1. (2025·眉山期末) 如图，$AC$ 与 $DB$ 相交于 $E$，且 $AE = DE$，如果添加一个条件还不能判定$△ ABE ≌ △ DCE$，则添加的这个条件是（）

A.$AC = DB$
B.$∠ A = ∠ D$
C.$∠ B = ∠ C$
D.$AB = DC$

1. D 解析:$\because AE=DE,∠ AEB=∠ CED,\therefore$ 当添加 $AC=DB$ 时,可以得出 $AC-AE=BD-DE$, 即 $BE=CE$, 由“SAS”可判定$△ ABE≌△ DCE$,故 A 选项不符合题意;当添加 $∠ A=∠ D$时,由“ASA”可判定$△ ABE≌△ DCE$,故 B 选项不符合题意;当添加 $∠ B=∠ C$ 时,由“AAS”可判定$△ ABE≌△ DCE$,故 C选项不符合题意;当添加 $AB=DC$ 时,不能判定$△ ABE≌$$△ DCE$,故 D 选项符合题意.故选 D.

2. 如图,点$B,C,E$在同一直线上,且$AC=CE$,$∠ B=∠ D=90°,AC⊥ CD$,下列结论不一定成立的是（）

A.$∠ A=∠ 2$
B.$∠ A+∠ E=90°$
C.$BC=DE$
D.$∠ BCD=∠ ACE$

2. D 解析:$\because AC⊥ CD,\therefore∠ ACD=90°,\therefore∠1+∠2=90°$.$\because∠ B=90°,\therefore∠1+∠ A=90°,\therefore∠2=∠ A$. 在 $△ ABC$ 和$△ CDE$ 中,$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\∠ A=∠2,\therefore△ ABC≌△ CDE(\mathrm{AAS}),\therefore BC=\\AC=CE,\end{cases}$$DE,∠1=∠ E,\therefore∠ A+∠ E=90°$.$\because∠1=∠2$ 不一定成立,$\therefore∠ BCD=∠ ACE$ 不一定成立.故 A,B,C 选项不符合题意,D 选项符合题意,故选 D.

3. (云南中考改编) 如图, $O B$ 平分 $∠ A O C, D, E$,$F$ 分别是射线 $O A$、射线 $O B$、射线 $O C$ 上的点，$D, E, F$ 与 $O$ 点都不重合, 连接 $E D, E F$, 要使得$△ DOE ≌ △ FOE.$
(1) 若直接以“SAS”为依据,则可添加的条件是；
(2) 若直接以“ASA”为依据,则可添加的条件是；
(3) 若直接以“AAS”为依据,则可添加的条件是.

3. (1)$OD=OF$ (2)$∠ OED=∠ OEF$ (3)$∠ ODE=∠ OFE$解析:$\because OB$ 平分 $∠ AOC,\therefore∠ AOB=∠ COB$.$\because OE=OE$,(1) 添加 $OD=OF$, 利用 SAS 证得 $△ DOE≌△ FOE$;(2) 添加$∠ OED=∠ OEF$, 利用 ASA 证得 $△ DOE≌△ FOE$;(3) 添加$∠ ODE=∠ OFE$, 可利用 AAS 证得 $△ DOE≌△ FOE$.

4. 教材 P22 练习 T2 变式 （2026 · 湛江期末）如图,在$△ MPN$中,$H$是高$MQ$和$NR$的交点,且$PM=HN$,若$MH=3$,$PQ=4$,则$QN$的长为.

4. 7 解析:$\because MQ,NR$ 是 $△ MPN$ 的高,$\therefore∠ MQP=∠ MQN=$$∠ NRP=90°,\therefore∠ P+∠ PMQ=90°,∠ P+∠ QNH=90°$,$\therefore∠ PMQ=∠ QNH$.$\because$ 在 $△ PMQ$ 和 $△ HNQ$ 中,$\begin{cases}∠ PMQ=∠ HNQ,\\∠ MQP=∠ NQH,\therefore△ PMQ≌△ HNQ(\mathrm{AAS}),\therefore PQ=HQ=\\PM=HN,\end{cases}$$4,MQ=QN,\therefore MQ=MH+HQ=3+4=7,\therefore QN=MQ=7$.

5. 新趋势 过程性学习 （2025·武汉中考）如图，四边形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O,AD // BC$。若，则 $AD = CB$。从 ① $OA = OC$，② $∠ ABC=∠ CDA$，③ $AB=CD$ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由。

5. ①(或②) 理由如下:选择 ①$OA=OC$,$\because AD// BC$,$\therefore∠ DAO=∠ BCO$.$\because OA=OC$, 且$∠ AOD=∠ COB$, 在 $△ DAO$ 与 $△ BCO$ 中, 由 $\begin{cases}∠ DAO=∠ BCO,\\OA=OC,\\∠ AOD=∠ COB,\end{cases}$$\therefore△ DAO≌△ BCO,\therefore AD=CB$. 选择 ②$∠ ABC=∠ CDA$.$\because AD// BC$,$\therefore∠ DAO=∠ BCO$.$\because∠ ABC=∠ CDA$, 在 $△ ADC$与 $△ CBA$ 中, 由 $\begin{cases}∠ DAO=∠ BCO,\\∠ CDA=∠ ABC,\therefore△ ADC≌△ CBA,\\AC=CA,\end{cases}$$\therefore AD=CB$.

6. (2026·重庆期中) 如图，$∠ E = ∠ F = 90°$，$∠ B = ∠ C, AE = AF$，下列结论：①$∠ 1 = ∠ 2$；②$BE = CF$；③$△ ACN ≌ △ ABM$；④$CD = AE$. 其中不正确的结论有（）


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

6. A 解析:$\because∠ E=∠ F=90°$,$∠ B=∠ C$,$∠ E+∠ B+∠ EAB=$$180°$,$∠ F+∠ C+∠ FAC=180°$,$\therefore∠ EAB=∠ FAC$,$\therefore∠ EAB-$$∠ CAB=∠ FAC-∠ CAB$, 即 $∠2=∠1$,$\therefore$ ①正确; 在 $△ EAB$ 和$△ FAC$ 中,$\begin{cases}∠ B=∠ C,\\∠ E=∠ F,\therefore△ EAB≌△ FAC,\therefore BE=CF,\\AE=AF,\end{cases}$$AB=AC$,$\therefore$ ②正确; 在 $△ ACN$ 和 $△ ABM$ 中,$\begin{cases}∠ C=∠ B,\\AC=AB,\\∠ CAN=∠ BAM,\end{cases}$$\therefore△ ACN≌△ ABM$,$\therefore$ ③正确; $\because$ 根据已知不能推出$CD=AE$,$\therefore$ ④错误.$\therefore$ 不正确的结论有 1 个,故选 A.