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1.【新情境】(2024·云南)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥的母线长为 40 cm,底面圆的半径为 30 cm,则该圆锥的侧面积为（
A.$700π\ \mathrm{cm}^2$
B.$900π\ \mathrm{cm}^2$
C.$1\ 200π\ \mathrm{cm}^2$
D.$1\ 600π\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$700π\ \mathrm{cm}^2$
B.$900π\ \mathrm{cm}^2$
C.$1\ 200π\ \mathrm{cm}^2$
D.$1\ 600π\ \mathrm{cm}^2$
答案
1. C
解析
【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，解题关键是牢记圆锥侧面积公式：圆锥侧面积$ S_{侧} = π r l $（其中$ r $为底面圆半径，$ l $为圆锥母线长）。题目已给出母线长$ l = 40\ \mathrm{cm} $，底面圆半径$ r = 30\ \mathrm{cm} $，直接代入公式计算即可。
【解析】根据圆锥侧面积公式$ S_{侧} = π r l $，将$ r = 30\ \mathrm{cm} $，$ l = 40\ \mathrm{cm} $代入得：$ S_{侧} = π × 30 × 40 = 1200π\ \mathrm{cm}^2 $，因此答案选C。
【答案】C
【知识点】圆锥侧面积计算
【点评】本题属于基础题，直接考查圆锥侧面积公式的应用，只需准确记忆公式并代入数值计算即可，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据圆锥侧面积公式$ S_{侧} = π r l $，将$ r = 30\ \mathrm{cm} $，$ l = 40\ \mathrm{cm} $代入得：$ S_{侧} = π × 30 × 40 = 1200π\ \mathrm{cm}^2 $，因此答案选C。
【答案】C
【知识点】圆锥侧面积计算
【点评】本题属于基础题，直接考查圆锥侧面积公式的应用，只需准确记忆公式并代入数值计算即可，难度较低。
【难度系数】0.8
2. (2024·广安) 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC=10$,$∠ C=70°$,以$AB$为直径作半圆,与$AC$、$BC$分别相交于点$D$、$E$,则$\overset{\frown}{DE}$的长为（
A.$\dfrac{π}{9}$
B.$\dfrac{5π}{9}$
C.$\dfrac{10π}{9}$
D.$\dfrac{25π}{9}$
C
）A.$\dfrac{π}{9}$
B.$\dfrac{5π}{9}$
C.$\dfrac{10π}{9}$
D.$\dfrac{25π}{9}$
答案
2. C 解析:如图,连接OD、OE.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=70°.
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠ABC=70°,
∴∠OEB=∠C=70°,
∴OE//AC. 在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,AB=10,
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-70°-70°=40°,OA=OD=$\frac{1}{2}AB=5$.
∵OE//AC,
∴∠A=∠ADO=40°=∠DOE,
∴$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{40π×5}{180}=\frac{10π}{9}$.
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{DE}$的长，需先确定其对应的圆心角的度数，再利用弧长公式计算。首先根据等腰三角形$ABC$的性质求出顶角$∠ A$的度数；接着连接辅助线$OD$、$OE$，利用圆的半径相等得到等腰三角形，结合平行线的性质求出圆心角$∠ DOE$的度数；最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接$OD$、$OE$，
$\because AB=AC=10$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ C=70°$，
$\therefore ∠ A=180° - ∠ ABC - ∠ C=180° -70° -70°=40°$。
$\because AB$是半圆的直径，
$\therefore OA=OD=OE=OB=\frac{1}{2}AB=5$。
$\because OE=OB$，
$\therefore △ OEB$是等腰三角形，$∠ OEB=∠ ABC=70°$，
