7. 感知: 如图①, $A D$ 平分 $∠ B A C, ∠ B+∠ C=$$180°, ∠ B=90°$. 易知: $D B=D C$.(不需证明)
(1) 探究: 如图②, $A D$ 平分 $∠ B A C, ∠ A B D+$$∠ A C D=180°, ∠ A B D＜90°$. 求证: $D B=D C$.
(2) 应用: 如图③, 在四边形 $A B D C$ 中, $∠ B=$$45°, ∠ C=135°, D B=D C, D E ⊥ A B$ 于 $E$, 则线段 $A B, A C, B E$ 之间的数量关系为.

7. (1)作 $DE⊥ AB$ 于 $E$,$DF⊥ AC$,交 $AC$ 的延长线于 $F$,如图①
所示.在$△ DFA$和$△ DEA$中,$\begin{cases} ∠ AFD=∠ AED=90°,\\ ∠ DAF=∠ DAE,\\ DA=DA, \end{cases}$
$\therefore △ DFA≌ △ DEA(\mathrm{AAS})$,$\therefore DF=DE$.$\because ∠ ABD+∠ ACD=$
$180°$,$∠ ACD+∠ FCD=180°$,$\therefore ∠ ABD=∠ FCD$.在$△ DFC$和
$△ DEB$中,$\begin{cases} ∠ FCD=∠ EBD,\\ ∠ DFC=∠ DEB,\therefore △ DFC≌ △ DEB(\mathrm{AAS}),\\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore DB=DC$.


(2)$AB-AC=2BE$ 解析:连接 $AD$,作 $DF⊥ AC$,交 $AC$ 的延长
线于 $F$,如图②所示.$\because ∠ ACD=135°$,$\therefore ∠ FCD=180°-$
$∠ ACD=45°$.$\because ∠ B=45°$,$\therefore ∠ FCD=∠ B$.在$△ DFC$和$△ DEB$
中,$\begin{cases} ∠ DFC=∠ DEB=90°,\\ ∠ FCD=∠ B, \therefore △ DFC≌ △ DEB(\mathrm{AAS}),\therefore DF=\\ DC=DB, \end{cases}$
$DE$,$CF=BE$.在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$\begin{cases} AD=AD,\\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌ \mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL})$,$\therefore AF=AE$,$\therefore AB=AE+BE=AC+$
$CF+BE=AC+2BE$,$\therefore AB-AC=2BE$.

8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=60°$,$∠ C=40°$,$AP$平分$∠ BAC$交$BC$于点$P$,$BQ$平分$∠ ABC$交$AC$于点$Q$,求证:$AB+BP=BQ+AQ$.

8. 如图,过点 $P$ 作 $BQ$ 的平行线交 $AC$ 于点 $D$.$\because BQ$ 平分
$∠ ABC$ 且 $∠ ABC=180°-∠ BAC-∠ C=80°$,$\therefore ∠ CBQ=$
$\dfrac{1}{2}∠ ABC=\dfrac{1}{2}×80°=40°$,$∠ CBQ=∠ ACB$.过点 $Q$ 作 $QF⊥ BC$
于点 $F$,易证$△ BQF≌ △ CQF$,$\therefore BQ=CQ$,$\therefore BQ+AQ=$
$CQ+AQ=AC\quad ①$.$\because PD// BQ$,$\therefore ∠ CPD=∠ CBQ=40°$,
$\therefore ∠ CPD=∠ ACB=40°$,由全等易证得 $PD=CD$.又 $∠ ADP=$
$∠ CPD+∠ ACB=40°+40°=80°$,且 $∠ ABC=80°$,$\therefore ∠ ABC=$
$∠ ADP$.$\because AP$ 平分 $∠ BAC$,$\therefore ∠ BAP=∠ CAP$.在 $△ ABP$ 与
$△ ADP$中,$\begin{cases} ∠ ABP=∠ ADP,\\ ∠ BAP=∠ DAP,\\ AP=AP, \end{cases}$
$\therefore △ ABP≌ △ ADP(\mathrm{AAS})$,$\therefore AB=AD$,$BP=PD$,$\therefore AB+$
$BP=AD+PD=AD+CD=AC\quad ②$.由①②可得$AB+BP=$
$BQ+AQ$.

9. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,点$D,E$在边$BC$上,$∠ CAE=∠ B$,$E$是$CD$的中点,且$AD$平分$∠ BAE$,试问:$BD$与$AC$相等吗? 请说说你的理由.

9. $BD=AC$.理由:如图,由于 $AD$ 平分 $∠ BAE$,$\therefore$ 可将 $△ ABD$
沿 $AD$ 所在直线翻折到 $△ AFD$ 的位置,则 $△ ABD≌$
$△ AFD$,$\therefore ∠ F=∠ B$,$BD=FD$.又 $∠ CAE=∠ B$,$\therefore ∠ CAE=$
$∠ F$.又$∠ AEC=∠ FED$,且 $E$ 是 $CD$ 的中点,$\therefore △ ACE≌$
$△ FDE$,$\therefore DF=AC$,$\therefore BD=AC$.

10. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,点 $E$ 是 $BC$ 上一点,点 $F$ 是 $DC$ 上一点, $∠ EAF=45°$.
(1) 如图 ①,若 $BE=DF=1$, 则 $EF$ 的长为.
(2)如图②,求证:$BE+DF=EF$.
(3)如图③,点 $E$ 为 $CB$ 延长线上一点,点 $F$ 为 $DC$ 延长线上一点, $∠ EAF=45°$.请直接写出线段 $BE,DF,EF$ 的数量关系:.

10. (1)2 解析:如图①,将$△ ADF$绕着点$A$按顺时针方向旋
转 $90°$,得 $△ ABH$,$\therefore ∠ BAH=∠ FAD$,$∠ ABH=∠ D$,$AH=$
$AF$,$BH=DF=1$.$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AD=AB=$
$BC=CD$,$∠ ABC=∠ ADF=∠ C=90°$,$\therefore ∠ HBE=180°$,$\therefore H$,
$B$,$E$ 在同一直线上.又$\because ∠ EAF=45°$,$\therefore ∠ DAF+∠ BAE=$
$45°=∠ BAH+∠ BAE=∠ HAE=∠ EAF$.又 $\because AE=AE$,
$\therefore △ AEF≌ △ AEH(\mathrm{SAS})$,$\therefore HE=EF=2$.

(2)如图②,将$△ ADF$绕着点$A$按顺时针方向旋转$90°$,得
$△ ABF'$,则 $∠ ABF'=∠ D$,$AF=AF'$,$BF'=DF$,$∠ BAF'=$
$∠ DAF$.$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore ∠ D=∠ ABC=90°$,
$\therefore ∠ ABF'=90°$,$\therefore ∠ F'BC=180°$,$\therefore F'$,$B$,$E$ 在同一直线
上.$\because ∠ EAF=45°$,$\therefore ∠ DAF+∠ BAE=45°=∠ F'AB+$
$∠ BAE=∠ F'AE=∠ EAF$.又$\because AE=AE$,$\therefore △ AF'E≌ △ AFE$
$(\mathrm{SAS})$,$\therefore EF=EF'=BE+BF'=BE+DF$,即 $BE+DF=EF$.
(3)$EF=DF-BE$ 解析:如图③,将$△ ABE$绕着点$A$按逆
时针方向旋转 $90°$,$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore △ ABE$ 旋
转后 $AB$ 与 $AD$ 重合,点 $E$ 落在 $CD$ 上的点 $H$ 处,得
$△ ADH$,$\therefore △ ADH≌ △ ABE$,$\therefore ∠ DAH=∠ BAE$,$DH=$
$BE$,$AH=AE$.$\because ∠ EAF=45°$,$\therefore ∠ BAE+∠ BAF=45°=$
$∠ DAH+∠ BAF$,$\therefore ∠ FAH=90°-∠ DAH-∠ BAF=45°=$
$∠ EAF$.又$\because AF=AF$,$AE=AH$,$\therefore △ AEF≌ △ AHF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore EF=FH$,$\therefore EF=FH=DF-DH=DF-BE$.