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8. 如图 ,$AB=2,BC=AE=6,CE=CF=7,BF=8$,则 四 边 形 $ABDE$ 与 $△ CDF$ 面 积 的 比值是
1
.答案
8. 1 解析: $\because A C=A B+B C=2+6=8, \therefore A C=B F$. 又 $\because C E=C F$, $B C=A E, \therefore △ A C E ≌ △ B F C(SSS), \therefore S_{△ A C E}=S_{△ C F B}$. $\because S_{四边形 A B D E}=S_{△ A C E}-S_{△ B C D}, S_{△ C D F}=S_{△ C F B}-S_{△ B C D}$, $\therefore S_{四边形 A B D E}=S_{△ C D F} . \therefore S_{四边形 A B D E}: S_{△ C D F}=1$.
9. (2025·德州期中)如图,勤劳的小蜜蜂A,B,C,D,E,F分别位于蜂房(由若干个正六边形拼成)向阳面的一侧劳作,若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形,则与$△ ACD$全等的三角形是
$△ A B C, △ A D E$
.答案
9. $△ A B C, △ A D E$ 解析: 如图, 根据图形可知 $A D=A D, A E=$ $A C, D E=D C$, 在 $△ A C D$ 和 $△ A E D$ 中, $\begin{cases}A D=A D, & \\ A C=A E, \therefore △ A C D ≌ \\ D C=D E, & \end{cases}$ $△ A E D(SSS)$. 根据图形可知 $A C=A C, A D=B C, A B=D C$, 在 $△ A C D$ 和 $△ C A B$ 中, $\begin{cases}A C=C A, & \\ A D=C B, \therefore △ A C D ≌ △ C A B(SSS). \\ D C=B A, & \end{cases}$
10. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中,
$AB=AD,∠ B+∠ ADC=180°,$
点 $E,F$ 分别是 $BC,CD$ 上的
点, 且 $EF=BE+FD$, 连接 $AE$,
$AF$. 延长 $FD$ 到点 $G$, 使 $DG=BE$, 连接 $AG$. 若
$∠ EAF=55°,$ 则 $∠ FAG$ 的度数为
$AB=AD,∠ B+∠ ADC=180°,$
点 $E,F$ 分别是 $BC,CD$ 上的
点, 且 $EF=BE+FD$, 连接 $AE$,
$AF$. 延长 $FD$ 到点 $G$, 使 $DG=BE$, 连接 $AG$. 若
$∠ EAF=55°,$ 则 $∠ FAG$ 的度数为
55
$°$.答案
10. 55 解析: $\because ∠ B+∠ A D C=180°, ∠ A D G+∠ A D C=180°$,
$\therefore ∠ B=∠ A D G$. 在 $△ A B E$ 与 $△ A D G$ 中, $\begin{cases}A B=A D, & \\ ∠ B=∠ A D G, & \\ B E=D G, & \end{cases}$
$\therefore △ A B E ≌ △ A D G(S A S), \therefore A E=A G, ∠ B A E=∠ D A G$. $\because E F=B E+D F, F G=D G+D F=B E+D F, \therefore E F=F G$. 在 $△ A E F$ 与 $△ A G F$ 中, $\begin{cases}A E=A G, & \\ A F=A F, \therefore △ A E F ≌ △ A G F(SSS), \\ E F=G F, & \end{cases}$
$\therefore ∠ E A F=∠ G A F=55°$.
$\therefore ∠ B=∠ A D G$. 在 $△ A B E$ 与 $△ A D G$ 中, $\begin{cases}A B=A D, & \\ ∠ B=∠ A D G, & \\ B E=D G, & \end{cases}$
$\therefore △ A B E ≌ △ A D G(S A S), \therefore A E=A G, ∠ B A E=∠ D A G$. $\because E F=B E+D F, F G=D G+D F=B E+D F, \therefore E F=F G$. 在 $△ A E F$ 与 $△ A G F$ 中, $\begin{cases}A E=A G, & \\ A F=A F, \therefore △ A E F ≌ △ A G F(SSS), \\ E F=G F, & \end{cases}$
$\therefore ∠ E A F=∠ G A F=55°$.
11. (2026·贵州期中)如图,在四边形$ABCD$中,$CB ⊥ AB$于点$B$,$CD ⊥ AD$于点$D$,点$E$,$F$分别在$AB$,$AD$上,$AE=AF$,$CE=CF$.
(1)求证:$CB=CD$;
(2)若$AE=8$,$CD=6$,求四边形$AECF$的面积;
(3)猜想$∠ DAB$,$∠ ECF$,$∠ DFC$三者之间的数量关系,并证明你的猜想.
(1)求证:$CB=CD$;
(2)若$AE=8$,$CD=6$,求四边形$AECF$的面积;
(3)猜想$∠ DAB$,$∠ ECF$,$∠ DFC$三者之间的数量关系,并证明你的猜想.
答案
11. (1) 连接 $A C$, 在 $△ A C E$ 和 $△ A C F$ 中, $\begin{cases}A E=A F, & \\ C E=C F, \therefore △ A C E ≌ \\ A C=A C, & \end{cases}$ $△ A C F(SSS), \therefore ∠ F A C=∠ E A C . \because C B ⊥ A B, C D ⊥ A D$, $\therefore ∠ B=∠ D=90° . \because A C=A C, \therefore △ A C B ≌ △ A C D(A A S)$.
$\therefore C B=C D$.