$\therefore ∠ EOB=180° -70° -70°=40°$。
又$\because ∠ OEB=∠ C=70°$，
$\therefore OE// AC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ DOE=∠ ADO$（内错角相等）。
$\because OA=OD$，
$\therefore △ OAD$是等腰三角形，$∠ ADO=∠ A=40°$，
$\therefore ∠ DOE=40°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），
得$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{40π ×5}{180}=\frac{10π}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算、等腰三角形性质、圆的基本性质
【点评】
本题结合等腰三角形与圆的性质，通过添加辅助线构造等腰三角形，利用平行线性质确定圆心角，再应用弧长公式求解，综合性适中，需掌握圆的半径相等、等腰三角形角度计算及弧长公式等知识点。
【难度系数】
0.5
要计算$\overset{\frown}{DE}$的长，需先确定其对应的圆心角的度数，再利用弧长公式计算。首先根据等腰三角形$ABC$的性质求出顶角$∠ A$的度数；接着连接辅助线$OD$、$OE$，利用圆的半径相等得到等腰三角形，结合平行线的性质求出圆心角$∠ DOE$的度数；最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接$OD$、$OE$，
$\because AB=AC=10$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ C=70°$，
$\therefore ∠ A=180° - ∠ ABC - ∠ C=180° -70° -70°=40°$。
$\because AB$是半圆的直径，
$\therefore OA=OD=OE=OB=\frac{1}{2}AB=5$。
$\because OE=OB$，
$\therefore △ OEB$是等腰三角形，$∠ OEB=∠ ABC=70°$，
$\therefore ∠ EOB=180° -70° -70°=40°$。
又$\because ∠ OEB=∠ C=70°$，
$\therefore OE// AC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ DOE=∠ ADO$（内错角相等）。
$\because OA=OD$，
$\therefore △ OAD$是等腰三角形，$∠ ADO=∠ A=40°$，
$\therefore ∠ DOE=40°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），
得$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{40π ×5}{180}=\frac{10π}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算、等腰三角形性质、圆的基本性质
【点评】
本题结合等腰三角形与圆的性质，通过添加辅助线构造等腰三角形，利用平行线性质确定圆心角，再应用弧长公式求解，综合性适中，需掌握圆的半径相等、等腰三角形角度计算及弧长公式等知识点。
【难度系数】
0.5
3. (2024·广元) $F$ 是正五边形 $ABCDE$ 边 $DE$ 的中点,连接 $BF$ 并延长与 $CD$ 的延长线交于点 $G$,则 $∠ BGC$ 的度数为
$18°$
.答案
3. $18°$ 解析:由正五边形的性质可知,BG所在的直线是正五边形ABCDE的对称轴,
∴∠DFG=90°.
∵∠FDG是正五边形ABCDE的外角,
∴∠FDG=$\frac{360°}{5}=72°$,
∴∠BGC=180°-∠DFG-∠FDG=180°-90°-72°=18°.
∴∠DFG=90°.
∵∠FDG是正五边形ABCDE的外角,
∴∠FDG=$\frac{360°}{5}=72°$,
∴∠BGC=180°-∠DFG-∠FDG=180°-90°-72°=18°.
解析
【分析】首先利用正五边形的性质：正五边形外角和为360°，且是轴对称图形，连接顶点到对边中点的直线为其对称轴；本题中F是DE中点，故BG是正五边形ABCDE的对称轴，可得∠DFG=90°；再根据正五边形每个外角相等，算出∠FDG=72°；最后在△DFG中，利用三角形内角和为180°，即可求出∠BGC的度数。
【解析】
1. 正五边形的外角和为360°，因此每个外角的度数为：$\frac{360°}{5}=72°$，即∠FDG=72°；
2. 因为F是DE的中点，正五边形ABCDE是轴对称图形，直线BG为其对称轴，所以BF⊥DE，即∠DFG=90°；
3. 在△DFG中，根据三角形内角和定理，∠BGC=180°−∠DFG−∠FDG=180°−90°−72°=18°。
【答案】18°
【知识点】正五边形的性质、三角形内角和、轴对称
