7. (南京中考) 如图 ,$AB ⊥ CD$,且 $AB=CD$.$E,F$ 是$AD$ 上两点 ,$CE ⊥ AD$,$BF ⊥ AD$. 若 $CE=a$,$BF=$$b$,$EF=c$, 则 $AD$ 的长为 （）


A.$a+c$
B.$b+c$
C.$a-b+c$
D.$a+b-c$

7. D 解析: 如图,$\because AB⊥ CD$,$CE⊥ AD$,$\therefore∠1=∠2=90°$. 又$∠3=∠4$,$\therefore180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3$, 即 $∠ C=∠ A$.$\because BF⊥ AD$,$\therefore∠ CED=∠ AFB=90°$. 在 $△ AFB$ 和 $△ CED$ 中,$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\∠ AFB=∠ CED,\therefore△ AFB≌△ CED(\mathrm{AAS}),\therefore AF=CE=a,\\AB=CD,\end{cases}$$ED=BF=b$. 又 $EF=c$,$\therefore AD=AF+ED-EF=a+b-c$, 故选 D.

8. 如图,$AE ⊥ AB$,且$AE=AB$,$BC ⊥ CD$,且$BC=$$CD$,$EF ⊥ AC$,$BG ⊥ AC$,$DH ⊥ AC$,垂足分别是$F,G,H$,请按照图中所标注的数据:$EF=6$,$BG=3$,$DH=4$,计算图中实线所围成的图形的面积$S=$.

8. 50 解析:$\because∠ EAF+∠ BAG=90°$,$∠ EAF+∠ AEF=90°$,$\therefore∠ BAG=∠ AEF$. 在 $△ AEF$ 和 $△ BAG$ 中,$\begin{cases}∠ EFA=∠ AGB=90°,\\∠ AEF=∠ BAG,\\AE=BA,\end{cases}$$\therefore△ AEF≌△ BAG(\mathrm{AAS})$. 同理$△ BCG≌△ CDH$,$\therefore AF=BG$,$AG=EF$,$GC=DH$,$BG=CH$.$\because$ 梯形 $DEFH$ 的面积 $=\frac{1}{2}(EF+DH)· FH=80$,$S_{△ AEF}=S_{△ ABG}=$$\frac{1}{2}AF· EF=9$,$S_{△ BCG}=S_{△ CDH}=\frac{1}{2}CH· DH=6$,$\therefore$ 题图中实线所围成的图形的面积 $S=80-2×9-2×6=50$.

9. 教材 P33 习题 T13 变式 如图,点 $B,F,C,E$ 在一条直线上, $FB = CE, AB // ED, AC // FD, AD$交 $BE$ 于 $O$.
(1)求证:$AD$ 与 $BE$ 互相平分;
(2)若 $BF = 5, FC = 4$,则 $OE$ 的长为.

9. (1)$\because FB=CE$,$\therefore FB+CF=CE+CF$, 即 $BC=EF$. 又 $\because AB//$$ED$,$AC// FD$,$\therefore∠ ABC=∠ DEF$,$∠ ACB=∠ DFE$. 在 $△ ABC$和 $△ DEF$ 中,$\begin{cases}∠ ABC=∠ DEF,\\BC=EF,\\∠ ACB=∠ DFE,\end{cases}$$\therefore△ ABC≌△ DEF$( ASA ), $\therefore AC=DF$. 在 $△ AOC$ 和 $△ DOF$ 中,$\begin{cases}∠ AOC=∠ DOF,\\∠ ACO=∠ DFO,\therefore△ AOC≌△ DOF(\mathrm{AAS}),\therefore AO=DO,\\AC=DF,\end{cases}$$CO=FO$.$\because BF=CE$,$\therefore BO=EO$,$\therefore AD$ 与 $BE$ 互相平分.(2)7 解析:$\because BF=CE=5$,$FC=4$,$\therefore BE=BF+FC+CE=14$,$\therefore BO=OE=\frac{1}{2}BE=7$.

10. (2026·邯郸期末)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC=1$，$P$为射线$BC$上一动点(点$P$不与点$B$重合)，以$AP$为直角边在$AP$的右侧作直角三角形$APQ$，其中$∠ PAQ=90°$，$AP=AQ$.
(1) 如图①，当点$P$在线段$BC$上时，求点$Q$到直线$AC$的距离；
(2) 如图②，当点$P$运动到$BC$的延长线上时，连接$BQ$，交直线$AC$于点$M$，求证：$BM=QM$；
(3) 点$P$在运动过程中，连接$BQ$，交直线$AC$于点$M$，若$S_{△ ABP}=4S_{△ AMQ}$，则$PC$的长为.

10. (1) 如图 ①, 作 $QD⊥ AC$ 交 $AC$ 于 $D$, 则 $∠ ADQ=90°$,$\because∠ PAQ=90°$,$\therefore∠ PAC+∠ DAQ=90°$.$\because∠ ACB=90°$,$\therefore∠ PAC+∠ CPA=90°$,$\therefore∠ DAQ=∠ CPA$. 又 $\because∠ ADQ=$$∠ C=90°$,$AQ=AP$,$\therefore△ ADQ≌△ PCA(\mathrm{AAS})$,$\therefore QD=AC=1$,$\therefore$ 点 $Q$ 到直线 $AC$ 的距离为 1.

(2) 如图 ②, 作 $QE⊥ MC$ 交直线 $MC$ 于 $E$, 则 $∠ E=90°$,$\because∠ PAQ=90°$,$\therefore∠ EAQ+∠ PAC=180°-∠ PAQ=90°$.$\because∠ ACP=90°$,$\therefore∠ CPA+∠ PAC=90°$,$\therefore∠ EAQ=∠ CPA$.$\because∠ E=∠ ACP=90°$,$AQ=AP$,$\therefore△ EAQ≌△ CPA(\mathrm{AAS})$,$\therefore EQ=CA$.$\because AC=CB$,$\therefore EQ=CB$.$\because∠ EMQ=∠ CMB$,$∠ E=$$∠ MCB=90°$,$\therefore△ EMQ≌△ CMB(\mathrm{AAS})$,$\therefore BM=QM$.(3)$\frac{1}{3}$ 或 3 解析: 由图可知, 点 $P$ 在射线 $BC$ 上运动过程中, 点 $M$ 在射线 $CA$ 上运动, 下面分 2 类情况讨论:若点 $M$ 在线段 $CA$ 上, 同(2) 作辅助线, 如图 ③, 由(2) 得$△ EAQ≌△ CPA$,$△ EMQ≌△ CMB$,$\therefore PC=AE$,$EM=CM$,$QE=AC=BC=1$.$\because S_{△ ABP}=4S_{△ AMQ}$,$\therefore\frac{1}{2}BP· AC=4×$$\frac{1}{2}AM· QE$,$\therefore BP=4AM$, 设 $AM=x$, 则 $BP=4x$,$\therefore PC=BP-$$BC=4x-1$,$AE=EM-AM=CM-AM=1-x-x=1-2x$,$\therefore4x-$$1=1-2x$, 解得 $x=\frac{1}{3}$,$\therefore PC=4x-1=\frac{1}{3}$;

若点 $M$ 在 $CA$ 延长线上, 同(2) 作辅助线, 如图 ④, 同理可得 $BP=4AM$, 设 $AM=x$, 则 $BP=4x$,$\therefore PC=BP-BC=4x-$$1$,$AE=EM+AM=CM+AM=1+x+x=1+2x$,$\therefore4x-1=1+2x$,解得 $x=1$,$\therefore PC=4x-1=3$.综上所述, $PC$ 的长为 $\frac{1}{3}$ 或 3.