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11. (2025·辽宁)如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,以$AB$为直径作$\odot O$,与$AC$相交于点$D$.连接$OC$,与$\odot O$相交于点$E$.
(1)如图1,连接$DE$,求$∠ ADE$的度数.
(2)如图2,若$D$为$AC$的中点,且$AC=6$,求$\overset{\frown}{DE}$的长.
(1)如图1,连接$DE$,求$∠ ADE$的度数.
(2)如图2,若$D$为$AC$的中点,且$AC=6$,求$\overset{\frown}{DE}$的长.
答案
11. (1)如图1,连接OD. 在△OAC和△OBC中,$\begin{cases} CA=CB, \\ OA=OB, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴△OAC≌△OBC(SSS),
∴∠AOC=∠BOC.
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠AOC=∠BOC=90°.
∵OA=OD=OE,
∴∠OAD=∠ODA,∠ODE=∠OED. 设∠OAD=∠ODA=x,∠ODE=∠OED=y. 在四边形OADE中,
∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°,
∴x+x+y+y+90°=360°,
∴∠ADE=∠ODA+∠ODE=x+y=135°. (2)如图2,连接OD.
∵∠AOC=90°,D为AC的中点,
∴OD=AD=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$,
∴OD=OA=AD=3,
∴△ADO为等边三角形,
∴∠AOD=60°,
∴∠DOE=90°-60°=30°,
∴$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{30π×3}{180}=\frac{1}{2}π$.
解析
【分析】
第(1)问：要计算∠ADE的度数，先连接OD，通过SSS证明△OAC≌△OBC，得到∠AOC=90°，再结合等腰三角形性质和四边形内角和，拆分∠ADE为两个角的和，进而求出其度数。
第(2)问：已知D为AC中点，结合∠AOC=90°，利用直角三角形斜边中线性质得OD=AD，再由OA=OD推出△ADO为等边三角形，求出∠DOE的度数，最后用弧长公式计算$\overset{\frown}{DE}$的长。
【解析】
(1) 如图1，连接OD。
在△OAC和△OBC中，
$\begin{cases} CA=CB, \\ OA=OB, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴△OAC≌△OBC(SSS)，
∴∠AOC=∠BOC。
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°。
∵OA=OD=OE，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED。
设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y。
在四边形OADE中，内角和为360°，
∴∠OAD + ∠ADE + ∠OED + ∠AOC = 360°，
即$x + (x + y) + y + 90° = 360°$，
化简得$2(x + y)=270°$，
∴$x + y=135°$，即∠ADE=135°。
(2) 如图2，连接OD。
∵∠AOC=90°，D为AC的中点，
∴在Rt△AOC中，OD是斜边AC的中线，
∴$OD=AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
又
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴OA=OD=AD=3，即△ADO为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=∠AOC - ∠AOD=90° - 60°=30°。
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），
$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{30π×3}{180}=\frac{1}{2}π$。
【答案】
11. (1) ∠ADE=135°；(2) $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{1}{2}π$。
【知识点】
全等三角形判定，圆的基本性质，弧长计算，等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查全等三角形、圆的性质、直角三角形斜边中线性质及弧长计算，需通过构造辅助线转化角度关系，解题时需熟练运用几何定理，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
第(1)问：要计算∠ADE的度数，先连接OD，通过SSS证明△OAC≌△OBC，得到∠AOC=90°，再结合等腰三角形性质和四边形内角和，拆分∠ADE为两个角的和，进而求出其度数。
第(2)问：已知D为AC中点，结合∠AOC=90°，利用直角三角形斜边中线性质得OD=AD，再由OA=OD推出△ADO为等边三角形，求出∠DOE的度数，最后用弧长公式计算$\overset{\frown}{DE}$的长。
【解析】
(1) 如图1，连接OD。
在△OAC和△OBC中，
$\begin{cases} CA=CB, \\ OA=OB, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴△OAC≌△OBC(SSS)，
∴∠AOC=∠BOC。
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°。
∵OA=OD=OE，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODE=∠OED。
设∠OAD=∠ODA=x，∠ODE=∠OED=y。
在四边形OADE中，内角和为360°，
∴∠OAD + ∠ADE + ∠OED + ∠AOC = 360°，
即$x + (x + y) + y + 90° = 360°$，
化简得$2(x + y)=270°$，
∴$x + y=135°$，即∠ADE=135°。
(2) 如图2，连接OD。
∵∠AOC=90°，D为AC的中点，
∴在Rt△AOC中，OD是斜边AC的中线，
∴$OD=AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
又
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴OA=OD=AD=3，即△ADO为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=∠AOC - ∠AOD=90° - 60°=30°。
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），
$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{30π×3}{180}=\frac{1}{2}π$。
【答案】
11. (1) ∠ADE=135°；(2) $\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{1}{2}π$。
【知识点】
全等三角形判定，圆的基本性质，弧长计算，等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查全等三角形、圆的性质、直角三角形斜边中线性质及弧长计算，需通过构造辅助线转化角度关系，解题时需熟练运用几何定理，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
12. (2025·山东)如图,在$△ OAB$中,点$A$在$\odot O$上,边$OB$交$\odot O$于点$C$,$AD ⊥ OB$于点$D$,$AC$是$∠ BAD$的平分线.
