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一、选择题
1. 小明同学对数据 $12,22,36,4 \blacksquare,52$ 进行统计分析,发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清,则下列统计量与被污染数字无关的是
（
A.平均数
B.标准差
C.方差
D.中位数
1. 小明同学对数据 $12,22,36,4 \blacksquare,52$ 进行统计分析,发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清,则下列统计量与被污染数字无关的是
（
D
）A.平均数
B.标准差
C.方差
D.中位数
答案
1. D 解析:这组数据的中位数为36,与被污染数字无关.
解析
【分析】要判断哪个统计量与被污染数字无关，需先明确各统计量的计算逻辑：平均数是所有数据的和除以数据个数；方差、标准差反映数据的离散程度，计算均涉及每个数据与平均数的偏差；中位数是将数据排序后，位于中间位置的数（数据个数为奇数时为中间的那个数）。本题数据共5个，需排序后确定中间位置的数，再判断是否受被污染数字影响。
【解析】这组数据有5个，将数据从小到大排列：12，22，36，4■，52（被污染的数是四十多，必然在36和52之间），因此中位数是第3个数，即36，与被污染数字无关；而平均数、方差、标准差均与所有数据的总和或偏差有关，会随被污染数字变化。故答案为D。
【答案】D
【知识点】中位数、平均数、方差
【点评】本题考查基础统计量的意义，关键是掌握中位数的确定规则，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.7
【解析】这组数据有5个，将数据从小到大排列：12，22，36，4■，52（被污染的数是四十多，必然在36和52之间），因此中位数是第3个数，即36，与被污染数字无关；而平均数、方差、标准差均与所有数据的总和或偏差有关，会随被污染数字变化。故答案为D。
【答案】D
【知识点】中位数、平均数、方差
【点评】本题考查基础统计量的意义，关键是掌握中位数的确定规则，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.7
2. 正比例函数 $y=2x$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象有一个交点的横坐标是2,则$k$的值为（
A.1
B.2
C.4
D.8
D
）A.1
B.2
C.4
D.8
答案
2. D 解析:将 $x=2$ 代入 $y=2x$,得 $y=4$,$\therefore$ 两个函数图象的交点坐标为$(2,4)$.将$(2,4)$代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $k=2× 4=8$.
解析
【分析】
要解决本题，需利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”这一核心性质。已知两函数交点的横坐标为2，先通过正比例函数求出该交点的纵坐标，得到交点坐标；再将交点坐标代入反比例函数，即可计算出k的值。
【解析】
解：
1. 求交点坐标：
交点在正比例函数$y=2x$上，且横坐标为2，将$x=2$代入$y=2x$，得$y=2×2=4$，因此交点坐标为$(2,4)$。
2. 计算k的值：
交点$(2,4)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上，将$(2,4)$代入该式，得$4=\dfrac{k}{2}$，解得$k=2×4=8$。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数、反比例函数、函数交点性质
【点评】
本题是函数章节的基础题型，主要考察函数图象上点的坐标特征，解题思路直接，步骤清晰，重点在于掌握“交点坐标同时满足两个函数解析式”的要点。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”这一核心性质。已知两函数交点的横坐标为2，先通过正比例函数求出该交点的纵坐标，得到交点坐标；再将交点坐标代入反比例函数，即可计算出k的值。
【解析】
解：
1. 求交点坐标：
交点在正比例函数$y=2x$上，且横坐标为2，将$x=2$代入$y=2x$，得$y=2×2=4$，因此交点坐标为$(2,4)$。
2. 计算k的值：
交点$(2,4)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上，将$(2,4)$代入该式，得$4=\dfrac{k}{2}$，解得$k=2×4=8$。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数、反比例函数、函数交点性质
【点评】
本题是函数章节的基础题型，主要考察函数图象上点的坐标特征，解题思路直接，步骤清晰，重点在于掌握“交点坐标同时满足两个函数解析式”的要点。
【难度系数】
0.8
3. 若点$A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$都在函数$y=\dfrac{2\ 026}{x}$的图象上,当$x_{1}＜0＜x_{2}$且$x_{1}+x_{2}≠0$时,$y_{1}$与$y_{2}$的大小关系是（
A.$y_{1}＜y_{2}$
B.$y_{1}=y_{2}$
C.$y_{1}＞y_{2}$
D.$y_{1}=-y_{2}$
A
）A.$y_{1}＜y_{2}$
B.$y_{1}=y_{2}$
C.$y_{1}＞y_{2}$
D.$y_{1}=-y_{2}$
答案
3. A 解析:$\because k=2\ 026＞0$,$\therefore$ 反比例函数图象分布在第一、三象限,且在每个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.$\because x_{1}＜0＜x_{2}$且 $x_{1}+x_{2}≠0$,$\therefore$ 点 $A(x_{1},y_{1})$ 在第三象限,点 $B(x_{2},y_{2})$ 在第一象限,$\therefore y_{1}＜y_{2}$.
