1. 生活情境 如图是一名同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，图上太阳与海平线交于A，B两点，他测得图上圆的半径为10 cm，$AB = 16\ \mathrm{cm}$。若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平线的时间为16 min，则图上太阳升起的速度为（）

A.$1\ \mathrm{cm/min}$
B.$0.8\ \mathrm{cm/min}$
C.$1.2\ \mathrm{cm/min}$
D.$1.4\ \mathrm{cm/min}$

1. A 解析:如图,设圆的圆心为 O,连接 OA,过点 O 作$OC⊥AB$于点 C,延长 CO 交$\odot O$于点 D,则$∠ACO=90^{\circ },OA=OD=10\ \mathrm{cm},AC=\dfrac{1}{2}AB$. 因为$AB=16\ \mathrm{cm}$,所以$AC=8\ \mathrm{cm}$,所以$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=6\ \mathrm{cm}$,所以$CD=OC+OD=16\ \mathrm{cm}$,所以$16÷16=1(\mathrm{cm/min})$.故图上太阳升起的速度为$1\ \mathrm{cm/min}$。

2. 阅读理解 阅读材料:对于任意实数$a$,$b$,都有$(a-b)^2 ≥ 0$,故$a^2+b^2 ≥ 2ab$.若$a^2+b^2$为定值,则当$a=b$时,$ab$有最大值为$\dfrac{a^2+b^2}{2}$.如图,半圆$O$的直径$AB=10$,$C$为半圆$O$上一点,当$△ ABC$的面积最大时,阴影部分的面积为（）

A.$\dfrac{25}{4}π-\dfrac{25}{2}$
B.$\dfrac{25}{3}π-\dfrac{75}{8}$
C.$\dfrac{25}{3}π-\dfrac{75\sqrt{3}}{8}$
D.$\dfrac{25}{2}π-\dfrac{25}{4}$

2. A 解析:因为 AB 为半圆 O 的直径,$AB=10$,所以$∠ACB=90^{\circ },OB=\dfrac{1}{2}AB=5$,所以$AC^2+BC^2=AB^2=100$,$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AC· BC$,所以当$AC=BC=5\sqrt{2}$时,$△ ABC$的面积取最大值,此时$∠CAB=∠CBA=45^{\circ }$.连接 OC. 因为$OC=OB$,所以当$△ ABC$的面积最大时,$∠OCB=∠CBA=45^{\circ }$,所以$∠BOC=180^{\circ }-∠OCB-∠CBA=90^{\circ }$,此时阴影部分的面积为$S_{扇形OBC}-S_{△ OBC}=\dfrac{90π ×5^2}{360}-\dfrac{5×5}{2}=\dfrac{25π }{4}-\dfrac{25}{2}$。

3. 推理探究 利用勾股定理，可以作出长度分别为$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},···$的线段(如图). 记$\mathrm{Rt}△ OAA_1$，$\mathrm{Rt}△ OA_1A_2,···,\mathrm{Rt}△ OA_{n-1}A_n$的内切圆的半径分别为$r_1,r_2,···,r_n$. 若$r_1+r_2+···+r_n=10$,则$n$的值是.