(1)求证:$AB$为$\odot O$的切线.
(2)若$\odot O$的半径为$2$,$∠ AOB=45^{ \circ }$,求$CB$的长.
(1)求证:$AB$为$\odot O$的切线.
(2)若$\odot O$的半径为$2$,$∠ AOB=45^{ \circ }$,求$CB$的长.
答案
12. (1)证明:
∵AD⊥OB,
∴∠ADB=90°.
∵AC是∠BAD的平分线,
∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC,∠OCA=∠B+∠BAC,
∴∠OAD=∠B,
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°,即AB⊥OA.
∵OA是⊙O的半径,
∴AB为⊙O的切线. (2)
∵∠OAB=90°,∠AOB=45°,
∴∠B=∠AOB=45°,
∴AB=OA.
∵⊙O的半径为2,
∴AB=OA=OC=2,
∴OB=$\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,
∴CB=OB-OC=2$\sqrt{2}$-2.
∵AD⊥OB,
∴∠ADB=90°.
∵AC是∠BAD的平分线,
∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC,∠OCA=∠B+∠BAC,
∴∠OAD=∠B,
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°,即AB⊥OA.
∵OA是⊙O的半径,
∴AB为⊙O的切线. (2)
∵∠OAB=90°,∠AOB=45°,
∴∠B=∠AOB=45°,
∴AB=OA.
∵⊙O的半径为2,
∴AB=OA=OC=2,
∴OB=$\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,
∴CB=OB-OC=2$\sqrt{2}$-2.
解析
【分析】
要证明AB为⊙O的切线，需依据切线判定定理，证明AB垂直于半径OA。已知AD⊥OB，AC平分∠BAD，结合OA=OC（圆的半径相等），利用等腰三角形底角相等和三角形外角性质，推导得出∠OAB=90°，即可完成第一问证明。第二问中，已知∠AOB=45°，结合第一问得到的∠OAB=90°，可知△OAB为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边长关系算出OB，再减去半径OC即可得到CB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD⊥OB，
∴ ∠ADB=90°，即∠BAD + ∠B = 90°。
∵ AC是∠BAD的平分线，
∴ ∠DAC = ∠BAC。
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC = ∠OCA。
又
∵ ∠OCA是△ACB的外角，
∴ ∠OCA = ∠B + ∠BAC。
而∠OAC = ∠OAD + ∠DAC = ∠OAD + ∠BAC，
∴ ∠OAD + ∠BAC = ∠B + ∠BAC，即∠OAD = ∠B。
∴ ∠OAB = ∠OAD + ∠BAD = ∠B + ∠BAD = 90°，即AB⊥OA。
∵ OA是⊙O的半径，
∴ AB为⊙O的切线。
(2) 解：
∵ ∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴ △OAB是等腰直角三角形，
∴ AB=OA。
∵ ⊙O的半径为2，
∴ OA=OC=2，故AB=2。
在Rt△OAB中，OB = √(OA² + AB²) = √(2² + 2²) = 2√2。
∴ CB = OB - OC = 2√2 - 2。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) CB的长为2√2 - 2。
【知识点】
切线的判定、等腰直角三角形性质、圆的半径性质
【点评】
本题综合考查切线的判定定理、等腰直角三角形的性质及圆的基本性质，解题时需熟练运用角平分线、等腰三角形、直角三角形的相关性质，逻辑推导要求清晰，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6