【点评】本题结合正五边形的对称性与三角形内角和考查角度计算，关键是利用正五边形的对称轴找到直角，再结合外角性质求解，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 正五边形的外角和为360°，因此每个外角的度数为：$\frac{360°}{5}=72°$，即∠FDG=72°；
2. 因为F是DE的中点，正五边形ABCDE是轴对称图形，直线BG为其对称轴，所以BF⊥DE，即∠DFG=90°；
3. 在△DFG中，根据三角形内角和定理，∠BGC=180°−∠DFG−∠FDG=180°−90°−72°=18°。
【答案】18°
【知识点】正五边形的性质、三角形内角和、轴对称
【点评】本题结合正五边形的对称性与三角形内角和考查角度计算，关键是利用正五边形的对称轴找到直角，再结合外角性质求解，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】0.6
4. (2024·通辽)如图,为便于研究圆锥与扇形的关系,小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为5 cm、母线长为12 cm 的圆锥的侧面,那么这个扇形纸片的面积是
(结果用含$π$的式子表示)
$60π$
$\mathrm{cm^{2}}$.(结果用含$π$的式子表示)
答案
4. $60π$ 解析:这个扇形纸片的面积是$\frac{1}{2}×2π×5×12=60π(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】要计算围成圆锥侧面的扇形纸片面积，需明确圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。先求出圆锥底面周长（即扇形弧长），再利用扇形面积公式计算即可。
【解析】已知圆锥底面半径为5 cm，母线长为12 cm。
1. 计算圆锥底面周长（即扇形弧长）：$C = 2π r = 2π × 5 = 10π \ (\mathrm{cm})$；
2. 扇形的半径等于圆锥的母线长，即扇形半径$R = 12\ \mathrm{cm}$；
3. 根据扇形面积公式$S = \frac{1}{2} × \mathrm{弧长} × \mathrm{半径}$，代入得：$S = \frac{1}{2} × 10π × 12 = 60π \ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】$60π$
【知识点】圆锥侧面展开图、扇形面积计算
【点评】本题考查圆锥侧面展开图与扇形的关系，核心是掌握圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，利用扇形面积公式即可求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】已知圆锥底面半径为5 cm，母线长为12 cm。
1. 计算圆锥底面周长（即扇形弧长）：$C = 2π r = 2π × 5 = 10π \ (\mathrm{cm})$；
2. 扇形的半径等于圆锥的母线长，即扇形半径$R = 12\ \mathrm{cm}$；
3. 根据扇形面积公式$S = \frac{1}{2} × \mathrm{弧长} × \mathrm{半径}$，代入得：$S = \frac{1}{2} × 10π × 12 = 60π \ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】$60π$
【知识点】圆锥侧面展开图、扇形面积计算
【点评】本题考查圆锥侧面展开图与扇形的关系，核心是掌握圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，利用扇形面积公式即可求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
5.【新情境】(2024·内蒙古)为了促进城乡协调发展,实现共同富裕,某乡镇计划修建公路.
如图,$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$是公路弯道的外、内边线,它们有共同的圆心$ O$,所对的圆心角都是$72^{\circ }$,点$ A$、$C$、$O $在同一条直线上,公路弯道外侧边线比内侧边线多 36 m,则公路宽$ AC $的长是
如图,$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$是公路弯道的外、内边线,它们有共同的圆心$ O$,所对的圆心角都是$72^{\circ }$,点$ A$、$C$、$O $在同一条直线上,公路弯道外侧边线比内侧边线多 36 m,则公路宽$ AC $的长是
$28.7$
m.($π$取3.14,计算结果精确到0.1)答案
5. 28.7 解析:根据题意,得$\frac{72π·OA}{180}-\frac{72π·OC}{180}=36$,
∴OA-OC=$\frac{90}{π}≈28.7(\mathrm{m})$,即AC≈28.7 m.
∴OA-OC=$\frac{90}{π}≈28.7(\mathrm{m})$,即AC≈28.7 m.
