1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$AC=BC=2\sqrt{2}$,点$P$在以斜边$AB$为直径的半圆上,$M$为$PC$的中点. 当点$P$沿半圆从点$A$运动至点$B$时,点$M$运动的路径长为.

解析:如图,分别取AB,AC,BC的中点O,E,F,连接OC,OP,OM,OE,OF,EF. 因为∠ACB=90°,AC=BC=2√2,所以AB=√(AC²+BC²)=4,所以OC=1/2 AB=2,OP=1/2 AB=2,所以OP=OC. 因为M为PC的中点,所以OM⊥PC,所以∠CMO=90°,所以点M在以OC为直径的圆上运动. 当点P在点A处时,点M在点E处;当点P在点B处时,点M在点F处. 易得四边形CEOF为正方形,EF=OC=2,所以点M运动的路径是以EF为直径的半圆,所以点M运动的路径长为1/2 ×π×2=π.

2. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=4,BC=6$,$P$为矩形的边$BC$上的一动点,点$P$从点$B$运动到点$C$,则$△ PAD$的外接圆的圆心运动的路径长为.

解析:如图,连接AC,BD交于点O'. 当点P与点B或点C重合时,△PAD的外接圆的圆心与点O'重合. 当PA=PD时,设△PAD的外接圆的圆心为O,连接PO并延长交AD于点E,连接OD,则PE⊥AD,所以∠OED=90°,PE=AB=4,DE=1/2 AD=1/2 BC=1/2 ×6=3. 设PO=OD=x,则OE=PE-PO=4-x. 因为OE²+DE²=OD²,所以(4-x)²+3²=x²,解得x=25/8,所以OE=7/8. 因为O'E=1/2 PE=2,所以OO'=O'E-OE=9/8. 因为△PAD的外接圆的圆心在线段AD的垂直平分线上,所以点P从点B运动到点C,△PAD的外接圆的圆心运动的路径长为2OO'=9/4.

3. 亮点原创 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $3\sqrt{2}$，$P$ 是对角线 $BD$ 上一点，$BP=2$，$E,F$ 分别是 $△ APB$ 和 $△ APD$ 的外心，求四边形 $AEPF$ 的面积.

如图,连接BE,DF,EF,过点P作PH⊥AB于点H,则∠BHP=∠AHP=90°. 因为四边形ABCD是边长为3√2的正方形,所以AB=3√2,∠ABP=∠ADP=45°,所以∠BPH=90°-∠ABP=45°,所以∠ABP=∠BPH,所以BH=PH. 设BH=PH=x,则BP=√(BH²+PH²)=√2 x. 又BP=2,所以√2 x=2,解得x=√2,所以BH=PH=√2,所以AH=AB-BH=2√2,所以AP=√(AH²+PH²)=√10. 因为E,F分别是△APB和△APD的外心,所以∠AEP=2∠ABP=90°,∠AFP=2∠ADP=90°,EA=EP,FA=FP,所以∠EAP=∠EPA=1/2 (180°-∠AEP)=45°,∠FAP=∠FPA=1/2 (180°-∠AFP)=45°,所以∠EAF=∠EAP+∠FAP=90°,所以四边形AEPF是正方形,所以EF⊥AP,EF=AP=√10,所以S正方形AEPF=1/2 EF·AP=5. 故四边形AEPF的面积为5.

4. 新素养 几何直观 如图,在$△ ABC$中,$O$为边$BC$上的一点,以点$O$为圆心的半圆分别与$AB$,$AC$相切于点$M$,$N$,与$BC$相交于点$E$,$F$.若$∠ BAC=120°$,$AB+AC=16$,$\overset{\frown}{MN}$的长为$π$,求阴影部分的面积.

如图,连接OA,OM,ON. 因为半圆分别与AB,AC相切于点M,N,所以AM=AN,OM⊥AB,ON⊥AC,所以∠OMA=∠ONA=90°. 因为∠BAC=120°,所以∠MON=360°-∠BAC-∠OMA-∠ONA=60°. 设半圆的半径为r. 因为$\overset{\frown}{MN}$的长为π,所以$\frac{60π r}{180}=π$,解得r=3,所以OM=ON=3. 在Rt△OAM和Rt△OAN中,$\begin{cases} OA=OA, \\ OM=ON, \end{cases}$所以Rt△OAM≌Rt△OAN,所以∠AOM=∠AON=$\frac{1}{2}$∠MON=30°,所以AM=AN=$\frac{1}{2}$OA. 设AM=AN=x,则OA=2x,所以OM=$\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{3}x$,所以$\sqrt{3}x=3$,解得x=$\sqrt{3}$,所以AM=AN=$\sqrt{3}$. 因为AB+AC=16,所以BM+CN=AB+AC-AM-AN=16-2$\sqrt{3}$,所以$S_{△ OBM}+S_{△ OCN}=\frac{1}{2}BM·OM+\frac{1}{2}CN·ON=\frac{1}{2}(BM+CN)·OM=24-3\sqrt{3}$. 因为∠MOE+∠NOF=180°-∠MON=120°,所以$S_{扇形OEM}+S_{扇形OFN}=\frac{120π×3^2}{360}=3π$,所以$S_{阴影}=S_{△ OBM}+S_{△ OCN}-(S_{扇形OEM}+S_{扇形OFN})=24-3\sqrt{3}-3π$. 故阴影部分的面积为$24-3\sqrt{3}-3π$.

5. 如图,$BC$是$\odot O$的弦,$OD ⊥ BC$于点$E$,交$\overset{\frown}{BC}$于点$D$,$A$是优弧$BC$上的动点(不与点$B$,$C$重合),$BC=4\sqrt{3}$,$DE=2$.
(1) 求$\odot O$的半径;
(2) 求阴影部分面积的最大值.

(1) 如图①,连接OB. 因为OD⊥BC,BC=4$\sqrt{3}$,所以∠OEB=90°,BE=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$. 设⊙O的半径为R,则OB=OD=R. 因为DE=2,所以OE=OD-DE=R-2. 因为BE²+OE²=OB²,所以$(2\sqrt{3})^2+(R-2)^2=R^2$,解得R=4. 故⊙O的半径为4.

(2) 如图②,连接OB,BD,过点O作OF⊥BD于点F,延长FO与⊙O交于点A,则此时阴影部分的面积最大. 因为OA=OB=OD=4,DE=2,所以OE=OD-DE=2,所以OE=$\frac{1}{2}$OB. 因为∠OEB=90°,所以∠OBE=30°,所以∠BOE=90°-∠OBE=60°,所以△OBD为等边三角形,所以BD=OB=4,所以BF=DF=$\frac{1}{2}$BD=2,所以$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}OA·BF=4$,$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}OA·DF=4$. 因为$S_{扇形OBD}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8π}{3}$,所以$S_{阴影}=S_{扇形OBD}+S_{△ OAB}+S_{△ OAD}=\frac{8π}{3}+8$. 故阴影部分面积的最大值为$\frac{8π}{3}+8$.