要证明AB为⊙O的切线，需依据切线判定定理，证明AB垂直于半径OA。已知AD⊥OB，AC平分∠BAD，结合OA=OC（圆的半径相等），利用等腰三角形底角相等和三角形外角性质，推导得出∠OAB=90°，即可完成第一问证明。第二问中，已知∠AOB=45°，结合第一问得到的∠OAB=90°，可知△OAB为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边长关系算出OB，再减去半径OC即可得到CB的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD⊥OB，
∴ ∠ADB=90°，即∠BAD + ∠B = 90°。
∵ AC是∠BAD的平分线，
∴ ∠DAC = ∠BAC。
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC = ∠OCA。
又
∵ ∠OCA是△ACB的外角，
∴ ∠OCA = ∠B + ∠BAC。
而∠OAC = ∠OAD + ∠DAC = ∠OAD + ∠BAC，
∴ ∠OAD + ∠BAC = ∠B + ∠BAC，即∠OAD = ∠B。
∴ ∠OAB = ∠OAD + ∠BAD = ∠B + ∠BAD = 90°，即AB⊥OA。
∵ OA是⊙O的半径，
∴ AB为⊙O的切线。
(2) 解：
∵ ∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴ △OAB是等腰直角三角形，
∴ AB=OA。
∵ ⊙O的半径为2，
∴ OA=OC=2，故AB=2。
在Rt△OAB中，OB = √(OA² + AB²) = √(2² + 2²) = 2√2。
∴ CB = OB - OC = 2√2 - 2。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) CB的长为2√2 - 2。
【知识点】
切线的判定、等腰直角三角形性质、圆的半径性质
【点评】
本题综合考查切线的判定定理、等腰直角三角形的性质及圆的基本性质，解题时需熟练运用角平分线、等腰三角形、直角三角形的相关性质，逻辑推导要求清晰，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6
13. (2025·甘肃)如图,四边形 ABCO 的顶点 A、B、C 在$\odot O$上,$∠ BAO=∠ BCO$,直径 BE 与弦 AC 相交于点 F,D 是 EB 延长线上的一点,$∠ BCD=\dfrac{1}{2}∠ AOB$.
(1)求证:CD 是$\odot O$的切线.
(2)若四边形 ABCO 是平行四边形,$EF=3$,求 CD 的长.
(1)求证:CD 是$\odot O$的切线.
(2)若四边形 ABCO 是平行四边形,$EF=3$,求 CD 的长.
答案
13. (1)证明:如图,连接CE.
∵OA=OC=OB,
∴∠OAB=∠OBA,∠OBC=∠OCB.
∵∠BAO=∠BCO,
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB,
∴∠AOB=∠COB,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$.
∵BE是⊙O的直径,
∴∠OCE+∠OCB=90°.
∵OE=OC,
∴∠E=∠OCE.
∵∠E=$\frac{1}{2}$∠COB=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠BCD=$\frac{1}{2}$∠AOB,
∴∠BCD=∠OCE,
∴∠DCO=∠BCD+∠OCB=90°.
∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线. (2)
∵四边形ABCO是平行四边形,OA=OC,
∴□ABCO是菱形,
∴BC=OC=OB,AC⊥OB,OF=$\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}OE$,
∴△OBC是等边三角形,∠BOC=60°,
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°.
∵EF=3,
∴OF=1,OE=OC=2.
