3. 如图,$∠ C=90°,BE ⊥ AB$且$BE=AB,BD ⊥ BC$且$BD=BC$,$CB$的延长线交$DE$于点$F$.求证:点$F$是$ED$的中点.

3. 如图,过点 $E$ 作 $EH ⊥ CB$, 交 $CB$ 的延长线于 $H, \because ∠ C=90°, BE ⊥ AB, \therefore ∠ C = ∠ EBA = ∠ H=90°, \therefore ∠ ABC + ∠ A=90°, ∠ ABC + ∠ EBH=90°, \therefore ∠ A = ∠ EBH.$ 在 $△ ABC$ 和 $△ BEH$ 中, $\begin{cases} ∠ C = ∠ H=90°, \\ ∠ A = ∠ EBH, \\ AB = BE, \end{cases} \therefore △ ABC ≌ △ BEH(\mathrm{AAS}), \therefore EH = BC = BD.$ 在 $△ BDF$ 和 $△ HEF$ 中, $\begin{cases} ∠ DFB = ∠ EFH, \\ ∠ FBD = ∠ H, \\ BD = HE, \end{cases} \therefore △ BDF ≌ △ HEF(\mathrm{AAS}), \therefore DF = EF, \therefore$ 点 $F$ 是 $ED$ 的中点.

4. 通过对如图数学模型的研究学习,解决下列问题:
【模型呈现】
(1) 如图①，$∠ BAD = 90°$，$AB = AD$，过点$B$作$BC ⊥ AC$于点$C$，过点$D$作$DE ⊥ AC$于点$E$.由$∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 2 + ∠ D = 90°$，得$∠ 1 = ∠ D$.又$∠ ACB = ∠ AED = 90°$，可以推理得到$△ ABC ≌ △ DAE$.进而得到$AC = \_\_\_\_\_\_$，$BC = AE$.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型.
【模型应用】
(2) 如图②，$∠ BAD = ∠ CAE = 90°$，$AB = AD$，$AC = AE$，连接$BC$，$DE$，且$BC ⊥ AF$于点$F$，$DE$与直线$AF$交于点$G$.求证:点$G$是$DE$的中点.
【深入探究】
(3) 如图③，已知四边形$ABCD$和$DEGF$为正方形，$△ AFD$的面积为$S_1$，$△ DCE$的面积为$S_2$，则有$S_1 \_\_\_\_\_\_ S_2$(填“＞”“＜”或“=”).

4. (1) $DE$ 解析: $\because BC ⊥ AC, DE ⊥ AC, \therefore ∠ ACB = ∠ DEA=90° = ∠ BAD. \therefore ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 2 + ∠ D=90°, \therefore ∠ 1 = ∠ D.$ 在 $△ ABC$ 和 $△ DAE$ 中, $\begin{cases} ∠ ACB = ∠ DEA, \\ ∠ 1 = ∠ D, \\ AB = DA, \end{cases} \therefore △ ABC ≌ △ DAE(\mathrm{AAS}), \therefore AC = DE, BC = AE.$
(2) 如图①,过 $D$ 作 $DM ⊥ AF$ 于 $M$,过 $E$ 作 $EN ⊥ AF$ 于 $N$,由“K 字”模型得 $△ ABF ≌ △ DAM(\mathrm{AAS}), \therefore AF = DM.$ 同理得 $AF = EN, \therefore EN = DM. \because DM ⊥ AF, EN ⊥ AF, \therefore ∠ GMD = ∠ GNE=90°.$ 在 $△ DMG$ 与 $△ ENG$ 中, $\begin{cases} ∠ DGM = ∠ EGN, \\ ∠ DMG = ∠ ENG, \\ DM = EN, \end{cases} \therefore △ DMG ≌ △ ENG(\mathrm{AAS}), \therefore DG = EG,$ 即点 $G$ 是 $DE$ 的中点.


(3) $=$ 解析: 如图②,过 $D$ 作 $PQ ⊥ CE$ 于 $P$,交 $AF$ 于 $Q$,过 $A$ 作 $AM ⊥ PQ$ 于 $M$,过 $F$ 作 $FN ⊥ PQ$ 于 $N$,由四边形 $ABCD$ 和四边形 $DEGF$ 为正方形,易得 $∠ ADC = ∠ EDF=90°, AD = CD, DE = DF,$ 由“K 字”模型得 $△ ADM ≌ △ DCP(\mathrm{AAS}), △ DFN ≌ △ EDP(\mathrm{AAS}), \therefore S_{△ ADM} = S_{△ DCP}, S_{△ DFN} = S_{△ EDP}.$ 同(2)得 $△ AMQ ≌ △ FNQ(\mathrm{AAS}), \therefore S_{△ AMQ} = S_{△ FNQ}, \therefore S_{△ ADQ} + S_{△ FNQ} + S_{△ DFN} = S_{△ ADQ} + S_{△ AMQ} + S_{△ DFN} = S_{△ ADM} + S_{△ DFN} = S_{△ DCP} + S_{△ EDP},$ 即 $S_1 = S_2.$