1. (2025·绥化)在$\odot O$中,若$75^{\circ }$的圆心角所对的弧长是$2.5π \ \mathrm{cm}$,则$\odot O$的半径是 （）

A.$6\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$10\ \mathrm{cm}$
D.$12\ \mathrm{cm}$

1. A 解析:设⊙O的半径是r cm. 根据题意,得$\frac{75π r}{180}=2.5π$,解得r=6,
∴⊙O的半径是6 cm.

【分析】本题已知圆心角度数和对应弧长，要求圆的半径，需运用弧长计算公式，将已知量代入公式建立方程，通过解方程即可求出半径。
【解析】设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$。根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$l$为弧长），代入已知条件得：$\frac{75π r}{180}=2.5π$。两边同时除以$π$，化简得$\frac{75r}{180}=2.5$，进一步计算得$r=6$。
【答案】A
【知识点】弧长公式、圆的半径计算
【点评】本题为弧长公式的基础应用题型，直接代入公式求解即可，考查学生对弧长公式的掌握程度，难度较低。
【难度系数】0.8

2. (2025·青海)如图,$AB$是$\odot O$的直径,$∠ CAB=40°$,则$∠ ADC$的度数为 （）

A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$

2. B 解析:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠B=90°.
∵∠CAB=40°,
∴∠B=50°,∠ADC=∠B=50°.

【分析】
要解决这道题，首先根据AB是⊙O的直径，利用“直径所对的圆周角是直角”得到∠ACB=90°；再在Rt△ACB中，结合已知∠CAB=40°求出∠B的度数；最后根据“同弧所对的圆周角相等”，可知∠ADC和∠B都是弧AC所对的圆周角，因此∠ADC=∠B，即可得出答案。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB=90°。
在Rt△ACB中，∠CAB + ∠B = 90°，
已知∠CAB=40°，
∴∠B = 90° - 40° = 50°。
又
∵∠ADC和∠B都是弧AC所对的圆周角，
根据同弧所对的圆周角相等，得∠ADC = ∠B = 50°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理、直径的性质
【点评】
本题考查圆周角的基本性质，属于基础题型，解题关键是熟练运用“直径所对圆周角为直角”和“同弧所对圆周角相等”两个知识点，难度不大，适合巩固基础。
【难度系数】
0.6

3. (2025·山西)如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90^{ \circ }$,$AB=AC$,分别以点$B$和点$C$为圆心、$BC$的长为半径画弧,与$BA$、$CA$的延长线分别交于点$D$、$E$.若$BC=4$,则图中阴影部分的面积为（）

A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$

3. D 解析:
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°. 在Rt△BAC中,AB²+AC²=BC²,即2AB²=BC²,
∴AB=AC=2$\sqrt{2}$,
∴$S_{\mathrm{阴影部分}}=2(S_{\mathrm{扇形}BCD}-S_{△ ABC})=2(\frac{45π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2})=4π-8$.

【分析】首先，根据△ABC中∠BAC=90°且AB=AC，可判断其为等腰直角三角形，进而得出∠ABC=∠ACB=45°；再结合扇形的半径为BC=4，圆心角为45°，可知阴影部分的面积可转化为2个（圆心角45°、半径4的扇形面积减去△ABC的面积），通过计算各部分面积即可得出结果。
【解析】
1. 由∠BAC=90°，AB=AC，得△ABC是等腰直角三角形，故∠ABC=∠ACB=45°。
2. 在Rt△ABC中，根据勾股定理：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，因AB=AC，BC=4，故$2AB^2=16$，解得$AB=AC=2\sqrt{2}$。
3. 计算单个扇形（以B为圆心，BC为半径，圆心角45°）的面积：根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπr^2}{360}$，代入$n=45°$，$r=4$，得$S_{扇形}=\frac{45π×4^2}{360}=2π$。
4. 计算△ABC的面积：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$。
5. 阴影部分面积为2倍的（单个扇形面积 - △ABC面积），即$S_{阴影}=2×(2π -4)=4π -8$。
【答案】D
【知识点】扇形面积公式、等腰直角三角形性质、勾股定理
【点评】本题属于组合图形面积计算，核心是利用等腰直角三角形的性质确定扇形的圆心角，再通过割补法将阴影部分转化为扇形与三角形的面积差，考查学生对几何公式的综合运用能力，难度中等。
【难度系数】0.5

4. (2025·福建) 如图，$PA$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$，$PO$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $C$，$AB// PC$，且交 $\odot O$ 于点 $B$. 若 $∠ P=30°$，则 $∠ BCP$ 的度数为（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

4. C 解析:如图,连接OA、OB.
∵PA与⊙O相切于点A,
∴OA⊥PA,
∴∠AOP=90°-∠P=90°-30°=60°.
∵AB//PC,
∴∠OAB=∠AOP=60°.
∵OA=OB,
∴△AOB为等边三角形,∠AOB=60°,
∴∠BOC=180°-∠AOP-∠AOB=60°.
∵OB=OC,
∴△BOC为等边三角形,
∴∠BCP=60°.

