5. 与圆有关的计算
(1)弧长公式:$l=$.
(2)扇形面积公式:$S=$=.
(3)圆锥的侧面积和全面积计算公式:$S_{侧}=$,$S_{全}=$.

5. (1)$\frac{nπ r}{180}$ (2)$\frac{nπ r^2}{360}$ $\frac{1}{2}lr$ (3)$π rl$ $π rl+π r^2$

【分析】
本题考查与圆有关的计算的基础公式，需准确回忆弧长、扇形面积、圆锥侧面积及全面积的计算公式，直接对应填写即可。
【解析】
(1)弧长公式：对于半径为$r$的圆，$n°$圆心角所对的弧长$l$的计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$；
(2)扇形面积公式：有两种表达形式，用圆心角度数和半径表示为$S=\frac{nπ r^2}{360}$，用弧长和半径表示为$S=\frac{1}{2}lr$；
(3)圆锥的侧面积是其侧面展开图（扇形）的面积，公式为$S_{侧}=π rl$；全面积为侧面积与底面积之和，即$S_{全}=π rl+π r^2$。
【答案】
(1)$\frac{nπ r}{180}$；(2)$\frac{nπ r^2}{360}$，$\frac{1}{2}lr$；(3)$π rl$，$π rl+π r^2$
【知识点】
弧长公式，扇形面积公式，圆锥侧面积与全面积
【点评】
本题属于基础记忆类题目，直接考查圆相关计算的核心公式，难度较低，主要检验学生对基础公式的掌握程度。
【难度系数】
0.9

1. (2024·新疆) 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$CD$是$\odot O$的弦，$AB ⊥ CD$，垂足为$E$。若$CD=8$，$OD=5$，则$BE$的长为（）

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

1. B 解析:
∵AB是⊙O的直径,且AB⊥CD,
∴DE=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$. 在Rt△OED中,OE=$\sqrt{OD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,
∴BE=OB-OE=5-3=2.

【分析】
要计算BE的长度，需先利用垂径定理求出弦CD被AB平分后的DE长度，再在直角三角形OED中用勾股定理算出OE，最后用半径OB减去OE即可得到BE。因为AB是⊙O的直径且垂直于弦CD，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以能先得到DE的长，再结合半径OD的长度，用勾股定理求出OE，进而算出BE。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴DE = $\frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}×8 = 4$。
在Rt△OED中，OD=5（⊙O的半径），DE=4，由勾股定理得：
OE = $\sqrt{OD^2 - DE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$。
又
∵OB是⊙O的半径，OB=OD=5，
∴BE = OB - OE = 5 - 3 = 2。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，考查垂径定理与勾股定理的结合运用，解题思路清晰，步骤简单，属于学生易掌握的基础题型，主要检验对圆的基本性质和直角三角形性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7

2. (2024·牡丹江)如图,四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,$AB$是$\odot O$的直径.若$∠ BEC=$$20°$,则$∠ ADC$的度数为（）

A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$

2. B 解析:如图,连接AC.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BEC=20°,
∴∠BAC=∠BEC=20°,
∴∠ABC=70°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.

【分析】要解决该问题，需结合圆的相关性质逐步推导：首先利用“直径所对的圆周角是直角”得到直角三角形，再通过“同弧所对的圆周角相等”求出∠BAC，进而算出∠ABC，最后利用“圆内接四边形的对角互补”求出∠ADC。
【解析】连接AC。
∵AB是⊙O的直径，根据圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°。
又
∵∠BEC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，
∴∠BAC=∠BEC=20°。
在Rt△ACB中，∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质：对角互补，
∴∠ADC + ∠ABC=180°，
∴∠ADC=180°-70°=110°。
【答案】B
【知识点】圆周角定理、圆内接四边形性质
【点评】本题考查圆的基本性质，核心是直径的圆周角性质、同弧圆周角相等及内接四边形对角互补，属于基础题型，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】0.6

3. (2024·滨州) 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$,若四边形 $OABC$ 是菱形,则 $∠ D$ 的度数为.

3. $60°$ 解析:
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵四边形OABC是菱形,
∴∠ABC=∠AOC,
∴∠AOC+∠ADC=180°. 由圆周角定理得∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC,
∴∠ADC=60°.

