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1. (2026·平顶山期末)如图,已知四边形 OABC与四边形$O'A'B'C'$,小华在$OA,O'A'$上分别取点$D,D'$,使$OD=O'D'$.在$OC,O'C'$上分别取点$E,E'$,使$OE=O'E'$.为判断$∠ AOC$与$∠ A'O'C'$是否相等,应比较
（
A.线段 CD 与$C'D'$的长
B.线段 DE 与$D'E'$的长
C.线段 CE 与$C'E'$的长
D.线段 OB 与$O'B'$的长
（
B
）A.线段 CD 与$C'D'$的长
B.线段 DE 与$D'E'$的长
C.线段 CE 与$C'E'$的长
D.线段 OB 与$O'B'$的长
答案
1. B 解析:已知 $O D=O' D', O E=O' E'$. 连接 $D E, D' E'$, 若 $D E=$ $D' E'$, 则 $△ O D E ≌ △ O' D' E'(SSS)$, 可得 $∠ A O C=∠ A' O' C'$. $\therefore$ 为判断 $∠ A O C$ 与 $∠ A' O' C'$ 是否相等, 应比较线段 $D E$ 与 $D' E'$ 的长. 故选 B.
2. (2026·秦皇岛期末)下列选项所给条件不能画出唯一 $△ ABC$ 的是（
A.$∠ A=50°,∠ B=30°,AB=2$
B.$∠ A=50°,∠ B=30°,BC=9$
C.$∠ A=30°,AB=8,BC=7$
D.$AC=5,AB=6,BC=9$
C
）A.$∠ A=50°,∠ B=30°,AB=2$
B.$∠ A=50°,∠ B=30°,BC=9$
C.$∠ A=30°,AB=8,BC=7$
D.$AC=5,AB=6,BC=9$
答案
2. C 解析: 选项 A: $∠ A=50°, ∠ B=30°, A B=2$ (两角及夹边, ASA), 能画出唯一 $△ A B C$; 选项 B: $∠ A=50°, ∠ B=30°$, $B C=9$ (两角及其中一角所对的边, AAS), 能画出唯一 $△ A B C$; 选项 C: $∠ A=30°, A B=8, B C=7$ (两边及其中一边所对的角, SSA), 不能画出唯一 $△ A B C$; 选项 D: $A C=5, A B=6$, $B C=9$ (三边, SSS), 满足三角形三边关系, 能画出唯一 $△ A B C$. 故选 C.
3. 自行车的主框架采用了三角形结构,这样设计的依据是三角形具有
稳定性
,要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形,至少要再钉上1
根木条.答案
3. 稳定性 1 解析: 自行车的主框架采用了三角形结构, 这样设计的依据是三角形具有稳定性, 根据三角形具有稳定性, 在四边形的对角线上添加一根木条即可。
技法点拨 三角形具有稳定性, 要使多边形变稳定, 则应把多边形分割为若干个三角形, 如四边形可添加 1 根木条分割为两个三角形, 五边形可添加 2 根木条分割为三个三角形.
技法点拨 三角形具有稳定性, 要使多边形变稳定, 则应把多边形分割为若干个三角形, 如四边形可添加 1 根木条分割为两个三角形, 五边形可添加 2 根木条分割为三个三角形.
4. 如图,在$△ ABC$与$△ ADE$中,$E$在$BC$边上,$AD=AB,AE=$$AC,DE=BC$,若$∠ 1=25°$,则$∠ DAB=$
25
$°$,$∠ 2=$25
$°$.答案
4. 25 25 解析: 在 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中, $\begin{cases}A B=A D, & \\ B C=D E, \therefore △ A B C ≌ \\ A C=A E, & \end{cases}$ $△ A D E(SSS), \therefore ∠ B=∠ D, ∠ B A C=∠ D A E . \therefore ∠ B A C-$ $∠ B A E=∠ D A E-∠ B A E, \therefore ∠ D A B=∠ 1=25° . \because ∠ B=∠ D$, $∠ B O E=∠ A O D, \therefore ∠ 2=∠ D A B=25°$.
