9. 如图,在平面直角坐标系中,菱形$OABC$的对角线$OB$在$x$轴上,顶点$A$在反比例函数$y=$$\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象上.若菱形$OABC$的面积为$4$,则$k$的值为.

9. -2 解析:如图,连接 $AC$,交 $OB$ 于点 $D$,则 $AC⊥OB$,由菱形性质可知,$S_{△AOD}=\dfrac{1}{4}S_{菱形OABC}=\dfrac{1}{4}×4=1$,
∴$|k|=2S_{△AOD}=2$,
∵反比例函数图象在第二象限,
∴$k=-2$.

【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质和反比例函数中k的几何意义。首先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，将菱形面积转化为相关三角形的面积；再根据反比例函数k的几何意义，结合图象所在象限确定k的符号，进而求出k的值。
【解析】
连接AC，交OB于点D。
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，且菱形的对角线将菱形分成四个面积相等的三角形，即$S_{△ AOD}=\frac{1}{4}S_{菱形OABC}$。
已知菱形OABC的面积为4，
∴$S_{△ AOD}=\frac{1}{4}×4=1$。
根据反比例函数k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，过图象上一点作x轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{|k|}{2}$，
∴$|k|=2S_{△ AOD}=2×1=2$。
又
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二象限（$x＜0$，$y＞0$），
∴$k＜0$，即$k=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
菱形的性质；反比例函数的几何意义
【点评】
本题综合考查菱形的性质与反比例函数k的几何意义，核心是利用菱形对角线的性质得到三角形面积，再结合反比例函数的几何意义求解，属于基础综合题，需注意k的符号判断。
【难度系数】
0.5

10. 如图,$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$,以$\odot O$的内接正八边形的一边向$\odot O$内作正方形$ABCD$,则正方形$ABCD$的面积为.

10. $4-2\sqrt{2}$ 解析:如图,连接 $OA$、$OD$,过点 $A$ 作 $AE⊥OD$ 于点 $E$,则$∠AEO=∠AED=90°$.
∵$∠AOD$ 是正八边形的中心角,
∴$∠AOD=\dfrac{360°}{8}=45°$,
∴$△AOE$ 是等腰直角三角形,
∴$AE=OE$. 在 $Rt△AOE$ 中,$AE^2+OE^2=OA^2=2$,
∴$AE=OE=1$,
∴$DE=OD-OE=\sqrt{2}-1$,
∴$AD^2=AE^2+DE^2=1^2+(\sqrt{2}-1)^2=4-2\sqrt{2}$,
∴$S_{正方形ABCD}=AD^2=4-2\sqrt{2}$.

【分析】要解决本题，需利用正八边形的中心角性质，结合勾股定理计算正方形的边长平方，进而得到面积。步骤如下：1. 确定正八边形的中心角∠AOD的度数；2. 作辅助线AE⊥OD，将△AOD拆分为等腰直角三角形AOE和直角三角形ADE；3. 利用⊙O的半径计算AE、OE、DE的长度；4. 用勾股定理求出AD²，即正方形的面积。
【解析】连接OA、OD，过点A作AE⊥OD于点E，则∠AEO=∠AED=90°。
∵∠AOD是正八边形的中心角，
∴∠AOD = $\frac{360°}{8}$ = 45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，故AE=OE。
在Rt△AOE中，AE² + OE² = OA²，已知OA=√2，因此OA²=(√2)²=2，
又AE=OE，所以2AE²=2，解得AE=OE=1。
∵OD是⊙O的半径，OD=√2，
∴DE=OD - OE=√2 - 1。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AD² = AE² + DE² = 1² + (√2 - 1)² = 1 + (2 - 2√2 + 1) = 4 - 2√2。
∵正方形ABCD的面积=AD²，
∴S正方形ABCD=4 - 2√2。
【答案】4 - 2√2
【知识点】正多边形中心角、勾股定理、正方形面积计算
【点评】本题结合正多边形与圆的性质，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解正方形面积，关键是掌握正多边形中心角的计算方法，属于中等难度的几何计算题，需学生具备一定的几何推理能力。
【难度系数】0.5

三、解答题
11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-kx-k-1=0$.
(1)求证:方程总有两个实数根.
(2)若方程有一个根大于 0,求 $k$ 的取值范围.

