1. 在正方形网格中,网格线的交点叫作格点,三个顶点均在格点上的三角形叫作格点三角形.

$△ ABC$ 是格点三角形.
(1) 在图①中画出 2 个与$△ ABC$ 全等且有一条公共边 $BC$ 的格点三角形;
(2) 在图②中画出 2 个与$△ ABC$ 全等且有一个公共点 $A$ 的格点三角形.

1. (1)如图①中，$△ BCD$，$△ BCM$即为所求作三角形(答案不唯一).
(2)如图②中，$△ AFE$，$△ AGH$即为所求作三角形(答案不唯一).

2. (2025·南京期末)如图，
在正方形网格中,每个小
正方形的顶点叫作格点.
已知点 A,B,C 均在格
点上.
(1) 仅用无刻度的直尺在网格中画 $AD // BC$,
画 $BE ⊥ AD$,垂足为 E;
(2) 比较大小:$BE$ $AB$,理由是
;
(3) 点 F 在射线 BC 上,请用无刻度的直尺和圆
规作直线 $FG // AB$(保留作图痕迹,不写作法).

2. (1)如图①所示，$AD,BE$即为所求.

解析:如图②,取格点$G,H,I$,则格点$M,D$在格线$GH$上,设格线$IB$交$AD$于点$N$,由题意得$∠ AGD=∠ CIB=90^{\circ },IN//$$GH,\therefore ∠ ADG=∠ DNI.\because DG=BI=2,AG=CI=3,\therefore △ ADG≌$$△ CBI,\therefore ∠ ADG=∠ CBI=∠ DNB,\therefore AD// BC$. 同理可得$△ ADG≌ △ MBH,\therefore ∠ BMH=∠ GAD.\because ∠ AGD=90^{\circ },$$\therefore ∠ ADG+∠ GAD=∠ ADG+∠ BMH=90^{\circ },\therefore ∠ MED=90^{\circ },$$\therefore BE⊥ AD,\therefore AD,BE$即为所求.

(2)$＜$ 垂线段最短
(3)如图③,$FG$即为所求.

3. (2025·承德期中)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
一个缺角的三角形残片如图所示,请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形,并用全等的知识简述作图依据.

3. 如图所示,$△ CDE$即为所求.

依据如下:根据作图可得$CD=AB$,$∠ ECD=∠ A$,$∠ EDC=$$∠ B$,$\therefore$ 利用 ASA 可判定$△ CDE$是和原三角形全等的三角形.

4. 新趋势 项目式学习 通过“探索三角形全等的条件”的学习,大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实,可以判定两个三角形全等;而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等.下面请你来
探究.
探究:已知$△ ABC$.求作$△ DEF$,使$EF = BC$,$∠ E=∠ B$,$DF = AC$(即两边和其中一边所对的角分别相等).
(1)实践与操作:请依据下面的步骤,用尺规完成作图过程.(保留作图痕迹)
①画$EF = BC$;②在线段$EF$的上方画$∠ E=∠ B$;③画$DF = AC$;④顺次连接相应顶点得所求三角形.
(2)观察与小结:观察你画的图形,你会发现满足条件的三角形有个;其中三角形(填三角形的名称)与$△ ABC$明显不全等,因此可得结论:.
(3)猜想与验证:猜想是否存在满足“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等呢?存在与否,请举一例用尺规作图验证(提示:按照探究中的已知先构造三角形,再根据求作要求尺规作图).
(4)归纳与总结:用一句话归纳(3).
.

4. (1)作图如图①所示.

(2)两 $D_2EF$(根据(1)中结果回答) 两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等 解析:满足条件的三角形有两个,$△ D_1EF$,$△ D_2EF$,其中$△ D_2EF$与$△ ABC$明显不全等,因此可得结论:两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等.
(3)如图②,当$∠ ABC=90^{\circ }$时,按步骤作图,可得$△ DEF≌$$△ ABC$.

如图③,当$∠ ABC＞90^{\circ }$时,按步骤作图,也可得$△ DEF≌$$△ ABC$.

(4)两个三角形的两边和其中一边所对的角分别相等,且该角为直角或钝角时,这两个三角形全等(合理即可)