三、解答题
11. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数. 在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生的成绩（单位：分）如下：
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.

(1) 以上成绩统计分析表中，$a=$，$b=$，$c=$.
(2) 小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是组的学生.
(3) 从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选组.

11. (1)6 7 2 解析:甲组的中位数 $a=\dfrac{6+6}{2}=6$;在乙组学生的成绩中,数据 7 出现了四次,次数最多,$\therefore$ 众数 $b=7$;乙组的方差 $c=\dfrac{1}{10}×[(5-7)^2+3×(6-7)^2+4×(7-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2]=2$.
(2)甲 解析:由(1)知,甲组的中位数是 6,乙组的中位数是 7,而小明同学说:"这次竞赛我得了7分,在我们小组中属中游略偏上!"从而得出小明可能是甲组的学生.
(3)乙 解析:$\because$ 甲、乙两组的平均数相同,而乙组的方差小于甲组的方差,$\therefore$ 乙组的成绩比较稳定,应选乙组参加决赛.

【分析】
要解决本题，需掌握中位数、众数、方差的计算方法，以及利用统计量分析数据的能力。第(1)问中，中位数需先将数据排序，偶数个数据取中间两数的平均数，众数是出现次数最多的数，方差按公式计算；第(2)问根据中位数判断7分在组内的位置；第(3)问利用方差越小成绩越稳定的结论选择小组。
【解析】
(1) 计算甲组中位数$a$：
甲组成绩从小到大排列为：5,6,6,6,6,6,7,9,9,10，共10个数据（偶数个），中位数为第5、6个数据的平均数，即$a=\frac{6+6}{2}=6$；
计算乙组众数$b$：
乙组成绩中，7出现的次数最多（共4次），故众数$b=7$；
计算乙组方差$c$：
乙组平均数为7，根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，代入数据得：
$c=\frac{1}{10}×[(5-7)^2 + 3×(6-7)^2 + 4×(7-7)^2 + (9-7)^2 + (10-7)^2]$
$=\frac{1}{10}×(4 + 3×1 + 0 + 4 + 9)=\frac{20}{10}=2$；
(2) 分析：甲组中位数为6，乙组中位数为7，小明得7分，7分大于甲组中位数，属于甲组的中游略偏上；7分等于乙组中位数，属于乙组的中游，故小明是甲组学生；
(3) 甲、乙两组平均数相同，甲组方差为2.6，乙组方差为2，方差越小成绩越稳定，因此乙组成绩更稳定，应选乙组参加决赛。
【答案】
(1)6，7，2；(2)甲；(3)乙
【知识点】
中位数、众数、方差
【点评】
本题考查统计中核心统计量的计算与实际应用，需熟练掌握各统计量的定义和计算方法，能利用统计量分析数据的特征，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.6

12. 如图,在$□ ABCD$中,点$A$、$B$在$x$轴上,$CD$与$y$轴交于点$F$,$∠ DAB=45^{ \circ }$,$BD ⊥ AD$交$y$轴于点$E$,顶点$D$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$第二象限的图象上,$AD$的延长线交$y$轴于点$G$,若$OB=DF$,且$FG=2$.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)求$□ ABCD$的面积.

12. (1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB// CD$,$\therefore ∠ FDG=∠ DAB=45°$,$∠ DFG=∠ AOG=90°$,$\therefore ∠ DGF=90°-∠ FDG=45°=∠ FDG$,$\therefore DF=FG=2$,$\therefore OB=DF=2$.$\because BD⊥ AD$,$\therefore ∠ ADB=90°$,$\therefore ∠ EDF=90°-∠ FDG=45°$.$\because ∠ DFE=90°$,$\therefore ∠ DEF=45°=∠ EDF$,$\therefore EF=DF=2$.$\because ∠ OEB=∠ FED=∠ OBE=45°$,$\therefore OE=OB=2$,$\therefore OF=OE+EF=4$.$\because$ 点 $D$ 在第二象限,$\therefore D(-2,4)$.$\because$ 点 $D$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象上,$\therefore k=-2×4=-8$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\dfrac{8}{x}$.
(2)在 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中,$DE=\sqrt{DF^2+EF^2}=2\sqrt{2}$.在 $\mathrm{Rt}△ BOE$ 中,$BE=\sqrt{OB^2+OE^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore BD=4\sqrt{2}$,$\therefore AD=4\sqrt{2}$,$\therefore □ ABCD$ 的面积为 $AD· BD=4\sqrt{2}×4\sqrt{2}=32$.

