13. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ B=90°,∠ C=30°,O$ 为斜边 $AC$ 上的一点, $OA=2$, 以点 $O$ 为圆心、$OA$ 的长为半径作圆与 $AB$ 相交于点 $F$, $E$ 是 $\odot O$ 与线段 $BC$ 的公共点, 连接 $OE$、$OF$、$EF$, 已知 $∠ EOF=2∠ BEF$.
(1)求证:$BC$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)求图中阴影部分的面积.

13. (1)证明:如图,设 $AC$ 交$⊙O$ 于点 $D$,连接 $DF$、$DE$.
∵$AD$ 是 $⊙O$ 的直径,
∴$DF⊥AB$,
∴$∠DFE+∠BFE=90°$.
∵$∠B=90°$,
∴$∠BEF+∠BFE=90°$,
∴$∠BEF=∠DFE$.
∵$∠EOF=2∠BEF$,$∠EOF=2∠EDF$,
∴$∠BEF=∠EDF$,
∴$∠DFE=∠EDF$,
∴$DE=EF$. 又
∵$OD=OF$,$OE=OE$,
∴$△ODE≌△OFE$(SSS),
∴$∠EOD=∠EOF$.
∵$∠B=90°$,$∠C=30°$,
∴$∠A=60°$.
∵$OA=OF$,
∴$△OAF$ 是等边三角形,
∴$∠AOF=60°$,
∴$∠EOD=∠EOF=60°$,
∴$OE//AB$,
∴$∠OEC=∠B=90°$,即$OE⊥BC$. 又
∵$OE$ 是$⊙O$ 的半径,
∴$BC$ 是$⊙O$ 的切线.
(2)如图,过点 $O$ 作 $OG⊥AF$ 于点 $G$,
∵$△OAF$ 是等边三角形,
∴$∠AOF=60°$,$∠AOG=30°$.
∵$OA=2$,$AG=\dfrac{1}{2}AO=1$,
∴$OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{3}$,
∴$S_{△OAF}=\dfrac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
∵$∠COF=120°$,
∴$S_{扇形ODF}=\dfrac{120×π×2^2}{360}=\dfrac{4π}{3}$.
∵$∠OEC=90°$,$∠C=30°$,$OA=OE=2$,
∴$OC=2OE=4$,
∴$AC=OC+OA=2+4=6$,
∴$AB=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×6=3$. 在 $Rt△ABC$ 中,$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,
∴$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$,
∴$S_{阴影部分}=S_{△ABC}-S_{△OAF}-S_{扇形ODF}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}-\dfrac{4π}{3}=\dfrac{7\sqrt{3}}{2}-\dfrac{4π}{3}$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明BC是⊙O的切线，核心是利用切线判定定理，需证明OE⊥BC。结合圆周角定理，由已知∠EOF=2∠BEF推得角的等量关系，再结合△OAF是等边三角形，推出OE与AB平行，进而得到OE⊥BC，完成切线证明。第(2)问求阴影面积，采用割补法：阴影面积=Rt△ABC的面积 - △OAF的面积 - 扇形ODF的面积，需先计算相关边长和扇形圆心角，再分别计算各部分面积。
【解析】
(1) 证明：设AC交⊙O于点D，连接DF、DE。
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA=90°，即DF⊥AB，
∴∠DFE + ∠BFE = 90°。
又
∵∠B=90°，
∴∠BEF + ∠BFE = 90°，
∴∠BEF = ∠DFE。
根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得∠EOF=2∠EDF，
已知∠EOF=2∠BEF，
∴∠BEF=∠EDF，
∴∠DFE=∠EDF，故DE=EF。
又
∵OD=OF，OE=OE，
∴△ODE≌△OFE（SSS），
∴∠EOD=∠EOF。
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°。
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠EOD=∠EOF=60°，
∴∠EOC=∠A=60°，故OE//AB，
∴∠OEC=∠B=90°，即OE⊥BC。又OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线。
(2) 解：过点O作OG⊥AF于点G，
∵△OAF是等边三角形，OA=2，
∴AG=1，OG=√(OA² - AG²)=√3，
∴S△OAF=1/2 × AF × OG=1/2 ×2×√3=√3。
∠COF=180° - ∠AOF=120°，
∴S扇形ODF= (120π×2²)/360=4π/3。
在Rt△OEC中，∠C=30°，OE=2，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OA + OC=6，
∴AB=1/2 AC=3，BC=√(AC² - AB²)=√(6² -3²)=3√3，
∴S△ABC=1/2 × AB × BC=1/2 ×3×3√3=9√3/2，
∴S阴影=S△ABC - S△OAF - S扇形ODF=9√3/2 -√3 -4π/3=7√3/2 -4π/3。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 阴影部分面积为$\dfrac{7\sqrt{3}}{2}-\dfrac{4π}{3}$。
【知识点】
切线的判定、圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、圆周角定理、等边三角形性质及面积割补法，需熟练运用几何性质推导角与边的关系，逻辑推导要求较高，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5

14. 如图 1,在平面直角坐标系中,反比例函数 $y=\frac{k}{x}$($k$ 为常数,$x＞0$)的图象经过 $A(2,m)$、$B(6,n)$两点.
(1)$m$ 与 $n$ 的数量关系是.
A. $m=3n$
B. $n=3m$
C. $m+n=8$
D. $m-n=4$
(2)如图 2,若点 $A$ 绕 $x$ 轴上的点 $P$ 顺时针旋转 $90°$,恰好与点 $B$ 重合.
①求点 $P$ 的坐标及反比例函数的表达式；
②连接 $OA$、$OB$,则$△ AOB$ 的面积为.
(3)若点 $M$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上,点 $N$ 在 $y$ 轴上,在(2)的条件下,是否存在以 $A$、$B$、$M$、$N$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在,直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在,请说明理由.

