1. 下列方程中,一定是一元二次方程的是 （）

A.$x^{2}+y=1$
B.$x^{2}-\dfrac{1}{x}=1$
C.$x^{2}-2=0$
D.$x^{2}+x=x^{2}+1$

C 解析:方程$x^2+y=1$含有两个未知数,不是一元二次方程,故A选项不符合题意;方程$x^2-\frac{1}{x}=1$不是整式方程,不是一元二次方程,故B选项不符合题意;方程$x^2-2=0$是一元二次方程,故C选项符合题意;整理方程$x^2+x=x^2+1$,得$x-1=0$,是一元一次方程,不是一元二次方程,故D选项不符合题意。

【分析】首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。接下来依据定义逐一分析各选项：A选项含两个未知数，不符合“一元”要求；B选项含分式，不是整式方程，不符合要求；C选项满足一元二次方程的全部条件；D选项整理后未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求。
【解析】根据一元二次方程的定义逐一判断选项：
选项A：方程含x、y两个未知数，属于二元方程，不是一元二次方程，排除；
选项B：方程中$\frac{1}{x}$是分式，该方程不是整式方程，不符合一元二次方程的要求，排除；
选项C：方程$x^2 - 2 = 0$只含一个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，属于一元二次方程，符合题意；
选项D：整理方程得$x - 1 = 0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的概念辨析，需紧扣“一元、二次、整式方程”三个核心要素判断，是基础题型，侧重对概念的理解应用。
【难度系数】0.7

2. 一元二次方程$(x+2026)^{2}=-1$的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

D

【分析】要判断一元二次方程的根的情况，可利用平方的非负性分析：任意实数的平方都大于等于0，因此方程左边的$(x+2026)^2$不可能为负数，而方程右边是-1，据此可判断根的情况。
【解析】对于方程$(x+2026)^2=-1$，因为对于任意实数$x$，都满足$(x+2026)^2≥0$，而等式右边的$-1＜0$，等式左边不可能等于负数，所以该方程没有实数根。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别，平方的非负性
【点评】本题考查一元二次方程根的情况的判断，利用平方的非负性即可快速得出结论，属于基础题，难度较低，需掌握平方数的基本性质。
【难度系数】0.8

3. 用配方法解方程 $x^{2}-2x=0$ 时，配方后所得的方程是（）

A.$(x+1)^{2}=1$
B.$(x-1)^{2}=1$
C.$(x-1)^{2}=-1$
D.$(x+1)^{2}=-1$

B

【分析】
解配方法的一元二次方程时，核心是将方程左边的二次式配成完全平方式，需在方程两边同时添加一次项系数一半的平方，保证等式成立。本题需对x² -2x进行配方，再结合选项判断结果。
【解析】
用配方法解方程x² -2x=0，步骤如下：
1. 确定一次项系数：方程左边一次项系数为-2，其一半为-1，平方后为(-1)²=1；
2. 方程两边同时加1：左边变为x² -2x +1，右边变为0 +1；
3. 整理为完全平方式：左边可化为(x -1)²，因此配方后所得方程为(x -1)²=1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，关键是掌握“配方时等式两边同时加一次项系数一半的平方”的规则，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

4. 在用求根公式 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 求一元二次方程的根时,小珺正确地代入了 $a$、$b$、$c$, 得到

, 则她求解的一元二次方程是
（）

A.$2x^2-3x-1=0$
B.$2x^2+4x-1=0$
C.$-x^2-3x+2=0$
D.$3x^2-2x+1=0$

A

【分析】
要确定对应的一元二次方程，需将题目给出的求根结果与一元二次方程的求根公式 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 进行对比，分别求出系数 $a$、$b$、$c$ 的值，再代入一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0$ 即可得出答案。
【解析】
已知一元二次方程求根公式为 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，题目中给出的求根表达式为 $x=\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2 -4×2×(-1)}}{2×2}$。
1. 对比公式分母：$2a=2×2$，解得 $a=2$；
2. 对比公式分子的常数项：$-b=3$，解得 $b=-3$；
3. 对比公式根号内的项：$b^2-4ac=(-3)^2 -4×2×(-1)$，将 $a=2$、$b=-3$ 代入，可得 $(-3)^2 -4×2× c = (-3)^2 -4×2×(-1)$，化简得 $-8c=8$，解得 $c=-1$；
因此，对应的一元二次方程为 $2x^2 -3x -1=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的应用，核心是准确对比求根公式的结构，求出系数 $a$、$b$、$c$，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