解析
【分析】
要比较反比例函数上两点的y值大小，需先根据反比例函数的k值判断图像所在象限，再结合x的正负确定点所在象限，最后根据象限内y值的正负关系比较大小。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{2026}{x}$，其中$k=2026＞0$，根据反比例函数的性质，其图像分布在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
已知$x_1＜0＜x_2$，则点$A(x_1,y_1)$在第三象限，第三象限内的点的纵坐标均为负数，即$y_1＜0$；点$B(x_2,y_2)$在第一象限，第一象限内的点的纵坐标均为正数，即$y_2＞0$。
因此可得$y_1＜y_2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数的图像
【点评】
本题考查反比例函数的图像与性质，核心是根据自变量的正负判断点所在象限，进而通过象限内纵坐标的正负关系比较大小，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要比较反比例函数上两点的y值大小，需先根据反比例函数的k值判断图像所在象限，再结合x的正负确定点所在象限，最后根据象限内y值的正负关系比较大小。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{2026}{x}$，其中$k=2026＞0$，根据反比例函数的性质，其图像分布在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
已知$x_1＜0＜x_2$，则点$A(x_1,y_1)$在第三象限，第三象限内的点的纵坐标均为负数，即$y_1＜0$；点$B(x_2,y_2)$在第一象限，第一象限内的点的纵坐标均为正数，即$y_2＞0$。
因此可得$y_1＜y_2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数的图像
【点评】
本题考查反比例函数的图像与性质，核心是根据自变量的正负判断点所在象限，进而通过象限内纵坐标的正负关系比较大小，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
4. 如图,已知$\odot C$的半径为$\sqrt{2}$,正三角形$ABC$的边长为$6$,$P$为边$AB$上的动点,过点$P$作$\odot C$的切线$PQ$,切点为$Q$,则$PQ$的最小值为（
A.$5$
B.$\sqrt{34}$
C.$2\sqrt{10}$
D.$6$
A
）A.$5$
B.$\sqrt{34}$
C.$2\sqrt{10}$
D.$6$
答案
4. A 解析:如图,连接 $CQ,CP$,过点 $C$ 作 $CH⊥ AB$,垂足为 $H$.$\because PQ$ 是 $\odot C$ 的切线,$\therefore CQ⊥ PQ$,
$\therefore PQ=\sqrt{PC^2-CQ^2}=\sqrt{PC^2-2}$.当 $PC⊥ AB$,即点 $P$ 与点 $H$ 重合时,$PC$ 最小,此时 $PQ$ 取最小值.$\because △ ABC$ 为等边三角形,$\therefore ∠ B=60°$,$\therefore ∠ BCH=30°$,$\therefore BH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×6=3$,$\therefore CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,$\therefore PQ$ 的最小值为 $\sqrt{(3\sqrt{3})^2-2}=5$.
