1. (2024·泸州) 如图，EA、ED 是$\odot O$的切线，切点为 A、D，点 B、C 在$\odot O$上. 若$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，则$∠ E$的度数为（）

A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$

1. C 解析:如图,连接AD.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∵∠BAE+∠BCD=236°,
∴∠EAD+∠BAD+∠BCD=∠EAD+180°=236°,
∴∠EAD=56°.
∵EA、ED是⊙O的切线,切点为A、D,
∴EA=ED,
∴∠EDA=∠EAD=56°,
∴∠E=180°-∠EDA-∠EAD=180°-56°-56°=68°.

【分析】要解决本题，需结合圆内接四边形的性质和切线长定理。首先连接辅助线AD，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知条件求出∠EAD的度数；再根据切线长定理得到EA=ED，推出△EAD为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理计算∠E的度数。
【解析】连接AD。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
又
∵∠BAE + ∠BCD = 236°，
∴∠EAD = (∠BAE + ∠BCD) - (∠BAD + ∠BCD) = 236° - 180° = 56°。
∵EA、ED是⊙O的切线，切点为A、D，
∴EA = ED（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等），
∴△EAD是等腰三角形，∠EDA = ∠EAD = 56°。
根据三角形内角和为180°，得∠E = 180° - ∠EAD - ∠EDA = 180° - 56° - 56° = 68°。
【答案】C
【知识点】圆内接四边形性质、切线长定理、三角形内角和
【点评】本题通过添加辅助线搭建已知条件与圆性质的桥梁，逐步推导求解，重点考查圆的核心性质的应用，是典型的几何综合题。
【难度系数】0.6

2. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$的坐标为$(-4,-3)$,$\odot A$的半径为$1$,$P$为$x$轴上一动点,$PQ$切$\odot A$于点$Q$,则当$PQ$的长最小时,点$P$的坐标为（）

A.$(-4,0)$
B.$(-5,0)$
C.$(-4,0)$或$(-5,0)$
D.$(-3,0)$

2. A 解析:连接AQ、AP.
∵PQ切⊙A于点Q,
∴∠AQP=90°,
∴AQ²+QP²=AP²,
∴PQ²=AP²-AQ²=AP²-1. 当AP最小时,PQ最小,即当AP⊥x轴时,PQ最小,此时点P的坐标为(-4,0).

【分析】要解决PQ长最小的问题，需结合切线性质与勾股定理分析：PQ是⊙A的切线，连接AQ、AP后可得到直角三角形，通过勾股定理转化PQ的表达式，发现PQ的大小由AP决定，因此需找到AP最小时点P的位置，即可求出PQ最小时的P点坐标。
【解析】连接AQ、AP。因为PQ切⊙A于点Q，所以AQ⊥PQ，即∠AQP=90°。在Rt△AQP中，根据勾股定理得：$AP^2 = AQ^2 + PQ^2$，变形为$PQ^2 = AP^2 - AQ^2$。已知⊙A的半径AQ=1，因此$PQ^2 = AP^2 - 1$，要使PQ最小，需AP最小。点P在x轴上，点A到x轴的最短距离是垂线段长度，当AP⊥x轴时，AP最短，此时P点横坐标与A点相同为-4，纵坐标为0，即P(-4,0)。
【答案】(-4,0)
【知识点】切线的性质，勾股定理，点到直线的距离
【点评】本题结合切线性质与勾股定理，考查动点中线段最短的问题，核心是转化PQ的表达式找到AP最短的位置，属于圆的基础应用题型，难度适中。
【难度系数】0.5

3. 如图,正方形$ABCD$的边$AD$与$\odot O$相切于点$P$,$E$、$F$是正方形与圆的另外两个交点.若$BC=8$,则$\odot O$的半径为.

3. 5 解析:如图,连接OB,连接PO并延长交BC于点Q. 由题意可知,AB=BC=8,∠A=∠ABC=90°.
∵AD与⊙O相切于点P,
∴OP⊥AD,
∴∠APQ=∠A=∠ABC=90°,
∴四边形ABQP是矩形,
∴PQ=AB=8,∠PQB=90°,即PQ⊥BC,
∴BQ=CQ=$\frac{1}{2}BC=4$. 设OP=OB=a,则OQ=PQ-OP=8-a. 在Rt△OBQ中,OB²=OQ²+BQ²,即a²=(8-a)²+4²,解得a=5,即⊙O的半径是5.