【分析】
本题是平行四边形与反比例函数结合的几何题，解题思路如下：①利用平行四边形对边平行的性质，结合∠DAB=45°，推出△DFG为等腰直角三角形，求出DF长度，进而得到OB长度；②由BD⊥AD，推导△DEF、△BOE均为等腰直角三角形，求出EF、OE长度，从而确定点D的坐标；③将点D坐标代入反比例函数解析式，求出k得到表达式；④利用等腰直角三角形的边长求出AD、BD，再计算平行四边形面积。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠FDG=∠DAB=45°，又CD⊥y轴，
∴ ∠DFG=90°，故△DFG是等腰直角三角形，得DF=FG=2。已知OB=DF，
∴ OB=2。
∵ BD⊥AD，
∴ ∠ADB=90°，则∠EDF=90°-∠FDG=45°，又∠DFE=90°，
∴ △DEF是等腰直角三角形，得EF=DF=2。
∵ ∠OEB=∠FED=45°，∠BOE=90°，
∴ △BOE是等腰直角三角形，得OE=OB=2，因此OF=OE+EF=2+2=4。
点D在第二象限，CD平行于x轴，故D的横坐标为-OB=-2，纵坐标为OF=4，即D(-2,4)。将D代入反比例函数y=k/x，得k=(-2)×4=-8，因此反比例函数表达式为y=-8/x。
(2) 在Rt△DEF中，DE=√(DF²+EF²)=√(2²+2²)=2√2；在Rt△BOE中，BE=√(OB²+OE²)=√(2²+2²)=2√2，故BD=DE+BE=4√2。
∵ ∠DAB=45°，BD⊥AD，
∴ △ABD是等腰直角三角形，得AD=BD=4√2。平行四边形ABCD的面积=AD×BD=4√2×4√2=32。
【答案】
(1) y=-8/x；(2) 32
【知识点】
反比例函数表达式、平行四边形性质、等腰直角三角形
【点评】
本题将平行四边形性质、等腰直角三角形的判定与性质和反比例函数相结合，需要通过角度关系推导边长，确定点坐标，进而求解函数表达式和图形面积，考查学生的逻辑推理与计算能力，是典型的几何与函数综合题。
【难度系数】
0.5

13. 如图,P 是$\odot O$外一点,PA 是$\odot O$的切线,A 是切点,B 是$\odot O$上的一点,且$PB=PA$,射线PO 交$\odot O$于 C、D 两点.
(1)求证:PB 是$\odot O$的切线.
(2)求证:AC 平分$∠ PAB$.
(3)若$\odot O$的直径是 6,$AB=2\sqrt{5}$,则点 D 与$△ PAB$的内切圆上各点之间的距离的最大值是.

