5. 综合实践 如图①,商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套一个杯套,方便拿取.小欣同学深受启发,准备为家中如图②所示的两种玻璃杯也配上杯套.(说明:整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度)

(1) 小欣家直身杯的杯口直径为 7 cm,她要制作高度为 6 cm 的杯套,则此杯套的表面积为$\mathrm{cm^{2}}$;(结果保留 $π$)
(2) 小欣发现阔口杯近似为圆台形状(即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分),如图③所示. 通过测量,杯子上口径 $AB=9\ \mathrm{cm}$, 下底面直径 $CD=4\ \mathrm{cm}$, 母线长 $AC,BD$ 均为7.5 cm. 为了制作此杯套,小欣进行了以下探究:

① 如图④,小欣画出了阔口杯的侧面展开图的示意图,发现它是圆环的一部分,且$\dfrac{l_{\overset{\frown}{AA'}}}{l_{\overset{\frown}{CC'}}}=\dfrac{AP}{CP}$,请证明这个结论,并求出 $\overset{\frown}{AA'}$ 所对的圆心角 $∠ APA'$ 的度数;
② 现有一矩形杯套材料,$DE=7.5\ \mathrm{cm}$,$EF=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$, 为了充分利用材料,请在图⑤的矩形中画出杯套侧面展开图的示意图(杯套示意图无拼接),并直接写出用该材料制作此阔口杯杯套的母线 $MN$ 长的最大值.

5. (1) $42π$
(2) ① 设$∠APA'=α ^{\circ }$,则$l_{\overset{\frown}{AA'}}=\dfrac{α π · AP}{180}$,$l_{\overset{\frown}{CC'}}=\dfrac{α π · CP}{180}$,所以$\dfrac{l_{\overset{\frown}{AA'}}}{l_{\overset{\frown}{CC'}}}=\dfrac{AP}{CP}$. 由题意,得$l_{\overset{\frown}{AA'}}=9π\ \mathrm{cm}$,$l_{\overset{\frown}{CC'}}=4π\ \mathrm{cm}$,所以$\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{9}{4}$,所以$\dfrac{AC}{CP}=\dfrac{5}{4}$,所以$CP=\dfrac{4}{5}AC$. 因为$AC=7.5\ \mathrm{cm}$,所以$CP=6\ \mathrm{cm}$,所以$\dfrac{α π ×6}{180}=4π$,解得$α =120$. 故$∠APA'$的度数为$120^{\circ }$.
② 图略. 用该材料制作此阔口杯杯套的母线 MN 长的最大值为$4.5\ \mathrm{cm}$.