【分析】
要解决本题，需结合切线性质、正方形性质、垂径定理和勾股定理求解：首先连接过切点的半径OP，利用切线性质得OP⊥AD；再结合正方形的边平行、角为直角的特点构造矩形，得到相关线段长度；最后设圆半径为未知数，在构造的直角三角形中用勾股定理列方程，解方程即可得到半径。
【解析】
连接OB，连接PO并延长交BC于点Q。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=8，∠A=∠ABC=90°，AD//BC。
∵ AD与⊙O相切于点P，
∴ OP⊥AD，即∠APO=90°，
∴ ∠APO=∠A=∠ABC=90°，
∴ 四边形ABQP是矩形，
∴ PQ=AB=8，且OQ⊥BC（因PQ⊥AD，AD//BC），
根据垂径定理，Q为BC中点，故BQ=½BC=4。
设⊙O的半径为r，则OB=OP=r，
∴ OQ=PQ - OP=8 - r。
在Rt△OBQ中，由勾股定理得：
OB² = OQ² + BQ²，
即 r² = (8 - r)² + 4²，
展开得：r² = 64 -16r + r² +16，
化简得：16r=80，
解得：r=5。
【答案】
5
【知识点】
切线的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、正方形性质、垂径定理及勾股定理的应用，核心是构造直角三角形，通过勾股定理建立方程求解，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.6

4. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC,AB⊥ BC,AD、CD$分别与扇形$BAF$相切于点$A、E$.当$AB=15,BC=17$时,$AD$的长为.

4. 9 解析:如图,连接BE,过点D作DH⊥BC于点H,则∠BHD=∠CHD=90°.
∵AD、CD分别与扇形BAF相切于点A、E,AB=15,BC=17,
∴AB=BE=FB=15,AD⊥AB,CD⊥EB,AD=ED,
∴∠BAD=∠BEC=90°,
∴CE=$\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8$,
∴CD=CE+ED=8+AD.
∵AD//BC,
∴∠ADH=∠CHD=90°,
∵∠BAD=∠ADH=∠BHD=90°,
∴四边形ABHD是矩形,
∴BH=AD,DH=AB=15,
∴CH=BC-BH=17-AD. 在Rt△DHC中,DH²+CH²=CD²,
∴15²+(17-AD)²=(8+AD)²,解得AD=9.

【分析】要解决本题，需利用切线的性质得到线段相等关系，通过构造矩形将未知量转化，再结合勾股定理列方程求解。首先连接BE，过D作DH⊥BC，利用切线性质得AB=BE=15，AD=ED，再通过矩形性质表示各边，最后在直角三角形DHC中用勾股定理建立关于AD的方程。
【解析】如图，连接BE，过点D作DH⊥BC于点H，则∠BHD=∠CHD=90°。
∵AD、CD分别与扇形BAF相切于点A、E，AB=15，BC=17，
∴AB=BE=FB=15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD=ED，
∴∠BAD=∠BEC=90°，
∴CE=$\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8$，
∴CD=CE+ED=8+AD。
∵AD//BC，
∴∠ADH=∠CHD=90°，
又
∵∠BAD=∠ADH=∠BHD=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH=AD，DH=AB=15，
∴CH=BC-BH=17-AD。
在Rt△DHC中，由勾股定理得：DH²+CH²=CD²，
即$15^2+(17-AD)^2=(8+AD)^2$，
展开计算：225 + 289 - 34AD + AD² = 64 + 16AD + AD²，
化简得：514 - 34AD = 64 + 16AD，
移项合并：50AD=450，
解得AD=9。
【答案】9
【知识点】切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理
【点评】本题综合考查切线性质、矩形性质及勾股定理的应用，关键是利用切线得到线段等量关系，构造直角三角形建立方程，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.6

5. 如图,点 $I$ 是 $△ ABC$ 的内心,点 $O$ 是 $△ ABC$ 的外心.
(1)请仅用没有刻度的直尺在$\overset{\frown}{BC}$上找一点 $D$,使得 $BD=ID$.
(2)试判断点 $D$ 是图中哪三个点构成的三角形的外心,并说明理由.(如需画草图,请使用图 2)

5. (1)如图1,点D即为所求.(理由:
∵点O是△ABC的外心,
∴⊙O是△ABC的外接圆.
∵点I是△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI.
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠CAD=∠CBD,
∴∠BAD=∠CBD,
∴∠DBI=∠CBD+∠CBI=∠BAD+∠ABI=∠BID,
∴BD=ID.) (2)如图2,点D是图中△BCI的外心,理由如下:连接CD、CI,由(1)知,∠BAD=∠CAD,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴BD=CD,
∴BD=ID=CD,
∴点B、I、C在以点D为圆心、BD为半径的圆上,即点D是△BCI的外心.