14. (1)A 解析:将点 $A(2,m)$、$B(6,n)$ 分别代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得$k=2m$,$k=6n$,
∴$m=3n$.
(2)①由(1)得,$A(2,3n)$,$B(6,n)$. 设 $P(t,0)$.如图 1,过点 $A$ 作 $AC⊥x$ 轴于点 $C$,过点 $B$ 作 $BD⊥x$ 轴于点 $D$,
∴$∠ACP=∠PDB=90°$,
∴$∠PAC+∠CPA=90°$,$∠BPD+∠CPA=90°$,
∴$∠PAC=∠BPD$.
∵$AP=PB$,
∴$△ACP≌△PDB$(AAS),
∴$AC=PD$,$PC=BD$,即$\begin{cases}3n=6-t,\\t-2=n,\end{cases}$解得$\begin{cases}n=1,\\t=3,\end{cases}$
∴$P(3,0)$,$B(6,1)$,
∴$k=6$,
∴反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{6}{x}$.
②8 解析:如图 2,过点 $A$ 作 $AF⊥x$ 轴于点 $F$,过点 $B$ 作 $BG⊥x$ 轴于点 $G$. 由①知,$A(2,3)$,$B(6,1)$,
∴$AF=3$,$BG=1$,$FG=4$.
∵$S_{△AOF}=S_{△BOG}$,
∴$S_{△AOB}=S_{梯形AFGB}=\dfrac{1}{2}×(1+3)×4=8$.
(3)当 $AB$ 为边时,则 $x_B-x_A=x_M-x_N$,即 $6-2=x_M-0$,
∴$x_M=4$,
∴$M(4,\dfrac{3}{2})$;当 $AB$ 为对角线时,则 $x_A-x_N=x_M-x_B$,即 $2-0=x_M-6$,
∴$x_M=8$,
∴$M(8,\dfrac{3}{4})$. 综上所述,点 $M$ 的坐标为 $(4,\dfrac{3}{2})$或$(8,\dfrac{3}{4})$.

【分析】本题是反比例函数的综合题，分三小问逐步解决：第(1)问利用反比例函数k值不变，代入两点坐标建立m与n的关系；第(2)问①结合旋转的性质，通过构造全等三角形求点P坐标和反比例函数表达式，②利用梯形面积转化求△AOB面积；第(3)问根据平行四边形的性质，分AB为边和对角线两种情况，结合坐标关系求点M坐标。
【解析】
(1) 将点A(2,m)、B(6,n)代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=2m$，$k=6n$，因此$2m=6n$，即$m=3n$，故选A。
(2) ①由(1)知$A(2,3n)$，$B(6,n)$，设点$P(t,0)$。过点$A$作$AC⊥x$轴于点$C$，过点$B$作$BD⊥x$轴于点$D$，则$∠ ACP=∠ PDB=90°$。因为点$A$绕点$P$顺时针旋转$90°$与点$B$重合，所以$AP=PB$，$∠ APB=90°$，故$∠ PAC+∠ CPA=90°$，$∠ BPD+∠ CPA=90°$，得$∠ PAC=∠ BPD$。因此$△ ACP≌△ PDB(AAS)$，所以$AC=PD$，$PC=BD$，即$\begin{cases}3n=6-t\\t-2=n\end{cases}$，解得$\begin{cases}n=1\\t=3\end{cases}$。故$P(3,0)$，$B(6,1)$，代入$y=\frac{k}{x}$得$k=6×1=6$，反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$。
②由①得$A(2,3)$，$B(6,1)$，过$A$作$AF⊥x$轴于$F$，过$B$作$BG⊥x$轴于$G$，则$AF=3$，$BG=1$，$FG=6-2=4$。因为$S_{△ AOF}=S_{△ BOG}$，所以$S_{△ AOB}=S_{梯形AFGB}=\frac{1}{2}×(1+3)×4=8$。
(3) 存在，分两种情况：
当$AB$为边时，平行四边形对边平行且相等，$AB$的水平长度为$6-2=4$，点$N$在$y$轴（$x=0$），故点$M$的横坐标为$0+4=4$，代入$y=\frac{6}{x}$得$y=\frac{3}{2}$，即$M(4,\frac{3}{2})$；
当$AB$为对角线时，平行四边形对角线互相平分，$AB$中点为$(\frac{2+6}{2},\frac{3+1}{2})=(4,2)$，点$N$在$y$轴（$x=0$），设$N(0,y)$，$M(x,\frac{6}{x})$，则中点满足$\frac{x+0}{2}=4$，得$x=8$，代入得$y=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，即$M(8,\frac{3}{4})$。
综上，点$M$的坐标为$(4,\frac{3}{2})$或$(8,\frac{3}{4})$。
【答案】
(1) A
(2) ①$P(3,0)$，反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$；②$8$
(3) $(4,\frac{3}{2})$或$(8,\frac{3}{4})$

【知识点】
反比例函数性质、全等三角形判定、平行四边形性质
【点评】
本题综合考查反比例函数、旋转、全等三角形、平行四边形等知识点，需分情况讨论平行四边形的存在性，对学生的综合分析能力要求较高，是典型的中考综合题。
【难度系数】
0.5