∵∠DOC=60°,
∴∠ODC=90°-∠DOC=30°,
∴OD=2OC=4,
∴CD=$\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题分为两小问，(1)需证明CD是⊙O的切线，核心是证明OC与CD垂直；(2)在平行四边形条件下求CD的长，需结合菱形性质、直角三角形性质及勾股定理计算。解题时先利用圆的半径相等推导角的关系，再结合直径、圆周角定理等完成证明，最后通过平行四边形与半径的关系确定菱形，进而求解线段长度。
【解析】
(1)证明：连接CE。
∵OA=OB=OC（⊙O的半径相等），
∴△OAB、△OBC为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB。
又
∵∠BAO=∠BCO，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=∠COB（三角形内角和，∠AOB=180°-2∠OAB，∠COB=180°-2∠OCB，故相等）。
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°（直径所对的圆周角为直角），即∠OCE + ∠OCB=90°。
∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE（等腰三角形两底角相等）。
根据圆周角定理，∠E=1/2∠COB=1/2∠AOB，
又
∵∠BCD=1/2∠AOB，
∴∠BCD=∠OCE，
∴∠DCO=∠BCD + ∠OCB=∠OCE + ∠OCB=90°，即OC⊥CD。
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线。
(2)解：
∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC（⊙O半径），
∴平行四边形ABCO是菱形（邻边相等的平行四边形为菱形），
∴BC=OC=OB，故△OBC是等边三角形，∠BOC=60°。
设⊙O半径为r，则OE=OB=r，
∵四边形ABCO是菱形，AC⊥OB，在Rt△OFC中，∠COF=60°，
∴∠OCF=30°，故OF=1/2 OC=1/2 r。
已知EF=3，而EF=OE + OF=r + 1/2 r=3，
解得r=2，即OC=OE=2，OF=1。
在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠COD=60°，
∴∠ODC=30°，故OD=2OC=4，
由勾股定理得：CD=√(OD² - OC²)=√(4² - 2²)=2√3。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)CD=2√3
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，菱形的性质
【点评】
本题是几何综合题，融合了圆的切线判定、圆周角定理，以及平行四边形、菱形的性质，需要逐步推导角与边的关系，逻辑要求较高，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.4
本题分为两小问，(1)需证明CD是⊙O的切线，核心是证明OC与CD垂直；(2)在平行四边形条件下求CD的长，需结合菱形性质、直角三角形性质及勾股定理计算。解题时先利用圆的半径相等推导角的关系，再结合直径、圆周角定理等完成证明，最后通过平行四边形与半径的关系确定菱形，进而求解线段长度。
【解析】
(1)证明：连接CE。
∵OA=OB=OC（⊙O的半径相等），
∴△OAB、△OBC为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB。
又
∵∠BAO=∠BCO，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=∠COB（三角形内角和，∠AOB=180°-2∠OAB，∠COB=180°-2∠OCB，故相等）。
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°（直径所对的圆周角为直角），即∠OCE + ∠OCB=90°。
∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE（等腰三角形两底角相等）。
根据圆周角定理，∠E=1/2∠COB=1/2∠AOB，
又
∵∠BCD=1/2∠AOB，
∴∠BCD=∠OCE，
∴∠DCO=∠BCD + ∠OCB=∠OCE + ∠OCB=90°，即OC⊥CD。
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线。
(2)解：
∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC（⊙O半径），
∴平行四边形ABCO是菱形（邻边相等的平行四边形为菱形），
∴BC=OC=OB，故△OBC是等边三角形，∠BOC=60°。
设⊙O半径为r，则OE=OB=r，
∵四边形ABCO是菱形，AC⊥OB，在Rt△OFC中，∠COF=60°，
∴∠OCF=30°，故OF=1/2 OC=1/2 r。
已知EF=3，而EF=OE + OF=r + 1/2 r=3，
解得r=2，即OC=OE=2，OF=1。
在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠COD=60°，
∴∠ODC=30°，故OD=2OC=4，
由勾股定理得：CD=√(OD² - OC²)=√(4² - 2²)=2√3。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)CD=2√3
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，菱形的性质
【点评】
本题是几何综合题，融合了圆的切线判定、圆周角定理，以及平行四边形、菱形的性质，需要逐步推导角与边的关系，逻辑要求较高，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.4
