1. (2025·洛阳期中)在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,直线$MN$经过点$C$,且$AD⊥ MN$于$D$,$BE⊥ MN$于$E$.
(1)当直线$MN$处在图①的位置时,填空:
①$△ ADC$和$△ CEB$的关系是;
②线段$DE$,$AD$和$BE$三者之间的数量关系是.
(2)当直线$MN$处在图②的位置时,求证:$DE=AD-BE$.
(3)当直线$MN$处在图③的位置时,且$BE=3$,$AD=1$,则$DE$的长为.

1. (1) ① $△ ADC ≌ △ CEB$ 解析: $\because ∠ ACB=90°, \therefore ∠ ACD + ∠ BCE=90°. \because AD ⊥ MN, BE ⊥ MN, \therefore ∠ ADC = ∠ CEB=90°, \therefore ∠ ACD + ∠ CAD=90°, \therefore ∠ CAD = ∠ BCE.$ 在 $△ ADC$ 和 $△ CEB$ 中, $\begin{cases} ∠ ADC = ∠ CEB, \\ ∠ CAD = ∠ BCE, \\ AC = CB, \end{cases} \therefore △ ADC ≌ △ CEB(\mathrm{AAS}).$
② $DE = AD + BE$ 解析: 由①可知 $△ ADC ≌ △ CEB, \therefore CE = AD, BE = CD, \therefore DE = CE + DC = AD + BE.$
(2) $\because ∠ ADC = ∠ CEB = ∠ ACB=90°, \therefore ∠ ACD = ∠ CBE.$ 在 $△ ADC$ 和 $△ CEB$ 中, $\begin{cases} ∠ ADC = ∠ CEB, \\ ∠ ACD = ∠ CBE, \\ AC = CB, \end{cases} \therefore △ ADC ≌ △ CEB(\mathrm{AAS}), \therefore CE = AD, CD = BE, \therefore DE = CE - CD = AD - BE.$
(3) 2 解析: 由(2)易知 $△ ACD ≌ △ CBE, \therefore CD = BE=3, CE = AD=1, \therefore DE = CD - CE=3-1=2.$

2. (2026 · 盐城校级月考) 已知 $CD$ 是经过 $∠ BCA$ 顶点 $C$ 的一条直线, $CA=CB$.$E,F$ 分别是直线 $CD$ 上两点, 且 $∠ BEC=∠ CFA=∠ α$.
(1)若直线 $CD$ 经过 $∠ BCA$ 的内部, 且 $E,F$ 在射线 $CD$ 上,请解决下面问题:
①如图 ①, 若 $∠ BCA=90°$, $∠ α=90°$, 求证: $BE=CF$.
②如图 ②, 若 $∠ α+∠ ACB=180°$, 请写出线段 $EF,BE,AF$ 之间的数量关系:.
(2)如图 ③, 若直线 $CD$ 经过 $∠ BCA$ 的外部, $∠ α=∠ BCA$, 题(1)②中的结论是否仍然成立? 若成立,请给予证明; 若不成立,请你写出正确的结论再给予证明.

2. (1) ① $\because ∠ BEC = ∠ CFA = ∠ α=90°, ∠ ACB=90°, \therefore ∠ BCE + ∠ ACF=90°, ∠ CBE + ∠ BCE=90°, \therefore ∠ ACF = ∠ CBE.$ 在 $△ BCE$ 和 $△ CAF$ 中, $\begin{cases} ∠ BEC = ∠ CFA, \\ ∠ EBC = ∠ FCA, \\ BC = CA, \end{cases} \therefore △ BCE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS}), \therefore BE = CF.$
② $EF = BE - AF$ 解析: $\because ∠ BEC = ∠ CFA = ∠ α, ∠ α + ∠ ACB=180°, \therefore ∠ CBE=180° - ∠ BCE - ∠ α, ∠ ACF = ∠ ACB - ∠ BCE=180° - ∠ α - ∠ BCE, \therefore ∠ ACF = ∠ CBE.$ 在 $△ BCE$ 和 $△ CAF$ 中, $\begin{cases} ∠ BEC = ∠ CFA, \\ ∠ EBC = ∠ FCA, \\ BC = CA, \end{cases} \therefore △ BCE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS}), \therefore BE = CF, CE = AF, \therefore EF = CF - CE = BE - AF.$
(2) 不成立. 结论: $EF = BE + AF.$ 证明如下: $\because ∠ BEC = ∠ CFA = ∠ α, ∠ α = ∠ BCA,$ 又 $\because ∠ EBC + ∠ BCE + ∠ BEC=180°, ∠ BCE + ∠ ACF + ∠ ACB=180°, \therefore ∠ EBC + ∠ BCE = ∠ BCE + ∠ ACF, \therefore ∠ EBC = ∠ ACF.$ 在 $△ BCE$ 和 $△ CAF$ 中, $\begin{cases} ∠ BEC = ∠ CFA, \\ ∠ EBC = ∠ FCA, \\ BC = CA, \end{cases} \therefore △ BCE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS}), \therefore AF = CE, BE = CF. \because EF = CF + CE, \therefore EF = BE + AF.$