解析
【分析】
本题考查弧长公式的应用，解题思路是：首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），明确外侧弧$AB$的半径为$OA$，内侧弧$CD$的半径为$OC$，两者圆心角均为$72°$；再根据“外侧边线比内侧边线多36m”，利用弧长差建立等式，求出$OA$与$OC$的差，而公路宽$AC=OA-OC$，即可得到结果。
【解析】
根据弧长公式，弧$\overset{\frown}{AB}$的长度为$\frac{72π · OA}{180}$，弧$\overset{\frown}{CD}$的长度为$\frac{72π · OC}{180}$。
由题意，外侧弧比内侧弧长36m，因此：
$\frac{72π · OA}{180} - \frac{72π · OC}{180} = 36$
提取公因式$\frac{72π}{180}$，得：
$\frac{72π}{180}(OA - OC) = 36$
化简计算：
$OA - OC = \frac{36 × 180}{72π} = \frac{90}{π}$
代入$π\approx3.14$，得：
$OA - OC \approx \frac{90}{3.14} \approx 28.7(\mathrm{m})$
因为$AC = OA - OC$，所以公路宽$AC$约为28.7m。
【答案】
28.7
【知识点】
弧长公式；圆的相关计算
【点评】
本题是弧长公式的基础应用，核心是利用同圆心、同圆心角的弧长差建立关系，求出半径差即公路宽，题型常规，难度适中，需准确记忆弧长公式并灵活运用。
【难度系数】
0.5
本题考查弧长公式的应用，解题思路是：首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），明确外侧弧$AB$的半径为$OA$，内侧弧$CD$的半径为$OC$，两者圆心角均为$72°$；再根据“外侧边线比内侧边线多36m”，利用弧长差建立等式，求出$OA$与$OC$的差，而公路宽$AC=OA-OC$，即可得到结果。
【解析】
根据弧长公式，弧$\overset{\frown}{AB}$的长度为$\frac{72π · OA}{180}$，弧$\overset{\frown}{CD}$的长度为$\frac{72π · OC}{180}$。
由题意，外侧弧比内侧弧长36m，因此：
$\frac{72π · OA}{180} - \frac{72π · OC}{180} = 36$
提取公因式$\frac{72π}{180}$，得：
$\frac{72π}{180}(OA - OC) = 36$
化简计算：
$OA - OC = \frac{36 × 180}{72π} = \frac{90}{π}$
代入$π\approx3.14$，得：
$OA - OC \approx \frac{90}{3.14} \approx 28.7(\mathrm{m})$
因为$AC = OA - OC$，所以公路宽$AC$约为28.7m。
【答案】
28.7
【知识点】
弧长公式；圆的相关计算
【点评】
本题是弧长公式的基础应用，核心是利用同圆心、同圆心角的弧长差建立关系，求出半径差即公路宽，题型常规，难度适中，需准确记忆弧长公式并灵活运用。
【难度系数】
0.5
6. (2024·深圳) 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, $BC=\sqrt{2}AB$, $O$ 为边 $BC$ 的中点, $OE=AB=4$, 则扇形$EOF$ 的面积为
$4π$
.答案
6. $4π$ 解析:
∵OE=AB=4,
∴BC=$\sqrt{2}AB=4\sqrt{2}$.
∵O为BC的中点,
∴OB=OC=$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$.
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠OBE=90°,
∴BE=$\sqrt{OE^2-OB^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2}$,
∴OB=BE,
∴∠BOE=45°,同理可得∠COF=45°,
∴∠EOF=180°-∠BOE-∠COF=90°,
∴$S_{\mathrm{扇形}EDF}=\frac{90}{360}π·OE^2=4π$.
∵OE=AB=4,
∴BC=$\sqrt{2}AB=4\sqrt{2}$.
∵O为BC的中点,
∴OB=OC=$\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$.
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠OBE=90°,
∴BE=$\sqrt{OE^2-OB^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2}$,
∴OB=BE,
∴∠BOE=45°,同理可得∠COF=45°,
∴∠EOF=180°-∠BOE-∠COF=90°,
∴$S_{\mathrm{扇形}EDF}=\frac{90}{360}π·OE^2=4π$.
