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5. 用适当的方法解下列方程：
(1)$x(x + 1) - 5x = 0$；
(2)$7x = 4x^2 + 2$；
(3)$(2x + 1)^2 = 9(x - 3)^2$；
(4)$(x + 1)^2 = 4x$；
(5)$x(x + 2) = 8$；
(6)$(x - 5)^2 + 8(x - 5) + 16 = 0$；
(7)$x(x + 1) = 2(x + 3)$；
(8)$(1 - 3y)^2 + 2(3y - 1) = 0$。
(1)$x(x + 1) - 5x = 0$；
(2)$7x = 4x^2 + 2$；
(3)$(2x + 1)^2 = 9(x - 3)^2$；
(4)$(x + 1)^2 = 4x$；
(5)$x(x + 2) = 8$；
(6)$(x - 5)^2 + 8(x - 5) + 16 = 0$；
(7)$x(x + 1) = 2(x + 3)$；
(8)$(1 - 3y)^2 + 2(3y - 1) = 0$。
答案
(1)$x_1=0,x_2=4$.
(2)$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{8},x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{8}$.
(3)$x_1=10,x_2=\frac{8}{5}$.
(4)$x_1=x_2=1$.
(5)$x_1=2,x_2=-4$.
(6)$x_1=x_2=1$.
(7)$x_1=3,x_2=-2$.
(8)$y_1=\frac{1}{3},y_2=-\frac{1}{3}$.
(2)$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{8},x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{8}$.
(3)$x_1=10,x_2=\frac{8}{5}$.
(4)$x_1=x_2=1$.
(5)$x_1=2,x_2=-4$.
(6)$x_1=x_2=1$.
(7)$x_1=3,x_2=-2$.
(8)$y_1=\frac{1}{3},y_2=-\frac{1}{3}$.
解析
【分析】解一元二次方程时，需根据方程的结构特征选择合适的方法：优先尝试因式分解法（将方程整理为乘积形式，转化为两个一次式乘积为0的形式）；若无法因式分解，可选用公式法（适用于所有一元二次方程）或配方法；对于形如$A^2=B^2$的方程，可利用直接开平方法简化计算；对于含相同整体的式子，可将整体看作一个因式进行分解，降低计算难度。
【解析】
(1) 原方程整理为：$x(x+1)-5x=0$，提取公因式$x$得：$x[(x+1)-5]=0$，即$x(x-4)=0$，则$x=0$或$x-4=0$，解得$x_1=0,x_2=4$；
(2) 原方程整理为标准形式：$4x^2 -7x +2=0$，其中$a=4,b=-7,c=2$，判别式$\Delta =b^2-4ac=(-7)^2 -4×4×2=17$，代入求根公式得：$x=\frac{7\pm\sqrt{17}}{8}$，即$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{8},x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{8}$；
(3) 原方程为$(2x+1)^2=9(x-3)^2$，利用直接开平方法得：$2x+1=\pm3(x-3)$，分两种情况：
① $2x+1=3(x-3)$，解得$x=10$；
② $2x+1=-3(x-3)$，解得$x=\frac{8}{5}$；
故$x_1=10,x_2=\frac{8}{5}$；
(4) 原方程展开整理：$x^2+2x+1=4x$，移项得$x^2-2x+1=0$，因式分解为$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$；
(5) 原方程展开整理：$x^2+2x-8=0$，因式分解为$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=2,x_2=-4$；
(6) 原方程将$(x-5)$看作整体，符合完全平方公式：$(x-5+4)^2=(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$；
(7) 原方程展开整理：$x^2 -x -6=0$，因式分解为$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3,x_2=-2$；
(8) 原方程变形为$(1-3y)^2 -2(1-3y)=0$，提取公因式得$(1-3y)(-3y-1)=0$，则$1-3y=0$或$-3y-1=0$，解得$y_1=\frac{1}{3},y_2=-\frac{1}{3}$；
【答案】(1)$x_1=0,x_2=4$；(2)$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{8},x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{8}$；(3)$x_1=10,x_2=\frac{8}{5}$；(4)$x_1=x_2=1$；(5)$x_1=2,x_2=-4$；(6)$x_1=x_2=1$；(7)$x_1=3,x_2=-2$；(8)$y_1=\frac{1}{3},y_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】本题考查一元二次方程的常用解法，需根据方程特点灵活选择方法，是初中数学基础题型，熟练掌握各类解法是解题关键，整体难度不大。
