8. (2025·扬州期末)如图,在正方形$ABCD$中,$AB=4$,$E$为$AB$边上一点,点$F$在$BC$边上,且$BF=1$,将点$E$绕着点$F$顺时针旋转$90°$得到点$G$,连接$DG$,则$DG$长的最小值为.

8. 3 解析:如图,过点 $G$ 作 $GH ⊥ BC$, 垂足为 $H, \therefore ∠ GHF=$$90°.\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore AB=CD=4,∠ B=90°$,$\therefore ∠ B=∠ GHF=90°$, 由旋转得 $EF=FG,∠ EFG=90°$,$\therefore ∠ EFB+∠ GFH=90°.\because ∠ BEF+∠ BFE=90°,\therefore ∠ BEF=$$∠ GFH,\therefore ∠ EFB=∠ FGH,\therefore △ EBF ≌ △ FHG,\therefore BF=GH=1$,$\therefore$ 点 $G$ 在与 $BC$ 平行且与 $BC$ 的距离为 1 的直线上, $\therefore$ 当点 $G$

在 $CD$ 边上时, $DG$ 最小且 $DG=4-1=3,\therefore DG$ 的最小值为 3.

9. 如图,在$△ ABC$中,$AD$是$BC$边上的中线,$E$是$AD$的中点,过点$A$作$BC$的平行线,与$BE$的延长线交于点$F$.连接$CF$.
(1)求证:$AF = DC$.
(2)连接$DF$,交$AC$于点$O$.你发现线段$AC$,$DF$有何关系?证明你的结论.

9. (1) $\because E$ 为 $AD$ 的中点, $\therefore AE=DE.\because AF // BC,\therefore ∠ FAE=$$∠ EDB$. 在 $△ AFE$ 和 $△ DBE$ 中, $\begin{cases}∠ FEA=∠ BED, \\ AE=DE, \\ ∠ FAE=∠ BDE,\end{cases}$ $\therefore △ AFE ≌$$△ DBE(\mathrm{ASA}).\therefore AF=DB.\because AD$ 为 $BC$ 边上的中线, $\therefore DC=$$DB.\therefore AF=DC$.
(2) $AC,DF$ 互相平分. 证明: $\because AF // BC,\therefore ∠ AFO=∠ CDO$,$∠ FAO=∠ OCD$. 在 $△ AOF$ 和 $△ COD$ 中, $\begin{cases}∠ AFO=∠ CDO, \\ AF=CD, \\ ∠ FAO=∠ DCO,\end{cases}$$\therefore △ AOF ≌ △ COD(\mathrm{ASA}).\therefore AO=CO,FO=DO$, 即 $AC,DF$ 互相平分.

10. (1) 如图①,$BP$为$∠ ABC$的平分线,作$AP$垂直$BP$于$P$,$△ PBC$的面积为$15\ \mathrm{cm^2}$,则$△ ABC$的面积为$\mathrm{cm^2}$.

(2) 如图②,在四边形$ABCD$中,
$AB=AD$,$∠ BAD=∠ BCD=90°$,连接$AC$.若$AC=8$,则四边形$ABCD$的面积为.
第1章

10. (1) 30 解析:延长 $AP$ 交 $BC$ 于点 $D, \because BP$ 为 $∠ ABC$ 的平分线, $\therefore ∠ ABP=∠ CBP.\because AP ⊥ BP,\therefore ∠ APB=∠ BPD=$$90°.\because BP=BP,\therefore △ ABP ≌ △ DBP(\mathrm{ASA}),\therefore AP=DP$,$\therefore S_{△ ABP}=S_{△ DBP},S_{△ ACP}=S_{△ DCP},\therefore S_{△ ABP}+S_{△ ACP}=S_{△ DBP}+$$S_{△ DCP},\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ BCP}.\because △ PBC$ 的面积为 $15\ \mathrm{cm}^2$,$\therefore S_{△ ABC}=15 × 2=30(\mathrm{cm}^2)$.
(2) 32 解析:如图,过点 $A$ 作 $AE ⊥ AC$, 交 $CD$ 的延长线于点 $E, \because AE ⊥ AC, \therefore ∠ EAC=90°. \because ∠ DAB=90°$,$\therefore ∠ DAE=∠ BAC. \because ∠ BAD=∠ BCD=90°, \therefore ∠ ADC+$$∠ B=180°. \because ∠ EDA+∠ ADC=180°, \therefore ∠ EDA=∠ B$. 在$△ ADE$ 和 $△ ABC$ 中, $\begin{cases}∠ EAD=∠ CAB, \\ AD=AB, \\ ∠ EDA=∠ B,\end{cases}$ $\therefore △ ADE ≌ △ ABC$$(\mathrm{ASA}).\therefore AE=AC=8,△ ABC$ 的面积 $=△ ADE$ 的面积. $\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积 $=△ AEC$ 的面积 $=\frac{1}{2}AC × AE=\frac{1}{2} × 8 ×$$8=32$.