(2) 由 (1) 得 $△ A C E ≌ △ A C F, C B=C D . \because A E=8, C D=6$, $\therefore S_{△ A C F}=S_{△ A C E}=\frac{1}{2} A E · C B=\frac{1}{2} × 8 × 6=24, \therefore S_{四边形 A E C F}=$ $S_{△ A C F}+S_{△ A C E}=24+24=48$.
(3) $∠ D A B+∠ E C F=2 ∠ D F C$. 证明: $\because △ A C E ≌ △ A C F$, $\therefore ∠ E A C=∠ F A C, ∠ A C E=∠ A C F . \because ∠ D A B=∠ F A C+$ $∠ E A C, ∠ E C F=∠ A C F+∠ A C E, \therefore ∠ D A B+∠ E C F=$ $∠ F A C+∠ E A C+∠ A C F+∠ A C E=2 ∠ F A C+2 ∠ A C F=$ $2(∠ F A C+∠ A C F) . \because ∠ D F C=∠ F A C+∠ A C F, \therefore ∠ D A B+$ $∠ E C F=2 ∠ D F C$.
$\therefore C B=C D$.
(2) 由 (1) 得 $△ A C E ≌ △ A C F, C B=C D . \because A E=8, C D=6$, $\therefore S_{△ A C F}=S_{△ A C E}=\frac{1}{2} A E · C B=\frac{1}{2} × 8 × 6=24, \therefore S_{四边形 A E C F}=$ $S_{△ A C F}+S_{△ A C E}=24+24=48$.
(3) $∠ D A B+∠ E C F=2 ∠ D F C$. 证明: $\because △ A C E ≌ △ A C F$, $\therefore ∠ E A C=∠ F A C, ∠ A C E=∠ A C F . \because ∠ D A B=∠ F A C+$ $∠ E A C, ∠ E C F=∠ A C F+∠ A C E, \therefore ∠ D A B+∠ E C F=$ $∠ F A C+∠ E A C+∠ A C F+∠ A C E=2 ∠ F A C+2 ∠ A C F=$ $2(∠ F A C+∠ A C F) . \because ∠ D F C=∠ F A C+∠ A C F, \therefore ∠ D A B+$ $∠ E C F=2 ∠ D F C$.
12. 已知$△ ABC$中,$AB=BC ≠ AC$,作与$△ ABC$只有一条公共边,且与$△ ABC$全等的三角形,这样的三角形一共能作出
7
个.答案
12. 7 解析: 只要满足三边对应相等 (SSS) 就能保证作出的三角形与原三角形全等, 如图, 以腰为公共边时有 6 个, 以底为公共边时有 1 个.
13. (2026·南京校级月考)如图,$AD,A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$中$BC,B'C'$边上的中线.
(1)若$AD=A'D',AB=A'B',BC=B'C'$,求证:$△ ABC ≌ △ A'B'C'$.
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.
(2)若将(1)中的条件改为“$AD=A'D',AB=A'B',AC=A'C'$”,判断$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否仍然全等,并说明理由.
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(1)若$AD=A'D',AB=A'B',BC=B'C'$,求证:$△ ABC ≌ △ A'B'C'$.
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.
(2)若将(1)中的条件改为“$AD=A'D',AB=A'B',AC=A'C'$”,判断$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否仍然全等,并说明理由.
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答案
13. (1) (1) $D B=\frac{1}{2} B C$ (2) $D' B'=\frac{1}{2} B' C'$ (3) $A D=A' D'$ (4) $∠ B=∠ B'$ 解析: $\because A D, A' D'$ 分别是 $△ A B C$ 和 $△ A' B' C'$ 的中线, $\therefore D B=\frac{1}{2} B C, D' B'=\frac{1}{2} B' C' . \because B C=B' C', \therefore D B=$ $D' B'$. 又 $\because A D=A' D', A B=A' B', \therefore △ A B D ≌ △ A' B' D'$ (SSS), $\therefore ∠ B=∠ B'$. 又 $\because A B=A' B', B C=B' C', \therefore △ A B C ≌$ $△ A' B' C'(S A S)$.
(2) $△ A B C ≌ △ A' B' C'$, 理由如下: 如图, 延长 $A D$, 截取 $D E=A D$, 连接 $B E$, 延长 $A' D'$, 截取 $D' E'=A' D'$, 连接 $B' E', \because A D, A' D'$ 分别是 $△ A B C$ 和 $△ A' B' C'$ 的中线, $\therefore D B=$ $D C, D' B'=D' C'$. 在 $△ A D C$ 和 $△ E D B$ 中, $\begin{cases}A D=E D, & \\ ∠ C D A=∠ B D E, & \\ D C=D B, & \end{cases}$ $\therefore △ A D C ≌ △ E D B(S A S)$. 同理可证, $△ A' D' C' ≌ △ E' D' B'$, $\therefore B E=A C, B' E'=A' C', ∠ E=∠ C A D, ∠ E'=∠ C' A' D'$. $\because A D=A' D', A C=A' C', \therefore A E=A' E', B E=B' E'$. 又 $\because A B=$ $A' B', \therefore △ A B E ≌ △ A' B' E'(SSS), \therefore ∠ B A E=∠ B' A' E', ∠ E=$ $∠ E', \therefore ∠ C A D=∠ C' A' D', \therefore ∠ B A E+∠ C A D=∠ B' A' E'+$ $∠ C' A' D'$, 即 $∠ B A C=∠ B' A' C'$. 又 $\because A C=A' C', A B=A' B'$, $\therefore △ A B C ≌ △ A' B' C'(S A S)$.