解析
【分析】
要计算扇形EOF的面积，需先确定扇形的圆心角和半径。已知OE=AB=4，先由BC=√2 AB求出BC的长度，再利用O是BC中点得到OB的长度；接着在直角三角形OBE中，通过勾股定理算出BE的长度，判断出△OBE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45°，同理得到∠COF=45°，进而求出圆心角∠EOF=90°，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
∵ OE=AB=4，
∴ AB=4，
又
∵ BC=√2 AB，
∴ BC=√2×4=4√2，
∵ O为BC的中点，
∴ OB=OC=½ BC=½×4√2=2√2，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，即△OBE是直角三角形，
由勾股定理得：BE=√(OE² - OB²)=√(4² - (2√2)²)=√(16 - 8)=2√2，
∴ OB=BE，
∴ △OBE是等腰直角三角形，故∠BOE=45°，
同理可得∠COF=45°，
∴ ∠EOF=180° - ∠BOE - ∠COF=180° - 45° - 45°=90°，
根据扇形面积公式：$S=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），
这里n=90°，r=OE=4，
∴ $S_{扇形EOF}=\frac{90×π×4^2}{360}=4π$。
【答案】
4π
【知识点】
矩形性质、勾股定理、扇形面积计算
【点评】
本题是矩形与扇形的综合题，需要结合矩形性质、勾股定理求扇形圆心角，再用扇形面积公式计算，考查逻辑推理与计算能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
要计算扇形EOF的面积，需先确定扇形的圆心角和半径。已知OE=AB=4，先由BC=√2 AB求出BC的长度，再利用O是BC中点得到OB的长度；接着在直角三角形OBE中，通过勾股定理算出BE的长度，判断出△OBE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45°，同理得到∠COF=45°，进而求出圆心角∠EOF=90°，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
∵ OE=AB=4，
∴ AB=4，
又
∵ BC=√2 AB，
∴ BC=√2×4=4√2，
∵ O为BC的中点，
∴ OB=OC=½ BC=½×4√2=2√2，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，即△OBE是直角三角形，
由勾股定理得：BE=√(OE² - OB²)=√(4² - (2√2)²)=√(16 - 8)=2√2，
∴ OB=BE，
∴ △OBE是等腰直角三角形，故∠BOE=45°，
同理可得∠COF=45°，
∴ ∠EOF=180° - ∠BOE - ∠COF=180° - 45° - 45°=90°，
根据扇形面积公式：$S=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），
这里n=90°，r=OE=4，
∴ $S_{扇形EOF}=\frac{90×π×4^2}{360}=4π$。
【答案】
4π
【知识点】
矩形性质、勾股定理、扇形面积计算
【点评】
本题是矩形与扇形的综合题，需要结合矩形性质、勾股定理求扇形圆心角，再用扇形面积公式计算，考查逻辑推理与计算能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在扇形$AOB$中,$∠ AOB=120^{ \circ }$,$OA=5$,$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$D$为半径$OA$上一点,则图中阴影部分的面积为
$\frac{25π}{6}$
.答案
7. $\frac{25π}{6}$ 解析:如图,连接OC、BC.
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°.
∵OB=OC,
∴△BOC是等边三角形,
∴∠OCB=∠AOC=60°,
∴BC//OA,
∴$S_{△ BCD}=S_{△ BCO}$,
∴$S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{60π×5^2}{360}=\frac{25π}{6}$.
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，需先连接辅助线OC、BC，利用弧中点的性质得到∠BOC的度数，结合OB=OC判定△BOC为等边三角形，进而推出BC//OA，通过同底等高的三角形面积相等，将不规则的阴影面积转化为规则的扇形BOC的面积，最后用扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC、BC，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
又
∵OB=OC=OA=5，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCB=∠AOC，
∴BC//OA，
∴△BCD与△BCO同底等高，即$S_{△BCD}=S_{△BCO}$，
因此阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），
代入n=60°，r=5，得：
$S_{阴影}=S_{扇形BOC}=\frac{60π×5^2}{360}=\frac{25π}{6}$。
【答案】
$\frac{25π}{6}$
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形判定，平行线性质
【点评】
本题通过辅助线构造，利用等积变换将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，核心考查扇形面积公式的应用与几何图形的等积变换，需要掌握弧中点的性质及平行线的判定。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分的面积，需先连接辅助线OC、BC，利用弧中点的性质得到∠BOC的度数，结合OB=OC判定△BOC为等边三角形，进而推出BC//OA，通过同底等高的三角形面积相等，将不规则的阴影面积转化为规则的扇形BOC的面积，最后用扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC、BC，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
又
∵OB=OC=OA=5，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCB=∠AOC，
∴BC//OA，
∴△BCD与△BCO同底等高，即$S_{△BCD}=S_{△BCO}$，
因此阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），
代入n=60°，r=5，得：
$S_{阴影}=S_{扇形BOC}=\frac{60π×5^2}{360}=\frac{25π}{6}$。
【答案】
$\frac{25π}{6}$
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形判定，平行线性质
【点评】
本题通过辅助线构造，利用等积变换将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，核心考查扇形面积公式的应用与几何图形的等积变换，需要掌握弧中点的性质及平行线的判定。
【难度系数】
0.5
8. (2024·资阳)如图,在矩形$ABCD$中,$AB=4$,$AD=2$,以点$A$为圆心、$AD$的长为半径作弧交$AB$于点$E$,再以$AB$为直径作半圆,与$\overset{\frown}{DE}$交于点$F$,则图中阴影部分的面积为
$\sqrt{3}+\frac{2π}{3}$
.答案
8. $\sqrt{3}+\frac{2π}{3}$ 解析:如图,连接AF、EF. 根据题意易知△AEF是等边三角形,$S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{半圆}}-S_{\mathrm{扇形}AEF}-S_{\mathrm{弓形}EF}=\frac{1}{2}π×2^2-\frac{60}{360}×π×2^2-(\frac{60}{360}×π×2^2-\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×2)=\sqrt{3}+\frac{2π}{3}$.