【难度系数】0.8
【解析】
(1) 原方程整理为：$x(x+1)-5x=0$，提取公因式$x$得：$x[(x+1)-5]=0$，即$x(x-4)=0$，则$x=0$或$x-4=0$，解得$x_1=0,x_2=4$；
(2) 原方程整理为标准形式：$4x^2 -7x +2=0$，其中$a=4,b=-7,c=2$，判别式$\Delta =b^2-4ac=(-7)^2 -4×4×2=17$，代入求根公式得：$x=\frac{7\pm\sqrt{17}}{8}$，即$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{8},x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{8}$；
(3) 原方程为$(2x+1)^2=9(x-3)^2$，利用直接开平方法得：$2x+1=\pm3(x-3)$，分两种情况：
① $2x+1=3(x-3)$，解得$x=10$；
② $2x+1=-3(x-3)$，解得$x=\frac{8}{5}$；
故$x_1=10,x_2=\frac{8}{5}$；
(4) 原方程展开整理：$x^2+2x+1=4x$，移项得$x^2-2x+1=0$，因式分解为$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$；
(5) 原方程展开整理：$x^2+2x-8=0$，因式分解为$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=2,x_2=-4$；
(6) 原方程将$(x-5)$看作整体，符合完全平方公式：$(x-5+4)^2=(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$；
(7) 原方程展开整理：$x^2 -x -6=0$，因式分解为$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3,x_2=-2$；
(8) 原方程变形为$(1-3y)^2 -2(1-3y)=0$，提取公因式得$(1-3y)(-3y-1)=0$，则$1-3y=0$或$-3y-1=0$，解得$y_1=\frac{1}{3},y_2=-\frac{1}{3}$；
【答案】(1)$x_1=0,x_2=4$；(2)$x_1=\frac{7+\sqrt{17}}{8},x_2=\frac{7-\sqrt{17}}{8}$；(3)$x_1=10,x_2=\frac{8}{5}$；(4)$x_1=x_2=1$；(5)$x_1=2,x_2=-4$；(6)$x_1=x_2=1$；(7)$x_1=3,x_2=-2$；(8)$y_1=\frac{1}{3},y_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】本题考查一元二次方程的常用解法，需根据方程特点灵活选择方法，是初中数学基础题型，熟练掌握各类解法是解题关键，整体难度不大。
【难度系数】0.8
6. 已知$△ ABC$的两边$AB$、$AC$的长分别是关于$x$的方程$x^{2}-(2k+3)x+k^{2}+3k+2=0$的两个实数根,第三边$BC$的长为5.
(1)当$k$为何值时,$△ ABC$是直角三角形?
(2)当$k$为何值时,$△ ABC$是等腰三角形? 并求出此时$△ ABC$的周长.
(1)当$k$为何值时,$△ ABC$是直角三角形?
(2)当$k$为何值时,$△ ABC$是等腰三角形? 并求出此时$△ ABC$的周长.
答案
(1)整理原方程,得$(x-k-1)(x-k-2)=0$,$\therefore x_1=k+1,x_2=k+2$. $\because △ ABC$是直角三角形,$\therefore (k+1)^2+(k+2)^2=25$或$(k+1)^2+25=(k+2)^2$,解得$k_1=-5$(舍去),$k_2=2,k_3=11$,$\therefore$ 当$k$的值为2或11时,$△ ABC$是直角三角形.
(2)$\because △ ABC$是等腰三角形,$\therefore AB=BC$或$AC=BC$,即$k+1=5$或$k+2=5$,解得$k=4$或$k=3$. 当$k=4$时,$△ ABC$的周长为$4+1+4+2+5=16$;当$k=3$时,$△ ABC$的周长为$3+1+3+2+5=14$. 综上所述,当$k=4$时,$△ ABC$是等腰三角形,周长为16;当$k=3$时,$△ ABC$是等腰三角形,周长为14.
(2)$\because △ ABC$是等腰三角形,$\therefore AB=BC$或$AC=BC$,即$k+1=5$或$k+2=5$,解得$k=4$或$k=3$. 当$k=4$时,$△ ABC$的周长为$4+1+4+2+5=16$;当$k=3$时,$△ ABC$的周长为$3+1+3+2+5=14$. 综上所述,当$k=4$时,$△ ABC$是等腰三角形,周长为16;当$k=3$时,$△ ABC$是等腰三角形,周长为14.