13. (1)证明:如图,连接 $OA、OB$.$\because PA$ 是 $\odot O$ 的切线,$\therefore PA⊥ OA$,$\therefore ∠ PAO=90°$.在 $△ PAO$ 和 $△ PBO$ 中,$\begin{cases} PA=PB,\\ PO=PO,\\ OA=OB, \end{cases}$$\therefore △ PAO≌△ PBO(\mathrm{SSS})$,$\therefore ∠ PBO=∠ PAO=90°$,$\therefore PB⊥ OB$.又 $\because OB$ 为 $\odot O$ 的半径,$\therefore PB$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)证明:设 $∠ PAC=α$.$\because ∠ PAO=90°$,$\therefore ∠ OAC=90°-α$.$\because OA=OC$,$\therefore ∠ OCA=∠ OAC=90°-α$.$\because PA=PB$,$OA=OB$,$\therefore PO$ 垂直平分线段 $AB$,$\therefore ∠ CAB=90°-∠ ACO=90°-(90°-α)=α$,$\therefore ∠ PAC=∠ CAB$,即 $AC$ 平分 $∠ PAB$.
(3)7 解析:如图,设 $AB$ 交 $PO$ 于点 $M$.$\because PA、PB$ 是 $\odot O$ 的切线,$\therefore PO$ 平分 $∠ APB$.$\because AC$ 平分 $∠ PAB$,$\therefore C$ 是 $△ PAB$ 的内心.设 $△ PAB$ 的内切圆 $\odot C$ 交 $PC$ 于点 $H$.$\because \odot O$ 的直径为 6,$\therefore OA=3$.$\because PO$ 垂直平分线段 $AB$,$AB=2\sqrt{5}$,$\therefore AM=BM=\sqrt{5}$,$\therefore OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{5})^2}=2$.$\because OC=3$,$\therefore CH=CM=OC-OM=3-2=1$.$\because$ 点 $D$ 到 $\odot C$ 上各点的最大距离等于 $DH$ 的长,$DH=CD+CH=6+1=7$,$\therefore$ 点 $D$ 与 $△ PAB$ 的内切圆上各点之间距离的最大值是 7.

【分析】
本题分为三小问，解题思路如下：
1. 第(1)问要证PB是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明PB垂直于半径OB，因此连接OA、OB，利用已知PA=PB、PO为公共边、OA=OB，通过SSS证明△PAO≌△PBO，得到∠PBO=∠PAO=90°，即可证得PB是切线。
2. 第(2)问证AC平分∠PAB，先由PA、PB是切线得PO垂直平分AB，再结合OA=OC得到等腰三角形OAC的角相等，通过角度转换推导∠PAC=∠CAB，从而证明AC平分角。
3. 第(3)问求点D与△PAB内切圆上各点距离的最大值，需先确定C是△PAB的内心，内切圆为⊙C，点到圆上点的最大距离为该点到圆心距离加半径；先算⊙O直径得CD=6，再通过勾股定理算OM，进而得内切圆半径CH，最终计算DH=CD+CH得到最大值。
【解析】
(1) 证明：连接OA、OB。
∵ PA是⊙O的切线，
∴ PA⊥OA，即∠PAO=90°。
在△PAO和△PBO中：
$\{\begin{array}{l} PA=PB \\ PO=PO \\ OA=OB \end{array} $
∴ △PAO≌△PBO（SSS），
∴ ∠PBO=∠PAO=90°，即PB⊥OB。
又
∵ OB是⊙O的半径，
∴ PB是⊙O的切线。
(2) 证明：设∠PAC=α。
∵ ∠PAO=90°，
∴ ∠OAC=90°−α。
∵ OA=OC，
∴ △OAC为等腰三角形，∠OCA=∠OAC=90°−α。
∵ PA、PB是⊙O的切线，
∴ PO垂直平分AB，
∴ ∠CAB=90°−∠ACO=90°−(90°−α)=α，
∴ ∠PAC=∠CAB，即AC平分∠PAB。
(3) 解：设AB交PO于点M。
∵ PA、PB是⊙O的切线，
∴ PO平分∠APB；又AC平分∠PAB，
∴ C是△PAB的内心，△PAB的内切圆为⊙C，半径为CH。
∵ ⊙O直径为6，
∴ OA=OC=3，CD=6。
∵ PO垂直平分AB，AB=2√5，
∴ AM=BM=√5，
在Rt△OAM中，OM=√(OA²−AM²)=√(3²−(√5)²)=2，
∴ CH=CM=OC−OM=3−2=1。
点D到⊙C上各点的最大距离为DH=CD+CH=6+1=7。
【答案】7
【知识点】切线的判定、全等三角形的性质、三角形内心
【点评】本题是几何综合题，综合考查切线判定、全等三角形、三角形内心及圆上点的距离最值，需熟练运用圆与三角形的相关定理，逻辑推导要求较高。
【难度系数】0.4