质与分式运算，属于基础题型，重点考查学生对函数交点意义的理解及分式通分的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在扇形$OAB$中,已知$∠ AOB=90^{ \circ }$,$OA=\sqrt{2}$,过$\overset{\frown}{AB}$的中点$C$作$CD ⊥ OA$,$CE ⊥ OB$,垂足分别为$D$、$E$,则图中阴影部分的面积为
$\dfrac{π}{2}-1$
.答案
7. $\dfrac{π}{2}-1$ 解析:如图,连接 OC.
∵CD⊥OA,CE⊥OB,
∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°,
∴四边形CDOE 是矩形.
∵C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴∠AOC=∠BOC.
∵OC=OC,
∴△COD≌△COE(AAS),
∴OD=OE,
∴四边形 CDOE是正方形.
∵OC=OA=$\sqrt{2}$,
∴OE=1,
∴$S_{阴影部分}=S_{扇形AOB}-S_{正方形CDOE}=\dfrac{90×π×(\sqrt{2})^2}{360}-1×1=\dfrac{π}{2}-1$.
解析
【分析】
首先连接OC，利用弧中点的性质得到∠AOC=∠BOC=45°；再结合CD⊥OA、CE⊥OB的垂直条件，先判定四边形CDOE为矩形，再通过全等三角形证明邻边相等，进而确定该矩形为正方形；最后利用“阴影部分面积=扇形AOB面积 - 正方形CDOE面积”的关系，分别计算扇形和正方形的面积即可求解。
【解析】
连接OC。
∵ CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB=90°，
∴ ∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，
∴ 四边形CDOE是矩形。
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ ∠AOC=∠BOC。
又
∵ OC=OC，∠CDO=∠CEO=90°，
∴ △COD≌△COE（AAS），
∴ OD=OE，
∴ 矩形CDOE是正方形。
∵ OC=OA=$\sqrt{2}$，
在Rt△COE中，∠COE=45°，
∴ OE=OC·cos45°=$\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1$，
∴ 正方形CDOE的面积为$1×1=1$。
扇形AOB的面积为$\dfrac{90°}{360°}×π×OA^2=\dfrac{1}{4}×π×(\sqrt{2})^2=\dfrac{π}{2}$。
∴ 阴影部分面积=$\dfrac{π}{2}-1$。
【答案】
$\dfrac{π}{2}-1$
【知识点】
扇形面积计算，正方形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，核心是通过弧中点和垂直条件推导正方形，将阴影面积转化为扇形与正方形的面积差，考查了扇形面积公式、特殊四边形判定等知识点，解题关键在于合理添加辅助线（连接OC），简化图形关系。
【难度系数】
0.5
首先连接OC，利用弧中点的性质得到∠AOC=∠BOC=45°；再结合CD⊥OA、CE⊥OB的垂直条件，先判定四边形CDOE为矩形，再通过全等三角形证明邻边相等，进而确定该矩形为正方形；最后利用“阴影部分面积=扇形AOB面积 - 正方形CDOE面积”的关系，分别计算扇形和正方形的面积即可求解。
【解析】
连接OC。
∵ CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB=90°，
∴ ∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，
∴ 四边形CDOE是矩形。
∵ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ ∠AOC=∠BOC。
又
∵ OC=OC，∠CDO=∠CEO=90°，
∴ △COD≌△COE（AAS），
∴ OD=OE，
∴ 矩形CDOE是正方形。
∵ OC=OA=$\sqrt{2}$，
在Rt△COE中，∠COE=45°，
∴ OE=OC·cos45°=$\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1$，
∴ 正方形CDOE的面积为$1×1=1$。
扇形AOB的面积为$\dfrac{90°}{360°}×π×OA^2=\dfrac{1}{4}×π×(\sqrt{2})^2=\dfrac{π}{2}$。
∴ 阴影部分面积=$\dfrac{π}{2}-1$。
【答案】
$\dfrac{π}{2}-1$
【知识点】
扇形面积计算，正方形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，核心是通过弧中点和垂直条件推导正方形，将阴影面积转化为扇形与正方形的面积差，考查了扇形面积公式、特殊四边形判定等知识点，解题关键在于合理添加辅助线（连接OC），简化图形关系。
【难度系数】
0.5
8. 在一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球(这些小球除颜色外无其他差别),其中红球有 4 个. 若从盒子中随机取出一个球为红球的概率是$\dfrac{1}{3}$,则盒子中有黄球
8
个.答案
8. 8 解析:设盒子中黄球有 x 个. 根据题意,得$\dfrac{4}{x+4}=\dfrac{1}{3}$,解得 x=8,经检验 x=8 是原分式方程的解,
∴盒子中黄球有8 个.
∴盒子中黄球有8 个.
解析
【分析】本题考查概率的应用，解题思路是利用概率公式“某事件发生的概率=该事件包含的情况数÷总情况数”，先设黄球个数为$x$，总球数为红球与黄球个数之和，再结合已知红球概率列出分式方程，求解并检验解的合理性，即可得到黄球个数。
【解析】设盒子中黄球有$x$个，则盒子中球的总个数为$(x + 4)$个。根据概率公式，随机取出一个球为红球的概率为$\frac{红球个数}{总球数}$，结合题意可列方程：
$\frac{4}{x + 4} = \frac{1}{3}$
交叉相乘得：$x + 4 = 12$，解得$x = 8$。
经检验，当$x = 8$时，分母$x + 4 = 12 ≠ 0$，所以$x = 8$是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此，盒子中有黄球8个。
【答案】8
【知识点】概率公式、分式方程的应用
【点评】本题是概率与分式方程结合的基础应用题，核心是掌握概率的基本计算方法，解分式方程后需检验解的合理性，属于初中数学概率章节的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】设盒子中黄球有$x$个，则盒子中球的总个数为$(x + 4)$个。根据概率公式，随机取出一个球为红球的概率为$\frac{红球个数}{总球数}$，结合题意可列方程：
$\frac{4}{x + 4} = \frac{1}{3}$
交叉相乘得：$x + 4 = 12$，解得$x = 8$。
经检验，当$x = 8$时，分母$x + 4 = 12 ≠ 0$，所以$x = 8$是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此，盒子中有黄球8个。
【答案】8
【知识点】概率公式、分式方程的应用
【点评】本题是概率与分式方程结合的基础应用题，核心是掌握概率的基本计算方法，解分式方程后需检验解的合理性，属于初中数学概率章节的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