解析
【分析】
要解决本题，首先需通过因式分解求出方程的两个根，得到AB、AC的长度表达式；再针对直角三角形和等腰三角形的不同情况分类讨论，结合边长为正的实际要求筛选有效解，最终计算对应k值和三角形周长。
【解析】
先解方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$，因式分解得$(x-k-1)(x-k-2)=0$，因此方程的两个根为$x_1=k+1$，$x_2=k+2$，即AB、AC的长为$k+1$和$k+2$。
(1) 若$△ ABC$是直角三角形，分两种情况：
① 当AB、AC为直角边，斜边为BC=5时，根据勾股定理：
$(k+1)^2+(k+2)^2=5^2$，展开整理得$2k^2+6k-20=0$，解得$k=2$或$k=-5$。当$k=-5$时，$k+1=-4＜0$，边长不能为负，舍去，故$k=2$。
② 当AB为直角边，BC为斜边时，根据勾股定理：
$(k+1)^2+5^2=(k+2)^2$，化简得$2k=22$，解得$k=11$。
综上，当$k=2$或$11$时，$△ ABC$是直角三角形。
(2) 若$△ ABC$是等腰三角形，分两种情况：
① 当AB=BC=5时，$k+1=5$，解得$k=4$，此时AC=$k+2=6$，三边为5、5、6，周长为$5+5+6=16$。
② 当AC=BC=5时，$k+2=5$，解得$k=3$，此时AB=$k+1=4$，三边为4、5、5，周长为$4+5+5=14$。
综上，当$k=3$时，$△ ABC$是等腰三角形，周长为14；当$k=4$时，$△ ABC$是等腰三角形，周长为16。
【答案】
(1) 当k的值为2或11时，$△ ABC$是直角三角形；
(2) 当k=3时，$△ ABC$是等腰三角形，周长为14；当k=4时，$△ ABC$是等腰三角形，周长为16。
【知识点】
一元二次方程的解法、直角三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查一元二次方程与三角形性质的结合应用，需分情况讨论直角三角形和等腰三角形的不同情形，解题时要注意边长为正的实际约束，舍去不符合要求的解，同时验证三角形三边关系的合理性。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先需通过因式分解求出方程的两个根，得到AB、AC的长度表达式；再针对直角三角形和等腰三角形的不同情况分类讨论，结合边长为正的实际要求筛选有效解，最终计算对应k值和三角形周长。
【解析】
先解方程$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$，因式分解得$(x-k-1)(x-k-2)=0$，因此方程的两个根为$x_1=k+1$，$x_2=k+2$，即AB、AC的长为$k+1$和$k+2$。
(1) 若$△ ABC$是直角三角形，分两种情况：
① 当AB、AC为直角边，斜边为BC=5时，根据勾股定理：
$(k+1)^2+(k+2)^2=5^2$，展开整理得$2k^2+6k-20=0$，解得$k=2$或$k=-5$。当$k=-5$时，$k+1=-4＜0$，边长不能为负，舍去，故$k=2$。
② 当AB为直角边，BC为斜边时，根据勾股定理：
$(k+1)^2+5^2=(k+2)^2$，化简得$2k=22$，解得$k=11$。
综上，当$k=2$或$11$时，$△ ABC$是直角三角形。
(2) 若$△ ABC$是等腰三角形，分两种情况：
① 当AB=BC=5时，$k+1=5$，解得$k=4$，此时AC=$k+2=6$，三边为5、5、6，周长为$5+5+6=16$。
② 当AC=BC=5时，$k+2=5$，解得$k=3$，此时AB=$k+1=4$，三边为4、5、5，周长为$4+5+5=14$。
综上，当$k=3$时，$△ ABC$是等腰三角形，周长为14；当$k=4$时，$△ ABC$是等腰三角形，周长为16。
【答案】
(1) 当k的值为2或11时，$△ ABC$是直角三角形；
(2) 当k=3时，$△ ABC$是等腰三角形，周长为14；当k=4时，$△ ABC$是等腰三角形，周长为16。
【知识点】
一元二次方程的解法、直角三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查一元二次方程与三角形性质的结合应用，需分情况讨论直角三角形和等腰三角形的不同情形，解题时要注意边长为正的实际约束，舍去不符合要求的解，同时验证三角形三边关系的合理性。
【难度系数】
0.5