5. 新趋势 过程性学习 如图①,油纸伞是中国传统工艺品之一,起源于中国的一种纸制或布制伞,油纸伞的制作工艺十分巧妙,如图②,伞圈$ D $沿着伞柄$ AP $滑动时,总有伞骨$ BD=CD $,
$AB=AC$,从而使得伞柄$ AP $始终平分同一平面内两条伞骨所成的$∠ BAC$.为了说明这一制作方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的"已知"和"求证",请补充完整,并写出"证明"过程.
已知:如图②,点$ A,B,C,D $在同一平面内,
$AB=AC$,从而使得伞柄$ AP $始终平分同一平面内两条伞骨所成的$∠ BAC$.为了说明这一制作方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的"已知"和"求证",请补充完整,并写出"证明"过程.
已知:如图②,点$ A,B,C,D $在同一平面内,
$BD=CD$
,$AB=AC$
. 求证:$AP$ 平分 $∠ BAC$
.答案
5. $B D=C D \quad A B=A C \quad A P$ 平分 $∠ B A C$
证明: 在 $△ B A D$ 和 $△ C A D$ 中, $\begin{cases}B D=C D, & \\ A B=A C, \therefore △ B A D ≌ △ C A D \\ A D=A D, & \end{cases}$ (SSS), $\therefore ∠ B A P=∠ C A P . \therefore A P$ 平分 $∠ B A C$.
证明: 在 $△ B A D$ 和 $△ C A D$ 中, $\begin{cases}B D=C D, & \\ A B=A C, \therefore △ B A D ≌ △ C A D \\ A D=A D, & \end{cases}$ (SSS), $\therefore ∠ B A P=∠ C A P . \therefore A P$ 平分 $∠ B A C$.
6. 如图,已知$AB=AC,BD=CD,E$是$AD$上的一点,则下列结论中不成立的是（
A.$BE=CE$
B.$AE=DE$
C.$∠ BAD=∠ CAD$
D.$∠ BED=∠ CED$
B
）A.$BE=CE$
B.$AE=DE$
C.$∠ BAD=∠ CAD$
D.$∠ BED=∠ CED$
答案
6. B 解析: $\because A B=A C, B D=C D, A D=A D, \therefore △ A B D ≌ △ A C D$ (SSS), $\therefore ∠ B A D=∠ C A D, ∠ A D B=∠ A D C$. 又 $\because D E=D E, D C=$ $D B, \therefore △ D C E ≌ △ D B E, \therefore B E=C E, ∠ B E D=∠ C E D, \therefore A, C, D$ 选项成立, 没有条件能够推出 $A E=D E, \therefore B$ 选项不成立, 故选 B.
7. (2025·焦作期中)如图,D为等腰三角形ABC内一点, $AC = BC = BP$, $AD = BD$, $∠ DBP =$ $∠ DBC,∠ C=62^{\circ }$,则$∠ BPD$的度数为（
A.$20^{\circ }$
B.$28^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$31^{\circ }$
D
）A.$20^{\circ }$
B.$28^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$31^{\circ }$
答案
7. D 解析: 连接 $C D$, 如图, 在 $△ B C D$ 和 $△ A C D$ 中,
$\because \begin{cases}A D=B D, & \\ C D=C D, \therefore △ B C D ≌ △ A C D(SSS), \therefore ∠ B C D=∠ A C D= \\ B C=A C, & \end{cases}$
$\frac{1}{2} ∠ A C B=31°$. 在 $△ B C D$ 和 $△ B P D$ 中, $\because \begin{cases}B D=B D, & \\ ∠ C B D=∠ P B D, & \\ B C=B P, & \end{cases}$
$\therefore △ B C D ≌ △ B P D(S A S), \therefore ∠ B C D=∠ B P D=31°$, 故选 D.