【分析】
要解决本题，需利用圆的切线性质、平行线性质及等边三角形的判定与性质逐步推导：首先通过切线性质得到直角，结合∠P的度数算出圆心角∠AOP；再由平行线性质得到∠OAB，结合半径相等推出△AOB为等边三角形，得到∠AOB；最后利用平角定义算出∠BOC，结合半径相等推出△BOC为等边三角形，从而得到∠BCP的度数。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
∴∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，∠P=30°，
∴∠AOP=90°−∠P=90°−30°=60°，
∵AB//PC，
∴∠OAB=∠AOP=60°（两直线平行，内错角相等），
又
∵OA=OB（⊙O的半径相等），
∴△AOB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴∠AOB=60°，
∵点P、O、C共线，
∴∠AOP + ∠AOB + ∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°−60°−60°=60°，
又
∵OB=OC（⊙O的半径相等），
∴△BOC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴∠BCP=60°，
故答案选C。

【答案】
C
【知识点】
切线的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、平行线性质及等边三角形的判定与性质，解题关键是通过连接辅助线OA、OB转化角度关系，利用基础几何定理逐步推导，难度适中，能有效考察学生对圆相关知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.5

5.(2025·成都)若正六边形ABCDEF的边长为1,则对角线AD的长为.

5. 2 解析:如图,连接AC.
∵ABCDEF是正六边形,
∴AB=BC=CD=1,∠ABC=∠BCD=∠CDE=$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$,
∴∠BCA=∠BAC=$\frac{180°-∠ABC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$,
∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=120°-30°=90°.
∵正六边形为轴对称图形,
∴∠CDA=$\frac{1}{2}$∠CDE=60°,
∴∠CAD=30°,
∴AD=2CD=2.

【分析】
要计算正六边形对角线AD的长度，需利用正六边形的边、角性质，结合等腰三角形、直角三角形的性质求解。先通过连接AC，求出相关角度，构造直角三角形，再利用直角三角形中30°角的性质计算AD。
【解析】
∵ 正六边形ABCDEF的边长为1，
∴ AB=BC=CD=1，每个内角∠ABC=∠BCD = $\frac{(6-2)×180°}{6}$ = 120°。
在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=120°，
∴ △ABC是等腰三角形，∠BAC=∠BCA = $\frac{180°-120°}{2}$ = 30°，
∴ ∠ACD = ∠BCD - ∠BCA = 120° - 30° = 90°，即△ACD为直角三角形。
又
∵ 正六边形是轴对称图形，∠CDA = $\frac{1}{2}$∠CDE = $\frac{1}{2}$×120° = 60°，
∴ 在Rt△ACD中，∠CAD = 180° - 90° - 60° = 30°，
根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AD = 2CD = 2×1 = 2。
【答案】
2
【知识点】
正六边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查正六边形的性质及直角三角形的相关计算，关键是利用正六边形的内角和对称性构造直角三角形，结合等腰三角形的角度推导，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5

6. (2025·长春)扇形的面积是它所在圆的面积的$\dfrac{2}{3}$，这个扇形的圆心角的度数为.

6. $240°$

【分析】要解决这个问题，需明确：扇形面积与所在圆面积的比例，等于扇形圆心角与周角（360°）的比例。核心是利用扇形面积公式中圆心角和面积的关系，通过已知的面积比例求出圆心角。
【解析】设扇形的圆心角为$n°$，根据扇形面积公式，扇形面积与所在圆面积的比值等于圆心角与360°的比值，即$\frac{S_{扇}}{S_{圆}}=\frac{n}{360°}$。已知扇形面积是所在圆面积的$\frac{2}{3}$，代入得$\frac{n}{360°}=\frac{2}{3}$，解得$n=360°×\frac{2}{3}=240°$。
【答案】$240°$
【知识点】扇形面积公式，圆心角与面积的比例关系
【点评】本题属于基础题，考查扇形面积与圆心角的对应关系，关键是理解“扇形面积占圆面积的比例等于圆心角占周角的比例”，计算过程简单直接。
【难度系数】0.8

7. (2025·扬州)如图,点A、B、C在$\odot O$上,$∠ BAC=50°$,则$∠ OBC$的度数为.

7. $40°$ 解析:
∵∠BAC=50°,
∴∠BOC=2∠BAC=100°.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{180°-∠BOC}{2}=40°$.

【分析】
要解决这个问题，需分两步推导：首先利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角∠BOC的度数；再根据圆的半径相等得到△OBC是等腰三角形，结合三角形内角和定理计算∠OBC的度数。
【解析】
1. 由圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠BAC=50°，∠BAC是弧BC对应的圆周角，∠BOC是弧BC对应的圆心角，因此∠BOC=2∠BAC=2×50°=100°。
2. 因为OB、OC都是⊙O的半径，所以OB=OC，△OBC为等腰三角形，等腰三角形两底角相等，即∠OBC=∠OCB。
3. 根据三角形内角和为180°，可得∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-100°)÷2=40°。
【答案】
40°
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础角度计算题，核心考查圆周角定理与等腰三角形性质的结合应用，属于初中几何的基础题型，侧重基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.6

8.（2025·连云港）如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，$∠ BAC=45°$.若$\odot O$的半径为2，则劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长为.

