类型一 利用“倍长中线法”构造全等三
角形
一般地,遇到以下两种情况,我们可以考虑倍长法：
①题目中出现中线,则可延长中线,使所延长部分与中线相等,然后连接相应顶点构造全等三角形；
②题目中出现中点,则可延长以中点为端点的线段,使所延长部分与原线段相等,然后连接相应顶点构造全等三角形.
倍长法构造出的全等三角形,其中一个三角形可由另一个三角形绕中点旋转$180^{\circ }$得到.

解：延长AD至点E，使DE=AD，连接CE。
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD。
在△ABD和△ECD中，
$\{\begin{array}{l}AD = ED \\∠ ADB = ∠ EDC \\BD = CD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ECD（SAS）。
∴ EC = AB。
在△ACE中，由三角形三边关系可得：
$EC - AC ＜ AE ＜ EC + AC$，
∵ $AE = AD + DE = 2AD$，
代入对应线段长度化简得：
$AB - AC ＜ 2AD ＜ AB + AC$。
若已知AB=5，AC=3，代入得：
$5-3 ＜ 2AD ＜ 5+3$，
解得$1 ＜ AD ＜ 4$。
构造得到的△ECD可由△ABD绕点D旋转180°得到。

1. (2026·南通校级月考)阅读下列材料,然后解决问题：
(1) 如图①,在$△ ABC$中,若$AB=12,AC=8$,求$BC$边上的中线$AD$的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长$AD$到点$E$,使$DE=AD$,再连接$BE$,把$AB,AC,2AD$集中在$△ ABE$中. 利用三角形三边的关系即可判断中线$AD$的取值范围是.
(2) 问题解决:
如图②,在$△ ABC$中,$D$是$BC$边上的中点,$DE ⊥ DF$于点$D$,$DE$交$AB$于点$E$,$DF$交$AC$于点$F$,连接$EF$,求证:$BE+CF＞EF$.

$\boldsymbol{2＜AD＜10}$
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证明：(2)
延长FD到点G，使DG=DF，连接BG、EG。
∵D是BC的中点，
∴BD=CD。
在△BDG和△CDF中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD \\ ∠BDG=∠CDF \\ DG=DF \end{array} $
∴△BDG≌△CDF(SAS)，
∴BG=CF。
∵DE⊥DF，
∴∠EDG=∠EDF=90°。
在△EDG和△EDF中，
$\{\begin{array}{l} DG=DF \\ ∠EDG=∠EDF \\ DE=DE \end{array} $
∴△EDG≌△EDF(SAS)，
∴EG=EF。
在△BEG中，由三角形三边关系得：
$BE + BG ＞ EG$，
将BG=CF，EG=EF代入，可得：
$BE + CF ＞ EF$。

解：(1)
延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△BDE和△CDA中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD \\ ∠BDE=∠CDA \\ DE=AD \end{array} $
∴△BDE≌△CDA(SAS)，
∴BE=AC=8。
在△ABE中，由三角形三边关系得：
$AB - BE ＜ AE ＜ AB + BE$，
∵AB=12，AE=2AD，
∴$12 - 8 ＜ 2AD ＜ 12 + 8$，
即$4 ＜ 2AD ＜ 20$，
∴$2 ＜ AD ＜ 10$。

2. 如图, $CE, CB$ 分别是 $△ ABC$ 与 $△ ADC$ 的中线,且 $∠ ACB = ∠ ABC$. 求证: $CD = 2CE$.