【分析】
要解决本题，需结合圆内接四边形的性质、菱形的性质以及圆周角定理推导：首先利用圆内接四边形对角互补得到∠ABC与∠ADC的和为180°；再根据菱形对角相等，将∠ABC替换为∠AOC；最后依据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，建立∠ADC与∠AOC的关系，联立即可求出∠D的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的性质（对角互补），得：
∠ABC + ∠ADC = 180°。
2. 又因为四边形OABC是菱形，根据菱形的性质（对角相等），得：
∠ABC = ∠AOC。
3. 根据圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），弧AC所对的圆周角为∠ADC，圆心角为∠AOC，因此：
∠ADC = $\frac{1}{2}$∠AOC。
4. 将∠ABC = ∠AOC代入∠ABC + ∠ADC = 180°，结合∠ADC = $\frac{1}{2}$∠AOC，得：
∠AOC + $\frac{1}{2}$∠AOC = 180°，
即 $\frac{3}{2}$∠AOC = 180°，解得∠AOC = 120°，
因此∠ADC = $\frac{1}{2}$×120° = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
圆内接四边形性质、菱形性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆与菱形结合的基础题型，主要考查圆内接四边形、菱形的性质及圆周角定理的应用，解题关键是利用各图形的性质建立角之间的关系，属于学生需掌握的基础题。
【难度系数】
0.6

4. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ A=60°$，$BC=4\sqrt{3}$，则$\odot O$的半径为.

4. 4 解析:如图,连接CO并延长交⊙O于点D,连接BD.
∵CD为⊙O的直径,
∴∠CBD=90°.
∵∠D=∠A=60°,
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}BC=\frac{\sqrt{3}}{3}×4\sqrt{3}=4$,
∴CD=2BD=8,
∴OC=4,即⊙O的半径是4.

【分析】要计算⊙O的半径，可利用圆周角定理构造直角三角形求解。首先连接直径CD，将∠A转化为同弧所对的圆周角∠D，在直角三角形BCD中，结合已知的BC长度和∠D的度数，求出直径CD，进而得到半径。
【解析】连接CO并延长交⊙O于点D，连接BD。
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠D与∠A都是弧BC所对的圆周角，
∴∠D=∠A=60°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△BCD中，BC=4√3，∠D=60°，
∵tan∠D = BC/BD，
∴BD = BC / tan60° = 4√3 / √3 = 4。
又
∵在直角三角形中，∠BCD=90°-∠D=30°，30°角所对的直角边BD是斜边CD的一半，
∴CD=2BD=8。
∴⊙O的半径OC = CD/2 = 4。
【答案】4
【知识点】圆周角定理，直角三角形性质，圆的半径
【点评】本题考查圆周角定理的应用，通过构造直径将问题转化为直角三角形的计算，属于基础题型，解题关键是利用同弧圆周角相等和直径对直角的性质。
【难度系数】0.6

5. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$A$、$B$、$C$的坐标分别为$(-2,0)$、$(0,2)$、$(4,0)$，$E$是$△ ABC$外接圆上的一点，$BE$交线段$AC$于点$D$. 若$∠ DBC=45^{ \circ }$，则点$D$的坐标为.

5. $(\frac{2}{3},0)$ 解析:如图,连接CE,过点E作EF⊥AC于点F.
∵点A、B、C的坐标分别为(-2,0)、(0,2)、(4,0),
∴OA=OB=2,OC=4,
∴△OBA是等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,
∴∠BEC=∠BAC=45°.
∵∠DBC=45°,
∴∠BCE=90°,
∴△BCE是等腰直角三角形,
∴BC=CE.
∵∠CBO+∠BCO=∠BCO+∠FCE=90°,
∴∠OBC=∠FCE. 在△OBC和△FCE中,$\begin{cases} ∠OBC=∠FCE, \\ ∠BOC=∠CFE=90°, \\ BC=CE, \end{cases}$
∴△OBC≌△FCE(AAS),
∴FC=OB=2,FE=OC=4,
∴OF=OC-FC=4-2=2,
∴点E的坐标为(2,-4). 设直线BE的函数表达式为y=kx+b,
∴$\begin{cases} b=2, \\ 2k+b=-4, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-3, \\ b=2, \end{cases}$
∴直线BE的函数表达式为y=-3x+2,当y=0时,x=$\frac{2}{3}$,
∴点D的坐标为$(\frac{2}{3},0)$.