8. $π$ 解析:如图,连接OB、OC,则∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°,
∴劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{90π×2}{180}=π$.

【分析】
要求劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长，需先确定该弧对应的圆心角度数，再结合弧长公式计算。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此连接OB、OC，由已知的∠BAC可求出圆心角∠BOC，再代入弧长公式即可得出结果。
【解析】
连接OB、OC，
∵同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，且∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°。
已知$\odot O$的半径r=2，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），
则劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{90π × 2}{180}=π$。
【答案】
π
【知识点】
圆周角定理、弧长计算
【点评】
本题考查圆周角定理与弧长公式的应用，属于基础题，解题核心是利用圆周角定理求出圆心角，再代入公式计算弧长。
【难度系数】
0.6

9. (2025·苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示. 该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min. 某轿厢从点A出发，10 min后到达点 B,此过程中,该轿厢所经过的路径(即$\overset{\frown}{AB}$)长度为m.(结果保留$π$)

9. $40π$ 解析:由题意可知,∠AOB=360°×$\frac{10}{30}$=120°,⊙O的半径为128-68=60(m),
∴该轿厢所经过的路径(即$\overset{\frown}{AB}$)长度为$\frac{120π×60}{180}=40π(\mathrm{m})$.

【分析】
要计算轿厢经过的弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，需先确定弧所在圆的半径和弧对应的圆心角：根据摩天轮的总高度与圆心到水面的距离求出圆的半径，再结合旋转时间占一圈总时间的比例求出圆心角，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 求⊙O的半径：已知摩天轮最高点离水面平台MN的距离为128 m，圆心O到MN的距离为68 m，因此⊙O的半径$r = 128 - 68 = 60$（m）。
2. 求圆心角∠AOB的度数：摩天轮匀速旋转一圈用时30 min，轿厢从点A出发10 min后到达点B，所以圆心角$n = 360° × \frac{10}{30} = 120°$。
3. 计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长度：根据弧长公式$l = \frac{nπ r}{180}$，代入$n=120°$、$r=60$，得$\overset{\frown}{AB}$的长度为$\frac{120π × 60}{180} = 40π$（m）。
【答案】
$40π$
【知识点】
弧长公式、圆的半径计算
【点评】
本题结合摩天轮的实际情境考查弧长公式的应用，解题关键是求出弧对应的圆心角和圆的半径，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6

10. (2025·河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形, $\overset{\frown}{AB}$ 所在圆的圆心为点 $O$, 四边形 $ABCD$ 为矩形, 边 $CD$ 与$\odot O$ 相切于点 $E$, 连接 $BE,∠ ABE=15°$, 连接 $OE$ 交 $AB$ 于点 $F$. 若 $AB=4$, 则图中阴影部分的面积为.

10. $\frac{4π}{3}-2\sqrt{3}$ 解析:
∵边CD与⊙O相切于点E,
∴OE⊥CD.
∵四边形ABCD为矩形,
∴AB//CD,
∴OE⊥AB,
∴AF=FB=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$.
∵∠AOE=2∠ABE=30°,
∴OA=2AF=4. 在Rt△OAF中,OF=$\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,则$S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}AOE}-S_{△ AOF}=\frac{30π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{4π}{3}-2\sqrt{3}$.

【分析】
要计算阴影部分面积，需先明确阴影是扇形AOE与△AOF的面积差。首先利用切线性质和矩形性质，得到OE⊥AB，确定F为AB中点；再根据圆周角定理，由∠ABE=15°得出圆心角∠AOE=30°；接着在Rt△AOF中，结合AF=2求出半径OA和OF的长度；最后分别计算扇形AOE和△AOF的面积，相减得到阴影面积。
【解析】
1. 因为CD与⊙O相切于点E，所以OE⊥CD。又四边形ABCD为矩形，AB//CD，故OE⊥AB，因此F是AB中点，$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对圆心角是圆周角的2倍，可得$∠AOE=2∠ABE=2×15°=30°$。
3. 在Rt△AOF中，$∠AFO=90°$，$∠AOF=30°$，$AF=2$，所以$OA=2AF=4$，由勾股定理得$OF=\sqrt{OA^2 - AF^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
4. 阴影部分面积为扇形AOE的面积减去△AOF的面积：
$S_{扇形AOE}=\frac{30π×4^2}{360}=\frac{4π}{3}$，$S_{△AOF}=\frac{1}{2}×AF×OF=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
因此$S_{阴影}=\frac{4π}{3}-2\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{4π}{3}-2\sqrt{3}$
【知识点】
切线性质、圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题结合矩形、圆的切线性质和圆周角定理，将阴影面积转化为扇形与三角形面积的差，考查几何图形面积计算，关键是利用圆周角定理确定圆心角，结合直角三角形性质求边长。
【难度系数】
0.5