三、解答题
11. 某校九年级为迎接中考,准备了四份听力材料和两份口语材料,听力材料A、B、C、D的难易程度分别是易、中、难、难,口语材料E、F的难易程度分别是易、难.
(1)从四份听力材料中,任选一份是难的听力材料的概率是.
(2)用画树状图的方法列出分别从听力、口语材料中随机选一份组成一套完整的模拟试卷的所有情况,并求出两份材料都是难的组成一套模拟试卷的概率.

11. (1) $\dfrac{1}{2}$ (2)画树状图如图所示. 由树状图可知,共有 8 种等可能的结果,其中两份材料都是难的结果有 2 种,$\therefore$ 两份材料都是难的组成一套模拟试卷的概率是 $\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$.

【分析】
本题考查古典概型概率的计算，解题思路：第(1)问先确定总听力材料数和其中难的听力材料数，利用古典概型概率公式直接计算；第(2)问通过画树状图列举所有等可能的组合结果，再找出“两份材料都是难”的结果数，进而计算对应概率，关键是树状图需完整列举所有情况，避免遗漏或重复。
【解析】
(1) 已知四份听力材料中，难的听力材料有2份，总听力材料数为4份，根据古典概型概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}$，可得任选一份是难的听力材料的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 画树状图：
第一步，列出听力材料的4种情况：易、中、难、难；
第二步，对应每种听力材料，列出口语材料的2种情况：易、难；
由树状图可知，共有$4×2=8$种等可能的结果，其中两份材料都是难的结果有2种（听力难+口语难的组合），因此两份材料都是难的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$；(2) 画树状图如图所示. 由树状图可知,共有 8 种等可能的结果,其中两份材料都是难的结果有 2 种,$\therefore$ 两份材料都是难的组成一套模拟试卷的概率是 $\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$.
【知识点】
古典概型、树状图求概率
【点评】
本题是基础概率应用题，核心是掌握古典概型的概率计算方法，用树状图列举所有等可能结果是求概率的常用工具，需注意列举时的完整性，适合初中阶段学生巩固概率知识。
【难度系数】
0.3

12. 某学校在“美化校园,幸福学习”活动中,计划利用如图所示的直角墙角(阴影部分,两边足够长),用 20 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB、AD 两边).
(1)若花园的面积为$75\ \mathrm{m}^2$,求 AB 的长.
(2)已知在直角墙角内点 P 处有一棵桂花树,且到墙 CD 的距离为 12 m,若要将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),问:该花园的面积能否为$100\ \mathrm{m}^2$? 若能,求出 AB 的长;若不能,请说明理由.

12. (1)设 AB 的长为 $x$ m,则 $x(20-x)=75$,解得 $x=5$ 或 $x=15$. 答:AB 的长为 5 m 或 15 m. (2)假设将这棵树围在矩形花园内,面积能为 $100\ \mathrm{m}^2$. 设 AD 的长为 $y$ m,则 $y(20-y)=100$,解得 $y=10$. $\because 10＜12$,$\therefore$ 将这棵树围在矩形花园内,花园的面积不能为 $100\ \mathrm{m}^2$.

【分析】
本题是利用一元二次方程解决矩形面积的实际问题。解题思路：(1) 设AB的长为$x\ \mathrm{m}$，由篱笆总长20m可得AD的长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，根据矩形面积公式结合面积为$75\ \mathrm{m}^2$列方程求解，得到AB的可能长度；(2) 要将点P围在花园内，需满足AD的长度≥点P到墙CD的距离（12m），假设面积为$100\ \mathrm{m}^2$，设AD的长为$y\ \mathrm{m}$，列方程求解后，判断AD的长度是否满足实际限制条件，进而得出结论。
【解析】
(1) 设AB的长为$x\ \mathrm{m}$，则AD的长为$(20 - x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，花园面积为$x(20 - x)\ \mathrm{m}^2$，结合面积为$75\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x(20 - x) = 75$
整理得：$x^2 - 20x + 75 = 0$
因式分解得：$(x - 5)(x - 15) = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = 15$
(2) 假设花园面积能为$100\ \mathrm{m}^2$，设AD的长为$y\ \mathrm{m}$，则AB的长为$(20 - y)\ \mathrm{m}$。
根据面积公式列方程：
$y(20 - y) = 100$
整理得：$y^2 - 20y + 100 = 0$
解得：$y_1 = y_2 = 10$
因为点P到墙CD的距离为12m，要将树围在花园内，需AD的长度≥12m，而此时$y=10 ＜ 12$，不满足条件，故花园面积不能为$100\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) AB的长为5 m或15 m；(2) 该花园的面积不能为$100\ \mathrm{m}^2$，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，核心是理清边长与篱笆总长的关系，同时需注意实际问题的限制条件（树的位置要求），判断解的合理性，避免脱离实际。
【难度系数】
0.4

13. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BD$是$∠ ABC$的平分线,点$O$在$AB$上,以点$O$为圆心、$OB$的长为半径的圆经过点$D$,交$BC$于点$E$.
(1)求证:$AC$是$\odot O$的切线.
(2)若$OB=10$,$CD=5\sqrt{3}$,求图中阴影部分的面积.

13. (1)证明:如图,连接 OD. $\because BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线,$\therefore ∠ 1=∠ 2$. $\because OB=OD$,$\therefore ∠ 1=∠ 3$,$\therefore ∠ 2=∠ 3$,$\therefore OD// BC$,$\therefore ∠ ODA=∠ C=90°$,$\therefore OD⊥ AC$. $\because OD$ 为 $\odot O$ 的半径,$\therefore AC$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)如图,过点 $O$ 作 $OG⊥ BC$ 于点 $G$,连接 OE,则四边形 ODCG 为矩形,$\therefore GC=OD=OB=10$,$OG=CD=5\sqrt{3}$. 在 $\mathrm{Rt}△ OBG$ 中,$BG=\sqrt{OB^2-OG^2}=5$,$\therefore BE=2BG=10$,$\therefore △ OBE$ 是等边三角形,$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}OBE}-S_{△ OBE}=\dfrac{60×π×10^2}{360}-\dfrac{1}{2}×10×5\sqrt{3}=\dfrac{50π}{3}-25\sqrt{3}$.

【分析】
要解决本题，分为两小问：(1)证明AC是⊙O的切线，需根据切线的判定定理，连接半径OD，结合角平分线、等腰三角形的性质推导OD与BC平行，利用∠C=90°得到OD⊥AC，从而完成切线的证明；(2)求阴影部分面积，阴影是扇形OBE与△OBE的面积差，需作辅助线OG⊥BC构造矩形，利用矩形性质和勾股定理求出相关边长，判断△OBE为等边三角形，进而计算扇形和三角形的面积，最终得到阴影面积。
【解析】
(1)证明：连接OD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2，
又
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD//BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=∠C=90°，即OD⊥AC，
又
∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线。
(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，连接OE，
∵∠C=90°，OG⊥BC，OD⊥AC，
∴四边形ODCG是矩形，
∴OG=CD=5√3，GC=OD=OB=10，
在Rt△OBG中，OB=10，OG=5√3，
由勾股定理得：BG=√(OB² - OG²)=√(10² - (5√3)²)=5，
∴BE=2BG=10，
又
∵OB=OE=10，
∴OB=OE=BE=10，即△OBE是等边三角形，
∴∠BOE=60°，
∴S扇形OBE=(60×π×10²)/360=50π/3，
S△OBE=(1/2)×BE×OG=(1/2)×10×5√3=25√3，
∴S阴影部分=S扇形OBE - S△OBE=50π/3 -25√3。
【答案】
50π/3 -25√3
【知识点】
切线的判定，扇形面积计算，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、扇形面积计算及等边三角形的性质，解题关键是合理构造辅助线，利用矩形、直角三角形的性质推导边长与角度，难度适中，需掌握圆相关的基本定理和面积公式。
【难度系数】
0.5