【分析】
要解决本题，先根据已知点坐标推导相关线段长度与角度，利用圆周角定理得到∠BEC=∠BAC=45°，结合∠DBC=45°推出△BCE为等腰直角三角形；通过作辅助线EF⊥AC，证明△OBC与△FCE全等求出点E坐标；再用待定系数法求直线BE的解析式，最后求直线BE与AC（x轴）的交点，即点D的坐标。
【解析】
已知点A(-2,0)、B(0,2)、C(4,0)，则OA=2，OB=2，OC=4。
1. 求角度：△OAB为等腰直角三角形，故∠BAC=45°；由圆周角定理，同弧BC所对圆周角∠BEC=∠BAC=45°。
2. 推导△BCE形状：已知∠DBC=45°，则△BCE中∠BEC=∠DBC=45°，得∠BCE=90°，即△BCE为等腰直角三角形，故BC=CE。
3. 证全等：作EF⊥AC于F，∠OBC+∠BCO=90°，∠FCE+∠BCO=90°，故∠OBC=∠FCE；又∠BOC=∠CFE=90°，BC=CE，因此△OBC≌△FCE（AAS）。
4. 求E点坐标：由全等得FC=OB=2，FE=OC=4，故OF=OC-FC=2，E点坐标为(2,-4)。
5. 求直线BE解析式：设直线BE为y=kx+b，代入B(0,2)得b=2；代入E(2,-4)得2k+2=-4，解得k=-3，故直线BE为y=-3x+2。
6. 求D点坐标：AC在x轴上（y=0），令y=0，得-3x+2=0，解得x=2/3，故D点坐标为(2/3,0)。
【答案】
(2/3,0)
【知识点】
圆周角定理，全等三角形判定，一次函数应用
【点评】
本题是数形结合的典型题，综合考查几何与代数知识，核心是利用圆周角和全等三角形求未知点坐标，再通过一次函数求交点，需要学生具备几何分析与代数计算的综合能力。
【难度系数】
0.5

6. (2024·浙江)如图,在圆内接四边形$ABCD$中,$AD＜AC,∠ ADC＜∠ BAD$,延长$AD$至点$E$,使$AE=AC$,延长$BA$至点$F$,连接$EF$,使$∠ AFE=∠ ADC$.
(1)若$∠ AFE=60°$,$CD$为直径,求$∠ ABD$的度数.
(2)求证:①$EF// BC$;②$EF=BD$.

6. (1)
∵CD为直径,
∴∠CAD=90°.
∵∠AFE=∠ADC=60°,
∴∠ACD=90°-∠ADC=90°-60°=30°,
∴∠ABD=∠ACD=30°. (2)证明:①如图,延长AB.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠CBM=∠ADC. 又
∵∠AFE=∠ADC,
∴∠AFE=∠CBM,
∴EF//BC. ②如图,过点D作DG//BC交⊙O于点G,连接AG、CG.
∵DG//BC,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CG}$,
∴BD=CG.
∵四边形ACGD是圆内接四边形,
∴∠GDE=∠ACG.
∵EF//BC,
∴EF//DG,
∴∠AEF=∠GDE=∠ACG.
∵∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,
∴∠AFE=∠AGC.
∵AE=AC,
∴△AEF≌△ACG(AAS),
∴EF=CG,
∴EF=BD.

【分析】
第(1)问：已知CD为直径，利用直径所对圆周角为直角得到∠CAD=90°，结合∠AFE=∠ADC=60°，在Rt△ACD中算出∠ACD，再根据同弧所对圆周角相等，∠ABD与∠ACD相等，即可得解。
第(2)问①：要证EF//BC，利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到∠CBM=∠ADC，结合已知∠AFE=∠ADC，推出同位角相等，从而证明平行；②：通过作辅助线DG//BC，利用平行线所夹弧相等得BD=CG，再证明△AEF≌△ACG，结合EF=CG，即可证得EF=BD。
【解析】
(1)
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角为直角）。
又
∵∠AFE=∠ADC=60°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°−∠ADC=90°−60°=30°，
∵∠ABD与∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠ABD=∠ACD=30°。
(2) ① 证明：延长AB至点M，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM=∠ADC（圆内接四边形的外角等于内对角），
又
∵∠AFE=∠ADC，
∴∠AFE=∠CBM，
∴EF//BC（同位角相等，两直线平行）。
② 证明：过点D作DG//BC交⊙O于点G，连接AG、CG，
∵DG//BC，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CG}$（两条平行线所夹的弧相等），
∴BD=CG。
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE=∠ACG（圆内接四边形的外角等于内对角），
由①知EF//BC，又DG//BC，
∴EF//DG，
∴∠AEF=∠GDE=∠ACG。
∵∠AFE=∠ADC，且∠ADC=∠AGC（同弧AC所对的圆周角相等），
∴∠AFE=∠AGC。
在△AEF和△ACG中，
$\{\begin{array}{l}∠AEF=∠ACG \\∠AFE=∠AGC \\AE=AC\end{array} $
∴△AEF≌△ACG（AAS），
∴EF=CG，
又
∵BD=CG，
∴EF=BD。
【答案】
6. (1) ∠ABD的度数为30°；(2) ①EF//BC；②EF=BD。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，全等三角形判定
【点评】
本题综合考查圆的相关性质及平行线、全等三角形的应用，解题时需熟练运用圆内接四边形、圆周角等定理，辅助线的构造是证明线段相等的关键，对学生的几何综合能力要求较高。
【难度系数】
0.5