4. (1) 如图①, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC$, $∠ BAC = 90°$, 过点 $A$ 作 $AH ⊥ BC$ 于 $H$, 求证: $AH=\dfrac{1}{2}BC$.
(2) 在如图②和图③的两幅图中, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC$, 且 $∠ BAC = 90°$, 在同一平面内有一点 $P$, 满足 $PC = 1$, $PB = 6$, 且 $∠ BPC = 90°$, 请分别求出两图中点 $A$ 到 $BP$ 的距离.

4. (1)$\because AH⊥ BC$,$∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ AHC=90°=∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAH+∠ CAH=90°$,$∠ BAH+∠ B=90°$,$\therefore ∠ CAH=∠ B$.
在$△ ABH$和$△ CAH$中,$\begin{cases} ∠ BHA=∠ AHC,\\ ∠ B=∠ CAH, \therefore △ ABH≌ △ CAH\\ AB=CA, \end{cases}$
(AAS),$\therefore BH=AH$,$AH=CH$,$\therefore AH=\dfrac{1}{2}BC$.
(2)如图①,过点$A$作$AH⊥ BP$于点$H$,连接$AP$,在$BP$上取
一点 $D$ 使得 $BD=PC$,$\therefore DP=BP-BD=6-1=5$.设 $AC$ 与 $BP$
交于点 $E$.$\because ∠ BAC=∠ BPC=90°$ 且 $∠ AEB=∠ PEC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ACP$.又$\because AB=AC$,$BD=CP$,$\therefore △ ADB≌ △ APC$
(SAS),$\therefore AD=AP$,$∠ BAD=∠ PAC$,$\therefore ∠ DAP=∠ DAE+$
$∠ PAC=∠ BAD+∠ DAE=∠ BAC=90°$.$\because AH⊥ DP$,$\therefore AH=$
$\dfrac{1}{2}DP=\dfrac{5}{2}$.

如图②,过点 $A$ 作 $AH⊥ BP$ 于点 $H$,连接 $AP$,在 $PB$ 的延长
线上取一点 $D$ 使得 $BD=PC$,$\therefore DP=BP+BD=6+1=7$.
$\because ∠ BAC=∠ BPC=90°$,$\therefore ∠ ABP+∠ ACP=180°$.$\because ∠ ABP+$
$∠ ABD=180°$,$\therefore ∠ ABD=∠ ACP$.又$\because AB=AC$,$BD=CP$,
$\therefore △ ADB≌ △ APC(\mathrm{SAS})$,$\therefore AD=AP$,$∠ BAD=∠ CAP$,
$\therefore ∠ DAP=∠ DAB+∠ BAP=∠ CAP+∠ BAP=∠ BAC=90°$.
$\because AH⊥ DP$,$\therefore AH=\dfrac{1}{2}DP=\dfrac{7}{2}$.

类型三 利用“角平分线”构造全等三角形
因为角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等),所以在处理角平分线的问题时,常作以下辅助线构造全等三角形:
①在角的两边上实施截长或补短,构造SAS型全等;
②过角平分线上一点向角的两边作垂线段,构造AAS型全等;
③当连接角的一边上的点与角平分线上一点的线段与角平分线垂直时,延长垂线段,构造ASA型全等.