【分析】
要解决第(1)问，需利用三角形内心（角平分线交点）、外心（外接圆圆心）的性质，结合圆周角定理、等腰三角形“等角对等边”的判定：连接AI并延长交$\overset{\frown}{BC}$于点D，通过推导角的等量关系，证明∠DBI=∠DIB，从而得到BD=ID；第(2)问，由AD是角平分线得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，故BD=CD，结合第(1)问的BD=ID，可得BD=ID=CD，因此点D到B、I、C三点距离相等，进而判断其为△BCI的外心。
【解析】
(1) 作法：连接AI并延长，交$\overset{\frown}{BC}$于点D，则点D即为所求。
理由：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI。
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD。
∴∠DBI=∠CBD+∠CBI=∠BAD+∠ABI=∠BID，
∴BD=ID。
(2) 点D是△BCI的外心，理由如下：
连接CD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴BD=CD。
由(1)知BD=ID，
∴BD=ID=CD，即DB=DI=DC，
∴点B、I、C在以点D为圆心、BD为半径的圆上，故点D是△BCI的外心。
【答案】
(1) 如图1，点D即为所求。 (2) 点D是△BCI的外心，理由见解析。
【知识点】
三角形内心、外心，圆周角定理，等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查三角形内心与外心的性质，结合圆周角定理、等腰三角形判定，需灵活运用角的等量关系推导线段相等，注重几何核心知识点的综合应用，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

6. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,点$C$在直径$AB$上(点$C$与$A$、$B$两点不重合),$OC=3$,点$D$在$\odot O$上且满足$AC=AD$,连接$DC$并延长到点$E$,使$BE=BD$.
(1)求证:$BE$是$\odot O$的切线.
(2)当$BE=6$时,求$\odot O$的半径.

6. (1)证明:
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠BDE+∠ADC=90°.
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC.
∵∠ACD=∠ECB,
∴∠ECB=∠ADC.
∵EB=DB,
∴∠E=∠BDE,
∴∠E+∠BCE=∠BDE+∠ADC=90°,
∴∠EBC=180°-(∠E+∠ECB)=90°.
∵OB是⊙O的半径,
∴BE是⊙O的切线. (2)设⊙O的半径为r.
∵OC=3,
∴AC=AD=AO+OC=3+r.
∵BE=6,
∴BD=BE=6. 在Rt△ABD中,BD²+AD²=AB²,
∴6²+(r+3)²=(2r)²,解得r₁=5,r₂=-3(舍去),
∴⊙O的半径为5.

【分析】
要证明BE是⊙O的切线，需证BE垂直于半径OB，即∠EBC=90°。利用AB为直径的性质得∠ADB=90°，结合等腰三角形AC=AD、BE=BD的角相等关系，通过等量代换推导∠EBC=90°；求半径时，设半径为r，用AC=AD表示AD，结合BE=BD，在Rt△ABD中应用勾股定理列方程求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB为⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ADB=90°，即∠ADC + ∠BDE = 90°。
∵ AC=AD，等腰三角形两底角相等，
∴ ∠ACD=∠ADC。
又
∵ ∠ACD与∠ECB是对顶角，
∴ ∠ACD=∠ECB，因此∠ECB=∠ADC。
∵ BE=BD，等腰三角形两底角相等，
∴ ∠E=∠BDE。
将∠E=∠BDE、∠ECB=∠ADC代入∠ADC + ∠BDE=90°，得：
∠E + ∠ECB = 90°。
在△EBC中，内角和为180°，
∴ ∠EBC = 180° - (∠E + ∠ECB) = 180° - 90° = 90°，即BE⊥OB。
∵ OB是⊙O的半径，
∴ BE是⊙O的切线。
(2) 解：设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，AB=2r。
∵ OC=3，点C在AB上，
∴ AC=AO + OC = r + 3。
又
∵ AC=AD，
∴ AD = r + 3。
由BE=6，且BE=BD，得BD=6。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，根据勾股定理：
BD² + AD² = AB²，
代入得：6² + (r + 3)² = (2r)²，
整理得：3r² - 6r - 45 = 0，即r² - 2r -15=0，
解得r₁=5，r₂=-3（半径为正数，舍去），
∴ ⊙O的半径为5。
【答案】
(1) BE是⊙O的切线，证明成立；(2) ⊙O的半径为5。
【知识点】
切线的判定、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的性质与等腰三角形、勾股定理的综合应用，需熟练掌握切线的判定方法，通过角的等量代换推导垂直关系，第二问利用勾股定理建立方程求解半径，是圆相关知识的典型题型。
【难度系数】
0.5