11. 情境观察：
如图①, 在 $△ ABC$ 中, $AE$ 平分 $∠ BAC, AD = DC, CD ⊥ AB, AE ⊥ BC$, 垂足分别为 $D, E, CD$ 与 $AE$ 交于点 $F$.
① 写出图 ① 中所有的全等三角形：
;
② 线段 $AF$ 与线段 $CE$ 的数量关系是.
问题探究：
如图 ②, 在 $△ ABC$ 中, $AB = BC, ∠ BAC = ∠ BCA=45°$, $AD$ 平分 $∠ BAC, AD ⊥ CD$, 垂足为 $D$, $AD$ 与 $BC$ 交于点 $E$. 求证: $AE=2CD$.
拓展延伸：
如图 ③, 在 $△ ABC$ 中, $AB = BC, ∠ BAC = ∠ BCA = 45°$, 点 $D$ 在 $AC$ 上, $∠ EDC = \dfrac{1}{2}∠ BAC, DE ⊥ CE$, 垂足为 $E$, $DE$ 与 $BC$ 交于点 $F$. 试探究 $DF$ 与 $CE$ 之间的数量关系.
要求:请你写出辅助线的作法,并在图③中画出辅助线,不需要证明.

4 学霸 011

11. 情境观察：
① $△ ABE ≌ △ ACE,△ ADF ≌ △ CDB$
解析: $\because AE$ 平分 $∠ BAC,AE ⊥ BC,\therefore ∠ BAE=∠ CAE$,$∠ BEA=∠ CEA=90°$. 又 $\because AE=AE,\therefore △ ABE ≌ △ ACE$.$\because CD ⊥ AB,\therefore ∠ CDA=∠ CDB=90°,\therefore ∠ AFD+∠ DAF=$$90°.\because ∠ CFE+∠ FCE=90°$ 且 $∠ AFD=∠ CFE,\therefore ∠ DAF=$$∠ FCE. \because AD=CD,∠ CDA=∠ CDB,\therefore △ ADF ≌ △ CDB$.
② $AF=2CE$ 解析: 由 ① 得 $△ ABE ≌ △ ACE,△ ADF ≌$$△ CDB,\therefore CE=BE,AF=CB,\therefore AF=CE+BE=2CE$.
问题探究: 延长 $AB,CD$ 交于点 $G. \because AD$ 平分 $∠ BAC$,$\therefore ∠ CAD=∠ GAD. \because AD ⊥ CD,\therefore ∠ ADC=∠ ADG=90°$. 在$△ ADC$ 和 $△ ADG$ 中, $\begin{cases}∠ ADC=∠ ADG, \\ AD=AD, \\ ∠ CAD=∠ GAD,\end{cases}$ $\therefore △ ADC ≌ △ ADG$$(\mathrm{ASA}),\therefore CD=GD$, 即 $CG=2CD. \because ∠ BAC=∠ BCA=45°$,$\therefore ∠ ABC=90°, \therefore ∠ CBG=90°, \therefore ∠ G+∠ BCG=90°$.$\because ∠ G+∠ BAE=90°,\therefore ∠ BAE=∠ BCG$. 在 $△ ABE$ 和 $△ CBG$中, $\begin{cases}∠ ABE=∠ CBG=90°, \\ AB=CB, \\ ∠ BAE=∠ BCG,\end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ CBG(\mathrm{ASA})$,$\therefore AE=CG=2CD$.
拓展延伸: 作 $DG ⊥ BC$ 交 $CE$ 的延长线于 $G$, 如图所示,$DF=2CE$.