5. 若$4a+2b+c=0$，则一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$必有一个根是（）

A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$-2$

C

【分析】要确定一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根，需依据一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知$4a + 2b + c = 0$，只需将各选项中的数值代入方程，看哪个代入后能得到$4a + 2b + c = 0$，该数值即为方程的根。
【解析】根据一元二次方程根的定义，分别将选项代入方程$ax^2 + bx + c = 0$：
选项A：当$x=-1$时，代入方程得$a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$，与已知$4a + 2b + c =0$不符，不是根；
选项B：当$x=1$时，代入方程得$a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$，与已知不符，不是根；
选项C：当$x=2$时，代入方程得$a(2)^2 + b(2) + c =4a + 2b + c$，题目已知$4a + 2b + c =0$，满足方程，故$x=2$是方程的根；
选项D：当$x=-2$时，代入方程得$a(-2)^2 + b(-2) + c =4a -2b + c$，与已知不符，不是根。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根的定义
【点评】本题考查一元二次方程根的基本概念，解题关键是掌握根的定义，通过代入验证即可快速求解，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

6. 将一元二次方程$(x-2)(x+3)=2x-5$化成一般形式是.

$x^2-x-1=0$

【分析】
将一元二次方程化为一般形式，需先展开左边的多项式乘积，再通过移项将所有项移到等号左侧，最后合并同类项，整理成$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式。
【解析】
1. 展开左边的多项式：$(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$；
2. 移项，将等号右侧的项移到左侧：$x^2+x-6 -2x +5 =0$；
3. 合并同类项：$x^2 + (x-2x) + (-6+5)=x^2 -x -1=0$，即得到方程的一般形式。
【答案】
$x^2 -x -1=0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，多项式乘多项式
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查多项式展开、移项及合并同类项的运算，只要掌握基本步骤即可正确解答，难度较低。
【难度系数】
0.8

7. 若方程$(a-2)x^{a^{2}-2}+4x+3=0$是关于$x$的一元二次方程，则$a$的值为。

-2 解析:
∵方程$(a-2)x^{a^2-2}+4x+3=0$是关于x的一元二次方程,
∴$a^2-2=2$且$a-2≠0$,解得$a=-2$。

【分析】
要确定a的值，需依据一元二次方程的定义思考：一元二次方程需满足两个核心条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。因此先令x的指数等于2，再保证对应系数不为0，联立求解即可得到a的值。
【解析】
因为方程$(a - 2)x^{a^2 - 2} + 4x + 3 = 0$是关于$x$的一元二次方程，所以需同时满足：
1. 未知数$x$的最高次数为2，即$a^2 - 2 = 2$；
2. 二次项的系数不能为0，即$a - 2 ≠ 0$。
先解方程$a^2 - 2 = 2$，移项得$a^2 = 4$，解得$a = 2$或$a = -2$；
再结合不等式$a - 2 ≠ 0$，即$a ≠ 2$，排除$a = 2$后，最终得到$a = -2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的定义，解题关键是牢记“未知数最高次数为2”且“二次项系数不为0”两个条件，需注意避免忽略二次项系数不为0的限制，防止得出错误结果。
【难度系数】
0.6

8. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x+a-5=0$的一个根是1，则$a$的值为.

2 解析:把x=1代入$x^2+2x+a-5=0$,得1+2+a-5=0,解得a=2。

【分析】已知一元二次方程的一个根，根据方程的根的定义，根代入方程后等式成立，因此将x=1代入给定方程，得到关于a的一元一次方程，解该方程即可求出a的值。
【解析】把x=1代入方程$x^2 + 2x + a -5 =0$，得：
$1^2 + 2×1 + a -5 =0$
计算化简：$1 + 2 + a -5 =0$ → $a -2 =0$
解得：$a=2$
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根，代入求值
【点评】本题为基础题，核心考察一元二次方程根的定义，解题思路直接清晰，只需代入计算即可，是巩固方程根概念的典型题目。
【难度系数】0.9

9. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+6x+c=0$配方后得到方程$(x+a)^{2}=1$,则$a+c$的值为

11 解析:原方程移项,得$x^2+6x=-c$,配方,得$x^2+6x+9=9-c$,
∴$(x+3)^2=9-c$。
∵一元二次方程$x^2+6x+c=0$配方后得到方程$(x+a)^2=1$,
∴a=3,9-c=1,
∴c=8,
∴a+c=11。

【分析】
要解决这个问题，需运用一元二次方程的配方法：先将原方程移项，把常数项移到等号右侧；再对左侧二次式配方，加上一次项系数一半的平方，使左侧化为完全平方式；最后根据配方后方程与题目给出的方程对应相等，求出a、c的值，进而计算a+c。
【解析】
原方程$x^2 + 6x + c = 0$移项，得$x^2 + 6x = -c$。
对左侧配方，一次项系数为6，其一半的平方为$(\frac{6}{2})^2 = 9$，两边同时加9，得：
$x^2 + 6x + 9 = 9 - c$，即$(x + 3)^2 = 9 - c$。
已知配方后得到$(x + a)^2 = 1$，因此对应关系成立：
$a = 3$，且$9 - c = 1$，解得$c = 8$。
所以$a + c = 3 + 8 = 11$。
【答案】
11
【知识点】
配方法解一元二次方程，代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程的配方法，核心是掌握配方法的操作步骤，通过配方后方程的对应关系求解参数，属于基础题型，需熟练掌握配方法的基本操作。
【难度系数】
0.8

10. 若 $a$ 是一元二次方程 $x^{2}-x-2=0$ 的根, 则代数式 $a^{3}+2a^{2}-5a$ 的值为.