证明：
在△ABC的AB边上截取AE=AC，连接DE。
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD。
在△AED和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AE=AC \\∠EAD=∠CAD \\AD=AD\end{array} $
∴△AED≌△ACD（SAS）。
∴ED=CD，∠AED=∠C。
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B。
又∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴2∠B=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴EB=ED。
∴EB=CD。
∵AB=AE+EB，
∴AB=AC+CD。
证明：
过角平分线BD上的点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BF，
∴DE=DF，∠DEA=∠DFC=90°。
∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCF=180°，
∴∠A=∠DCF。
在△ADE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠DCF \\∠DEA=∠DFC \\DE=DF\end{array} $
∴△ADE≌△CDF（AAS）。
∴AD=CD。
证明：
延长与角平分线BD垂直的线段CE，交BA的延长线于点F。
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE=∠FBE。
∵CE⊥BD，
∴∠CEB=∠FEB=90°。
在△BCE和△BFE中，
$\{\begin{array}{l}∠CBE=∠FBE \\BE=BE \\∠CEB=∠FEB\end{array} $
∴△BCE≌△BFE（ASA）。
∴CE=FE，即CF=2CE。
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF=90°，∠ABD+∠ADB=90°。
∵CE⊥BD，
∴∠ACF+∠CDE=90°。
又∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ACF。
在△ABD和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CAF \\AB=AC \\∠ABD=∠ACF\end{array} $
∴△ABD≌△ACF（ASA）。
∴BD=CF。
∴BD=2CE。

5. (2025·毕节校级月考) 如图,已知 $AD // BC$,$∠ PAB$ 的平分线与 $∠ CBA$ 的平分线相交于点$E$,$CE$ 的延长线交 $AP$ 于点 $D$. 求证: $AD +$$BC = AB$.

5. 在 $AB$ 上截取 $AF=AD$,连接 $EF$.$\because AE$ 平分 $∠ PAB$,
$\therefore ∠ DAE=∠ FAE$.在$△ DAE$和$△ FAE$中,$\begin{cases} AD=AF,\\ ∠ DAE=∠ FAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ DAE≌ △ FAE(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ AFE=∠ ADE$.$\because AD// BC$,
$\therefore ∠ ADE+∠ C=180°$.$\because ∠ AFE+∠ EFB=180°$,$\therefore ∠ EFB=$
$∠ C$.$\because BE$ 平分 $∠ ABC$,$\therefore ∠ EBF=∠ EBC$.在 $△ BEF$ 和
$△ BEC$ 中,$\begin{cases} ∠ EFB=∠ C,\\ ∠ EBF=∠ EBC,\therefore △ BEF≌ △ BEC(\mathrm{AAS}),\\ BE=BE, \end{cases}$
$\therefore BC=BF$,$\therefore AD+BC=AF+BF=AB$.

6. 如图,动点$ C $与线段$ AB $构成$△ ABC$,其边长满足$AB=9$,$CA=2a+2$,$CB=2a-3$.点$ D $在$∠ ACB$的平分线上,且$∠ ADC=90°.$
(1)$a$的取值范围是;
(2)求$△ ABD$的面积的最大值.

6. (1)$a＞\dfrac{5}{2}$ 解析:$\because$ 在$△ ABC$中,$AC+BC＞AB$,$\therefore 2a+2+2a-$
$3＞9$,解得 $a＞\dfrac{5}{2}$.$\because AC+AB＞BC$,$\therefore 2a+2+9＞2a-3$,恒成立.
$\because BC+AB＞AC$,$\therefore 2a-3+9＞2a+2$,恒成立,$\therefore a＞\dfrac{5}{2}$.
(2)如图,延长 $AD$,$CB$ 交于点 $E$,$\because CD$ 为 $∠ ACB$ 的平分
线,$\therefore ∠ ACD=∠ ECD$.在 $△ ACD$ 和
$△ ECD$中,
$\begin{cases} ∠ ACD=∠ ECD,\\ CD=CD,\\ ∠ ADC=∠ EDC=90°, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ ECD(\mathrm{ASA})$,$\therefore AC=EC=2a+2$,$AD=ED$.
$\because CB=2a-3$,$\therefore BE=2a+2-(2a-3)=5$.$\because AD=ED$,
$\therefore S_{△ ABD}:S_{△ ABE}=1:2$.当 $BE⊥ AB$ 时,$△ ABE$ 的面积取最大
值,即$(S_{△ ABE})_{\max}=\dfrac{1}{2}×9×5=\dfrac{45}{2}$,$\therefore (S_{△ ABD})_{\max}=\dfrac{45}{4}$,
$\therefore △ ABD$ 的面积的最大值为$\dfrac{45}{4}$.