解析
【分析】要解决PQ的最小值问题，需先利用切线性质建立PQ与PC的关系，再结合“点到直线的垂线段最短”找到PC的最小值，最终代入计算PQ的最小值。具体思路：1. 连接切线相关线段CQ、CP，根据切线性质将PQ转化为含PC的表达式；2. 因CQ为定值，故PQ最小等价于PC最小；3. 确定PC的最小值：点P在AB上，C到AB的垂线段最短，利用等边三角形性质求出该垂线段长度；4. 代入表达式计算PQ的最小值。
【解析】连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于点H。
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
在Rt△CPQ中，由勾股定理得：$PQ=\sqrt{PC^2 - CQ^2}$。
已知⊙C的半径$CQ=\sqrt{2}$，故$PQ=\sqrt{PC^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{PC^2 - 2}$。
要使PQ最小，需使PC最小，根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”，当P与H重合时，PC最小，此时$PC=CH$。
∵△ABC是正三角形，边长为6，CH⊥AB，
∴∠B=60°，在Rt△BCH中，∠BCH=30°，则$BH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
由勾股定理得：$CH=\sqrt{BC^2 - BH^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
将$PC=3\sqrt{3}$代入PQ的表达式：$PQ_{最小值}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 2}=\sqrt{27 - 2}=\sqrt{25}=5$。
【答案】A
【知识点】切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理
【点评】本题结合切线性质与垂线段最短的知识点，考查线段最值的求解，需熟练运用几何性质转化线段关系，是中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.5
【解析】连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于点H。
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
在Rt△CPQ中，由勾股定理得：$PQ=\sqrt{PC^2 - CQ^2}$。
已知⊙C的半径$CQ=\sqrt{2}$，故$PQ=\sqrt{PC^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{PC^2 - 2}$。
要使PQ最小，需使PC最小，根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”，当P与H重合时，PC最小，此时$PC=CH$。
∵△ABC是正三角形，边长为6，CH⊥AB，
∴∠B=60°，在Rt△BCH中，∠BCH=30°，则$BH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
由勾股定理得：$CH=\sqrt{BC^2 - BH^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
将$PC=3\sqrt{3}$代入PQ的表达式：$PQ_{最小值}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 2}=\sqrt{27 - 2}=\sqrt{25}=5$。
【答案】A
【知识点】切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理
【点评】本题结合切线性质与垂线段最短的知识点，考查线段最值的求解，需熟练运用几何性质转化线段关系，是中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.5
5. 一个不透明的口袋中装有 $n$ 个白球、2 个黄球和 3 个红球，这些球除颜色外其余都相同. 若将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸出白球的概率是$\dfrac{1}{6}$，则 $n=$
1
.答案
5. 1 解析:根据题意,得 $\dfrac{n}{n+2+3}=\dfrac{1}{6}$,解得 $n=1$.经检验,$n=1$ 是原分式方程的解.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用等可能事件的概率公式：某事件发生的概率等于该事件包含的结果数除以所有可能的结果数。首先确定口袋中球的总数量，再结合已知的摸出白球的概率列出方程，最后解方程并检验即可求出n的值。
【解析】
口袋中球的总数量为白球数+黄球数+红球数，即总球数为$n + 2 + 3 = n + 5$个。
根据概率公式，摸出白球的概率为$\frac{白球数}{总球数}$，结合题意可列方程：
$\frac{n}{n + 5} = \frac{1}{6}$
交叉相乘得：$6n = n + 5$
移项化简：$5n = 5$，解得$n = 1$
经检验，当$n = 1$时，总球数为$1 + 5 = 6$，摸出白球的概率为$\frac{1}{6}$，符合题意。
【答案】
1
【知识点】
概率的计算、分式方程的应用
【点评】
本题是概率章节的基础应用题，核心考查概率公式的理解与简单分式方程的求解，解题思路清晰，步骤简单，只要掌握基本公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需利用等可能事件的概率公式：某事件发生的概率等于该事件包含的结果数除以所有可能的结果数。首先确定口袋中球的总数量，再结合已知的摸出白球的概率列出方程，最后解方程并检验即可求出n的值。
【解析】
口袋中球的总数量为白球数+黄球数+红球数，即总球数为$n + 2 + 3 = n + 5$个。
根据概率公式，摸出白球的概率为$\frac{白球数}{总球数}$，结合题意可列方程：
$\frac{n}{n + 5} = \frac{1}{6}$
交叉相乘得：$6n = n + 5$
移项化简：$5n = 5$，解得$n = 1$
经检验，当$n = 1$时，总球数为$1 + 5 = 6$，摸出白球的概率为$\frac{1}{6}$，符合题意。
【答案】
1
【知识点】
概率的计算、分式方程的应用
【点评】
本题是概率章节的基础应用题，核心考查概率公式的理解与简单分式方程的求解，解题思路清晰，步骤简单，只要掌握基本公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 下表是小明参加一次“青春风采”才艺展示活动比赛的得分情况. 总评分时,按书法占 40%、舞蹈占 30%、演唱占 30%计算最终得分,则小明的最终得分为
82
分.答案
6. 82 解析:小明的最终得分为$85×40\%+90×30\%+70×30\%=82$(分).