6 解析:
∵a是一元二次方程$x^2-x-2=0$的根,
∴$a^2-a-2=0$,
∴$a^2-a=2$,
∴$a^3+2a^2-5a=a(a^2-a)+3a^2-5a=2a+3a^2-5a=3(a^2-a)=3×2=6$。

【分析】
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义，将根$a$代入方程得到关于$a$的关系式，再通过对所求代数式进行降次变形，把高次项转化为低次项，最后代入关系式计算结果，避免直接求根的复杂运算。
【解析】
因为$a$是一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$的根，所以将$x=a$代入方程得：
$a^2 - a - 2 = 0$，即$a^2 - a = 2$。
对代数式$a^3 + 2a^2 - 5a$进行降次变形：
$a^3 = a · a^2$，结合$a^2 = a + 2$（由$a^2 - a = 2$推导），代入原式得：
$a(a + 2) + 2a^2 - 5a = a^2 + 2a + 2a^2 - 5a = 3a^2 - 3a = 3(a^2 - a)$，
将$a^2 - a = 2$代入上式，得$3×2 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的根，代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及代数式的降次求值，核心是利用方程得到的关系式简化高次代数式，避免直接求根的繁琐计算，属于基础题型，需掌握降次的技巧。
【难度系数】
0.6

三、解答题（共 60 分）
11.（16 分）用直接开平方法解下列方程：
(1)$\dfrac{1}{3}x^{2}-27=0$；
(2)$(x-2)^{2}=6$；
(3)$3(x-3)^{2}=75$；
(4)$(y+4)(y-4)-9=0$。

11. (1)
∵$\frac{1}{3}x^2-27=0$,
∴$\frac{1}{3}x^2=27$,
∴$x^2=81$,解得$x_1=9$,$x_2=-9$。
(2)
∵$(x-2)^2=6$,
∴$x-2=±\sqrt{6}$,解得$x_1=2+\sqrt{6}$,$x_2=2-\sqrt{6}$。
(3)
∵$3(x-3)^2=75$,
∴$(x-3)^2=25$,
∴$x-3=5$或$x-3=-5$,解得$x_1=8$,$x_2=-2$。
(4)
∵$(y+4)(y-4)-9=0$,
∴$y^2-16-9=0$,
∴$y^2=25$,解得$y_1=5$,$y_2=-5$。

【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路是将每个方程变形为$x^2 = a$（$a≥0$）或$(x+m)^2 = a$（$a≥0$）的形式，再根据平方根的定义，对等式两边直接开平方，转化为两个一元一次方程求解。需注意移项变号、系数化为1的准确性，第(4)题需先利用平方差公式化简，开平方时要保留正负两种解，避免漏解。
【解析】
(1) 对于方程$\frac{1}{3}x^2 - 27 = 0$，移项得$\frac{1}{3}x^2 = 27$，两边同乘3化系数为1，得$x^2 = 81$，根据平方根定义开平方得$x = ±9$，即$x_1 = 9$，$x_2 = -9$。
(2) 方程$(x - 2)^2 = 6$符合$(x+m)^2 = a$的形式，直接开平方得$x - 2 = ±\sqrt{6}$，移项解得$x_1 = 2 + \sqrt{6}$，$x_2 = 2 - \sqrt{6}$。
(3) 方程$3(x - 3)^2 = 75$，两边同除以3得$(x - 3)^2 = 25$，开平方得$x - 3 = ±5$，移项解得$x_1 = 8$，$x_2 = -2$。
(4) 方程$(y + 4)(y - 4) - 9 = 0$，利用平方差公式化简得$y^2 - 16 - 9 = 0$，整理得$y^2 = 25$，开平方得$y = ±5$，即$y_1 = 5$，$y_2 = -5$。
【答案】
11. (1) $x_1 = 9$，$x_2 = -9$；(2) $x_1 = 2 + \sqrt{6}$，$x_2 = 2 - \sqrt{6}$；(3) $x_1 = 8$，$x_2 = -2$；(4) $y_1 = 5$，$y_2 = -5$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，重点考察直接开平方法的应用，涉及移项、系数化1、平方差公式等基础运算，解题时需注意步骤严谨性，开平方时不能遗漏负根，适合巩固一元二次方程的基础解法。
【难度系数】
0.8