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，需先明确图形中线段与角度关系：由题意得AE=AD=2，AB为直径，故以AB为直径的半圆半径为2，因此AF=AE=EF=2，△AEF是等边三角形，∠EAF=60°。阴影面积可通过“半圆面积减去扇形AEF面积，再减去弓形EF的面积”计算，而弓形EF的面积等于扇形AEF面积减去等边△AEF的面积，代入公式即可求解。
【解析】
解：连接AF、EF。
根据题意，AE=AD=2，AB=4，以AB为直径的半圆半径为2，故AF=AE=EF=2，因此△AEF是等边三角形，∠EAF=60°。
1. 半圆面积：$S_{半圆}=\frac{1}{2}πr^2=\frac{1}{2}π×2^2=2π$；
2. 扇形AEF的面积：$S_{扇形AEF}=\frac{60°}{360°}×π×2^2=\frac{2π}{3}$；
3. 等边△AEF的面积：$S_{△AEF}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$；
4. 弓形EF的面积：$S_{弓形EF}=S_{扇形AEF}-S_{△AEF}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$；
5. 阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{半圆}-S_{扇形AEF}-S_{弓形EF}=2π-\frac{2π}{3}-(\frac{2π}{3}-\sqrt{3})=\sqrt{3}+\frac{2π}{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}+\frac{2π}{3}$
【知识点】
圆的面积、扇形面积、等边三角形面积
【点评】
本题通过割补法将阴影面积转化为半圆面积与扇形、三角形面积的差，关键是判定△AEF为等边三角形，考查了圆和三角形面积的综合应用，需熟练掌握相关面积公式。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分的面积，需先明确图形中线段与角度关系：由题意得AE=AD=2，AB为直径，故以AB为直径的半圆半径为2，因此AF=AE=EF=2，△AEF是等边三角形，∠EAF=60°。阴影面积可通过“半圆面积减去扇形AEF面积，再减去弓形EF的面积”计算，而弓形EF的面积等于扇形AEF面积减去等边△AEF的面积，代入公式即可求解。
【解析】
解：连接AF、EF。
根据题意，AE=AD=2，AB=4，以AB为直径的半圆半径为2，故AF=AE=EF=2，因此△AEF是等边三角形，∠EAF=60°。
1. 半圆面积：$S_{半圆}=\frac{1}{2}πr^2=\frac{1}{2}π×2^2=2π$；
2. 扇形AEF的面积：$S_{扇形AEF}=\frac{60°}{360°}×π×2^2=\frac{2π}{3}$；
3. 等边△AEF的面积：$S_{△AEF}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$；
4. 弓形EF的面积：$S_{弓形EF}=S_{扇形AEF}-S_{△AEF}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$；
5. 阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{半圆}-S_{扇形AEF}-S_{弓形EF}=2π-\frac{2π}{3}-(\frac{2π}{3}-\sqrt{3})=\sqrt{3}+\frac{2π}{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}+\frac{2π}{3}$
【知识点】
圆的面积、扇形面积、等边三角形面积
【点评】
本题通过割补法将阴影面积转化为半圆面积与扇形、三角形面积的差，关键是判定△AEF为等边三角形，考查了圆和三角形面积的综合应用，需熟练掌握相关面积公式。
【难度系数】
0.5