解析
【分析】这道题考查加权平均数的实际应用，解题思路是：总评分按各项目的占比计算，需用每个项目的得分乘以其对应的占比，再将结果相加得到最终得分。要注意区分加权平均数与算术平均数，本题各项目权重不同，不能直接求三个得分的平均值。
【解析】根据题意，书法占比40%、舞蹈占比30%、演唱占比30%，则最终得分计算如下：
$85×40\% + 90×30\% + 70×30\%$
$= 85×0.4 + 90×0.3 + 70×0.3$
$= 34 + 27 + 21$
$= 82$（分）
【答案】82
【知识点】加权平均数
【点评】本题是加权平均数在实际问题中的基础应用，属于统计模块的常见题型，计算步骤清晰，主要考查学生对加权平均数公式的掌握和简单计算能力。
【难度系数】0.8
【解析】根据题意，书法占比40%、舞蹈占比30%、演唱占比30%，则最终得分计算如下：
$85×40\% + 90×30\% + 70×30\%$
$= 85×0.4 + 90×0.3 + 70×0.3$
$= 34 + 27 + 21$
$= 82$（分）
【答案】82
【知识点】加权平均数
【点评】本题是加权平均数在实际问题中的基础应用，属于统计模块的常见题型，计算步骤清晰，主要考查学生对加权平均数公式的掌握和简单计算能力。
【难度系数】0.8
7. 为增强学生身体素质,提高学生篮球运动竞技水平,某市开展“市长杯”篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划赛程3天,每天安排5场比赛,则应邀请
6
个球队参赛.答案
7. 6 解析:设应邀请 $x$ 个球队参赛.根据题意,得 $\dfrac{1}{2}x(x-1)=5×3$,解得 $x=6$ 或 $x=-5$(不符合题意,舍去),即应邀请 6 个球队参赛.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确单循环赛制的总比赛场数计算规则：每两队之间仅赛一场，因此总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$（$x$为参赛球队数）。先计算总赛程的比赛场数：3天每天安排5场，总场数为$5×3=15$场。再设球队数为$x$，根据总场数相等列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负数解，即可得到答案。
【解析】
设应邀请$x$个球队参赛。
根据单循环赛制总比赛场数公式，结合总赛程比赛场数为$5×3=15$场，列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=5×3$
化简得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
两边同乘2：
$x(x-1)=30$
展开整理为一元二次方程：
$x^2 -x -30=0$
因式分解得：
$(x-6)(x+5)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=-5$。
因为球队数不能为负数，舍去$x=-5$，故应邀请6个球队参赛。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用、单循环比赛问题
【点评】
本题考查一元二次方程在实际场景的应用，核心是掌握单循环赛制总场数的计算方法，需注意舍去不符合实际意义的解，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先明确单循环赛制的总比赛场数计算规则：每两队之间仅赛一场，因此总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$（$x$为参赛球队数）。先计算总赛程的比赛场数：3天每天安排5场，总场数为$5×3=15$场。再设球队数为$x$，根据总场数相等列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负数解，即可得到答案。
【解析】
设应邀请$x$个球队参赛。
根据单循环赛制总比赛场数公式，结合总赛程比赛场数为$5×3=15$场，列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=5×3$
化简得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
两边同乘2：
$x(x-1)=30$
展开整理为一元二次方程：
$x^2 -x -30=0$
因式分解得：
$(x-6)(x+5)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=-5$。
因为球队数不能为负数，舍去$x=-5$，故应邀请6个球队参赛。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用、单循环比赛问题
【点评】
本题考查一元二次方程在实际场景的应用，核心是掌握单循环赛制总场数的计算方法，需注意舍去不符合实际意义的解，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在平面直角坐标系中,函数 $y=mx(m＜0)$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象交于 A、B 两点,点 C 在 x 轴上,且 $AC=AO$,若 $S_{△ ABC}=4$,则 k 的值为
-2
.答案