3. 24 解析:设$\mathrm{Rt}△ OAA_1,\mathrm{Rt}△ OA_1A_2,\dots,\mathrm{Rt}△ OA_{n-1}A_n$的内切圆圆心分别为$O_1,O_2,\dots,O_n$. 如图,设$\odot O_1$与$\mathrm{Rt}△ OAA_1$的三边相切于点 B,C,D,则$∠ABO_1=∠ACO_1=90^{\circ }$. 由题意,得$∠A=90^{\circ }$,所以四边形$ABO_1C$是矩形. 又$O_1B=O_1C$,所以四边形$ABO_1C$是正方形,所以$AB=AC=O_1B=r_1$,所以$OD=OB=1-r_1$,$A_1D=A_1C=1-r_1$. 因为$OA_1=\sqrt{2}$,所以$1-r_1+1-r_1=\sqrt{2}$,所以$r_1=\dfrac{1+1-\sqrt{2}}{2}$. 同理,得在$\mathrm{Rt}△ OA_1A_2$中,四边形$A_1EO_2F$是正方形,所以$A_2G=A_2F=1-r_2$,$OG=OE=\sqrt{2}-r_2$. 因为$OA_2=\sqrt{3}$,所以$1-r_2+\sqrt{2}-r_2=\sqrt{3}$,所以$r_2=\dfrac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$. 同理,得$r_3=\dfrac{1+\sqrt{3}-\sqrt{4}}{2}$,$r_4=\dfrac{1+\sqrt{4}-\sqrt{5}}{2}$,$\dots$,$r_n=\dfrac{1+\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{2}$,所以$r_1+r_2+r_3+r_4+\dots +r_n=\dfrac{1+1-\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1+\sqrt{3}-\sqrt{4}}{2}+\dfrac{1+\sqrt{4}-\sqrt{5}}{2}+\dots +\dfrac{1+\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{2}=\dfrac{n+1-\sqrt{n+1}}{2}$. 因为$r_1+r_2+\dots +r_n=10$,所以$\dfrac{n+1-\sqrt{n+1}}{2}=10$,即$n-19=\sqrt{n+1}$.整理,得$n^2-39n+360=0$,所以$n=15$或$n=24$. 当$n=15$时,$n-19=\sqrt{n+1}$不成立,舍去,所以$n=24$。

4. 新定义 已知关于$x$的方程$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$. 如果$a,b,c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$且$c ≠ 0$,那么我们把这样的方程称为“勾股方程”. 请解答下列问题：
(1) 求证:关于$x$的“勾股方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$必有实数根；
(2) 如图,$AB,CD$是半径为$1$的$\odot O$的两条平行弦,$AB=a$,$CD=b$,且关于$x$的方程$\dfrac{a}{2}x^{2}+\sqrt{2}x+\dfrac{b}{2}=0$是“勾股方程”,连接$AC$,求$∠ A$的度数.

4. (1) 因为关于 x 的方程$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$是“勾股方程”,所以$a^2+b^2=c^2$且$c≠0$. 分类讨论如下:① 当$a≠0$时,$(\sqrt{2}c)^2-4ab=2c^2-4ab=2(a^2+b^2)-4ab=2(a-b)^2≥0$,所以方程有两个实数根;② 当$a=0$时,方程为$\sqrt{2}cx+b=0$,$c≠0$,所以该方程有实数根. 综上所述,关于 x 的“勾股方程”$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$必有实数根。
(2) 如图,连接 OB,OC,过点 O 作$OE⊥AB$于点 E,延长 EO 交 CD 于点 F,则$∠OEB=90^{\circ }$,$OB=OC=1$. 因为$DC// AB$,$AB=a$,$CD=b$,所以$EF⊥CD$,$AE=BE=\dfrac{1}{2}a$,所以$CF=DF=\dfrac{1}{2}b$. 因为$BE^2+OE^2=OB^2$,所以$(\dfrac{1}{2}a)^2+OE^2=1^2$. 因为$\dfrac{a}{2}x^2+\sqrt{2}x+\dfrac{b}{2}=0$是“勾股方程”,所以$(\dfrac{1}{2}a)^2+(\dfrac{1}{2}b)^2=1^2$,所以$OE=\dfrac{1}{2}b=CF$. 又$OB=CO$,所以$\mathrm{Rt}△ BOE≌\mathrm{Rt}△ OCF$,所以$∠EBO=∠FOC$. 因为$∠EBO+∠EOB=90^{\circ }$,所以$∠FOC+∠EOB=90^{\circ }$,所以$∠BOC=180^{\circ }-(∠FOC+∠EOB)=90^{\circ }$,所以$∠A=\dfrac{1}{2}∠BOC=45^{\circ }$。