2. 如图,延长 $CE$ 到点 $F$,使 $EF=CE$,则 $CF=2CE$,$\because CE$ 是
$△ ABC$ 的中线,$\therefore AE=BE$,在 $△ ACE$ 和 $△ BFE$ 中,
$\begin{cases} AE=BE,\\ ∠ AEC=∠ BEF,\therefore △ ACE≌ △ BFE(SAS),\therefore AC=BF,\\ CE=FE, \end{cases}$
$∠ CAB=∠ ABF$.又$\because ∠ ACB=∠ ABC$,作$AG⊥ BC$于点$G$,易
证$△ ACG≌ △ ABG$,$\therefore AC=AB$.又$\because CB$ 是 $△ ADC$ 的中
线,$\therefore AC=AB=BD=BF$,$∠ DBC=∠ BAC+∠ ACB=∠ ABF+$
$∠ ABC$,即 $∠ DBC=∠ FBC$, 在 $△ DBC$ 和 $△ FBC$ 中,
$\begin{cases} DB=FB,\\ ∠ DBC=∠ FBC,\therefore △ DBC≌ △ FBC(SAS),\therefore DC=CF=2CE.\\ BC=BC, \end{cases}$

一题多解 过点 $B$ 作 $BF// AC$,交 $CE$ 的延长线于点 $F$,图形
同“倍长中线法”作出的图形.$\because CE$是$△ ABC$的中线,
$BF// AC$,$\therefore AE=BE$,$∠ BAC=∠ ABF$,$∠ ACE=∠ F$.在$△ ACE$
和$△ BFE$中,$\begin{cases} ∠ ACE=∠ F,\\ ∠ EAC=∠ EBF,\therefore △ ACE≌ △ BFE(AAS),\\ AE=BE, \end{cases}$
$\therefore CE=EF$,$AC=BF$,$\therefore CF=2CE$.$\because ∠ ACB=∠ ABC$,作$AG⊥$
$BC$ 于点 $G$,易证$△ ACG≌ △ ABG$,$\therefore AC=AB$.又 $CB$ 是$△ ADC$
的中线,$\therefore AC=AB=BD=BF$.$\because ∠ DBC=∠ BAC+∠ ACB=$
$∠ ABF+∠ ABC$,$\therefore ∠ DBC=∠ FBC$.在$△ DBC$和$△ FBC$中,
$\begin{cases} DB=FB,\\ ∠ DBC=∠ FBC,\therefore △ DBC≌ △ FBC(SAS),\therefore CD=CF=2CE.\\ BC=BC, \end{cases}$

3. 如图,五边形 $ABCDE$ 中, $AB=AE$, $DA$ 平分$∠ CDE,∠ B+∠ E=180°$,求证:$BC+DE=CD$.

3. 如图所示,在 $CD$ 上截取 $JD=DE$,连
接 $JA$,过点 $A$ 作 $AI⊥ CD$ 于 $I$,$AH⊥ BC$
于 $H$,$\therefore ∠ AIJ=∠ AHB=90°$.$\because DA$
平分 $∠ CDE$,$\therefore ∠ ADC=∠ ADE$.在
$△ AJD$与$△ AED$中,$\begin{cases} JD=ED,\\ ∠ ADJ=∠ ADE,\therefore △ AJD≌ △ AED\\ AD=AD, \end{cases}$
(SAS),$\therefore AE=AJ$,$∠ AJD=∠ E$.又 $AB=AE$,$\therefore AB=AJ$.
$\because ∠ B+∠ E=180°$,$∠ AJD+∠ AJC=180°$,$\therefore ∠ B=∠ AJC$.在
$△ AJI$ 与 $△ ABH$ 中,$\begin{cases} ∠ AIJ=∠ AHB,\\ ∠ AJI=∠ B, \therefore △ AJI≌ △ ABH\\ AJ=AB, \end{cases}$
(AAS),$\therefore AI=AH$,$BH=IJ$.在$\mathrm{Rt}△ AIC$与$\mathrm{Rt}△ AHC$中,
$\begin{cases} AI=AH,\\ AC=AC, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ AIC≌ \mathrm{Rt}△ AHC(\mathrm{HL})$,$\therefore HC=IC$,$\therefore BC+$
$DE=BH+HC+DE=IJ+CI+JD=CD$,即$BC+DE=CD$.