8. -2 解析:$\because$ 函数 $y=mx(m＜0)$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 交于 $A、B$ 两点,$\therefore OA=OB$,$\because S_{△ ABC}=4$,$\therefore S_{△ AOC}=S_{△ BOC}=2$,$\because AC=AO$,$\therefore |k|=S_{△ AOC}=S_{△ BOC}=2$,$\because$ 反比例函数图象在第二、四象限,$\therefore k=-2$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，由此得到OA=OB；接着利用AC=AO的条件，结合A点坐标表示出C点坐标；再通过坐标法计算△ABC的面积，结合已知面积求出|k|；最后根据反比例函数图象所在象限确定k的符号，即可得到答案。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵正比例函数$y=mx(m＜0)$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，故点B的坐标为$(-x,-y)$，且$OA=OB$。
∵点C在x轴上，且$AC=AO$，
∴$\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$（$c$为点C的横坐标），
化简得$(x - c)^2 = x^2$，解得$c=2x$（$c=0$舍去，否则C与原点重合），
即点C的坐标为$(2x,0)$。
根据三角形面积的坐标公式，$S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}\left| x(-y - 0) + (-x)(0 - y) + 2x(y - (-y)) \right|$，
代入化简得：$S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}\left| -xy + xy + 4xy \right| = \dfrac{1}{2} × |4xy| = 2|xy|$。
已知$S_{△ ABC}=4$，则$2|xy|=4$，即$|xy|=2$。
又
∵点A在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上，故$k=xy$，
且正比例函数$y=mx(m＜0)$与反比例函数交于第二、四象限，因此$k＜0$，
所以$k=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
反比例函数性质、正比例函数性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了正比例函数与反比例函数的交点对称性、等腰三角形的性质及坐标法求三角形面积，解题关键是利用交点关于原点对称的特点，结合AC=AO求出C点坐标，再通过面积关系确定k的值，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先需明确正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，由此得到OA=OB；接着利用AC=AO的条件，结合A点坐标表示出C点坐标；再通过坐标法计算△ABC的面积，结合已知面积求出|k|；最后根据反比例函数图象所在象限确定k的符号，即可得到答案。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵正比例函数$y=mx(m＜0)$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，故点B的坐标为$(-x,-y)$，且$OA=OB$。
∵点C在x轴上，且$AC=AO$，
∴$\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$（$c$为点C的横坐标），
化简得$(x - c)^2 = x^2$，解得$c=2x$（$c=0$舍去，否则C与原点重合），
即点C的坐标为$(2x,0)$。
根据三角形面积的坐标公式，$S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}\left| x(-y - 0) + (-x)(0 - y) + 2x(y - (-y)) \right|$，
代入化简得：$S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}\left| -xy + xy + 4xy \right| = \dfrac{1}{2} × |4xy| = 2|xy|$。
已知$S_{△ ABC}=4$，则$2|xy|=4$，即$|xy|=2$。
又
∵点A在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上，故$k=xy$，
且正比例函数$y=mx(m＜0)$与反比例函数交于第二、四象限，因此$k＜0$，
所以$k=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
反比例函数性质、正比例函数性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了正比例函数与反比例函数的交点对称性、等腰三角形的性质及坐标法求三角形面积，解题关键是利用交点关于原点对称的特点，结合AC=AO求出C点坐标，再通过面积关系确定k的值，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
9. 如图，$\odot O$ 的直径 $AB=12$，$CD$ 是 $\odot O$ 的弦，$CD ⊥ AB$，垂足为 $P$，且 $BP:AP=1:5$，则 $CD$ 的长为
4√5
.答案
9. $4\sqrt{5}$ 解析:如图,连接 $OC$.$\because AB=12$,$\therefore OB=\dfrac{1}{2}AB=6$.$\because BP:AP=1:5$,$\therefore BP=\dfrac{1}{6}AB=\dfrac{1}{6}×12=2$,$\therefore OP=OB-BP=6-2=4$.$\because CD⊥ AB$,$\therefore CD=2PC$,$∠ OPC=90°$,$\therefore PC=\sqrt{OC^2-OP^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$,$\therefore CD=2PC=4\sqrt{5}$.