11. (1)证明:
∵$a=1$,$b=-k$,$c=-k-1$,
∴$b^2-4ac=(-k)^2-4×1×(-k-1)=k^2+4k+4=(k+2)^2≥0$,
∴方程总有两个实数根.
(2)将方程 $x^2-kx-k-1=0$ 变形为$(x-k-1)(x+1)=0$,
∴$x=k+1$ 或 $x=-1$.
∵方程有一个根大于 0,
∴$k+1＞0$,
∴$k＞-1$.

【分析】
要解决这道题，分两小问逐步思考：(1) 证明一元二次方程总有两个实数根，需利用根的判别式，计算判别式并判断其非负性；(2) 先通过因式分解法解一元二次方程得到两个根，再根据“有一个根大于0”的条件，筛选出符合要求的根，进而求出k的取值范围。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - kx - k - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-k$，$c=-k-1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4×1×(-k -1) = k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2$，
因为任何数的平方都非负，即$(k+2)^2 ≥ 0$，所以方程总有两个实数根。
(2) 将方程$x^2 - kx - k -1 =0$因式分解：
$x^2 - kx - (k+1) = (x - (k+1))(x +1) =0$，
解得$x_1 = k+1$，$x_2 = -1$。
已知方程有一个根大于0，而$x_2=-1＜0$，所以需满足$x_1 =k+1＞0$，
解得$k ＞ -1$。
【答案】
(1) 方程总有两个实数根；(2) $k ＞ -1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，主要考查根的判别式的应用、因式分解法解一元二次方程以及根据根的条件求参数范围，解题思路清晰，步骤明确，属于学生应掌握的基础内容。
【难度系数】
0.6

12. 西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小型西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200 kg. 为了促销，该经营户决定降价销售. 经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/kg，每天可多售出40 kg.
(1)若将这种西瓜每千克的售价降低$x$元，则每天的销售量是kg.(用含$x$的代数式表示)
(2)销售这种水果要想每天盈利224元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？

12. (1)$(400x+200)$
(2)设每千克的售价降低 $x$ 元,根据题意,得$(3-x-2)(400x+200)=224$,整理,得$50x^2-25x+3=0$,解得 $x=0.3$ 或 $x=0.2$,
∵要使销售量较大,
∴$x=0.3$.答:每千克的售价降低 0.3 元.

【分析】
首先处理第(1)问：已知每降价0.1元/kg，每天多售40kg，降价x元时，先计算降价x元包含多少个0.1元，再乘以40得到多售的数量，加上原销售量即可得到降价后的总销售量。
第(2)问：销售盈利的核心等量关系是“总盈利=每千克利润×销售量”，先分别表示出每千克利润（售价-成本）和销售量（第1问的代数式），代入盈利224元列方程，解方程后根据“销售量较大”的条件选择合适的解。
【解析】
(1) 每降价0.1元/kg多售40kg，降价x元时，多售出的数量为：$\frac{x}{0.1}×40=400x$ kg，
因此每天的销售量为：$200 + 400x = (400x + 200)$ kg。
(2) 设每千克的售价降低x元，
每千克利润为：$(3 - x - 2) = (1 - x)$ 元，
销售量为$(400x + 200)$ kg，
根据总盈利=每千克利润×销售量，列方程：
$(1 - x)(400x + 200) = 224$，
整理方程：
左边展开得：$400x + 200 - 400x^2 - 200x = 200x + 200 - 400x^2$，
移项化简得：$50x^2 - 25x + 3 = 0$，
用求根公式解得：
$x = \frac{25 ± \sqrt{(-25)^2 - 4×50×3}}{2×50} = \frac{25 ± 5}{100}$，
即$x_1=0.3$，$x_2=0.2$。
因为要使每天销售量较大，降价越多销售量越大，故选择$x=0.3$。
答：需将每千克的售价降低0.3元。
【答案】
(1)$(400x + 200)$；(2)0.3元
【知识点】
一元二次方程的应用、代数式的表示、销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，关键是理清降价与销售量、利润的数量关系，列方程时需准确对应等量关系，最后要结合题目要求（销售量较大）筛选解，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.4