解析
【分析】要计算弦CD的长度，需结合垂径定理和勾股定理。首先根据直径AB的长度与BP、AP的比例关系，求出OP的长度；再连接半径OC，利用CD⊥AB的条件，由垂径定理得CD=2PC，在直角三角形OPC中用勾股定理算出PC，进而得到CD的长。
【解析】连接OC。
∵AB是⊙O的直径，AB=12，
∴OC=OB=½AB=6。
∵BP:AP=1:5，AB=12，
∴BP= (1/(1+5))×AB= (1/6)×12=2，
∴OP=OB - BP=6 - 2=4。
∵CD⊥AB，垂足为P，
∴根据垂径定理，CD=2PC，且∠OPC=90°。
在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC=√(OC² - OP²)=√(6² - 4²)=√20=2√5，
∴CD=2PC=2×2√5=4√5。
【答案】4√5![]()
【知识点】垂径定理、勾股定理
【点评】本题是圆中弦长计算的基础题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题关键是构造直角三角形，利用垂径定理转化弦长，属于初中数学圆章节的常规考点题。
【难度系数】0.6
【解析】连接OC。
∵AB是⊙O的直径，AB=12，
∴OC=OB=½AB=6。
∵BP:AP=1:5，AB=12，
∴BP= (1/(1+5))×AB= (1/6)×12=2，
∴OP=OB - BP=6 - 2=4。
∵CD⊥AB，垂足为P，
∴根据垂径定理，CD=2PC，且∠OPC=90°。
在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC=√(OC² - OP²)=√(6² - 4²)=√20=2√5，
∴CD=2PC=2×2√5=4√5。
【答案】4√5
【知识点】垂径定理、勾股定理
【点评】本题是圆中弦长计算的基础题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题关键是构造直角三角形，利用垂径定理转化弦长，属于初中数学圆章节的常规考点题。
【难度系数】0.6
10. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,其内切圆分别与边$AC$、$AB$、$BC$相切于点$D$、$E$、$F$.若$AE=4$,$BE=6$,则$CD$的长为
2
.答案
10. 2 解析:$\because \mathrm{Rt}△ ABC$ 的内切圆分别与边 $AC、AB、BC$ 相切于点 $D、E、F$,$\therefore AD=AE=4$,$BF=BE=6$,$CD=CF$.$\because ∠ C=90°$,$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$,$\therefore (4+CD)^2+(CD+6)^2=(4+6)^2$,解得 $CD=2$(负值已舍去).
解析
【分析】
本题是直角三角形内切圆的边长计算问题，解题思路为：先利用切线长定理得到内切圆与三角形各边切点间的切线长等量关系，再设未知数列方程，结合直角三角形勾股定理求解。具体步骤：根据切线长定理，从同一点引圆的两条切线长度相等，得出AD=AE、BF=BE、CD=CF；已知AE、BE的长度，可表示出AB，设CD为未知数，进而表示出AC、BC；最后在直角三角形ABC中，用勾股定理建立方程，求解得到CD的长度。
【解析】
解：
∵ ⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别与边AC、AB、BC相切于点D、E、F，
∴ 根据切线长定理，得：AD = AE = 4，BF = BE = 6，CD = CF。
设CD = x，则CF = x，
∴ AC = AD + CD = 4 + x，BC = BF + CF = 6 + x，
又
∵ AB = AE + BE = 4 + 6 = 10，∠C = 90°，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC² + BC² = AB²，
即 (4 + x)² + (6 + x)² = 10²，
展开整理得：x² + 10x - 24 = 0，
因式分解得：(x + 12)(x - 2) = 0，
解得x₁ = 2，x₂ = -12（边长为正，舍去），
∴ CD的长为2。
【答案】
2
【知识点】
切线长定理、勾股定理
【点评】
本题考查切线长定理与勾股定理的综合应用，核心是利用切线长相等的性质转化边长，结合勾股定理列方程求解，属于基础题型，需学生熟练掌握切线长定理的内容及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
本题是直角三角形内切圆的边长计算问题，解题思路为：先利用切线长定理得到内切圆与三角形各边切点间的切线长等量关系，再设未知数列方程，结合直角三角形勾股定理求解。具体步骤：根据切线长定理，从同一点引圆的两条切线长度相等，得出AD=AE、BF=BE、CD=CF；已知AE、BE的长度，可表示出AB，设CD为未知数，进而表示出AC、BC；最后在直角三角形ABC中，用勾股定理建立方程，求解得到CD的长度。
【解析】
解：
∵ ⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别与边AC、AB、BC相切于点D、E、F，
∴ 根据切线长定理，得：AD = AE = 4，BF = BE = 6，CD = CF。
设CD = x，则CF = x，
∴ AC = AD + CD = 4 + x，BC = BF + CF = 6 + x，
又
∵ AB = AE + BE = 4 + 6 = 10，∠C = 90°，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC² + BC² = AB²，
即 (4 + x)² + (6 + x)² = 10²，
展开整理得：x² + 10x - 24 = 0，
因式分解得：(x + 12)(x - 2) = 0，
解得x₁ = 2，x₂ = -12（边长为正，舍去），
∴ CD的长为2。
【答案】
2
【知识点】
切线长定理、勾股定理
【点评】
本题考查切线长定理与勾股定理的综合应用，核心是利用切线长相等的性质转化边长，结合勾股定理列方程求解，属于基础题型，需学生熟练掌握切线长定理的内容及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
