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24.（12分）如图1，已知点$P(6, 4)$，直线$l$：$y=-\dfrac{1}{2}x+2$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$.
（1）直接写出$△ OAB$的面积；
（2）$C$是射线$BA$上的动点，$∠ PCA=2∠ BAO$，
①若点$C$在线段$AB$上，求$C$点坐标；
②若点$C$在线段$BA$的延长线上，直接写出$C$点坐标；
（3）如图2，点$Q(-4, n)$在直线$l$上，点$D(m,\ \dfrac{1}{2}m^2 - m - 8)$，（$m＞0$，且$m≠6$），直线$PD$和$QD$分别交$y$轴于$M$，$N$，点$E(0, -8)$，求$\dfrac{EM}{EN}$的值.
（1）直接写出$△ OAB$的面积；
（2）$C$是射线$BA$上的动点，$∠ PCA=2∠ BAO$，
①若点$C$在线段$AB$上，求$C$点坐标；
②若点$C$在线段$BA$的延长线上，直接写出$C$点坐标；
（3）如图2，点$Q(-4, n)$在直线$l$上，点$D(m,\ \dfrac{1}{2}m^2 - m - 8)$，（$m＞0$，且$m≠6$），直线$PD$和$QD$分别交$y$轴于$M$，$N$，点$E(0, -8)$，求$\dfrac{EM}{EN}$的值.
答案
解：（1）$x=0$时，$y=2$，
$\therefore B（0，2）$，
$y=0$时，$x=4$，
$\therefore A（4，0）$，
$\therefore OB=2$，$OA=4$，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×4×2=4$；
（2）①过$P$点作$PE// x$轴交直线$l$于点$E$，则$E（-4，4）$，
作$EP$的垂直平分线与直线$l$的交点即为$C$，
$\because EP// x$轴，
$\therefore ∠ PEA=∠ BAO$，
$\because EC=CP$，
$\therefore ∠ EPC=∠ PEC$，
$\therefore ∠ PCA=2∠ BAO$，
$\therefore C$点横坐标为1，
$\therefore C（1，\frac{3}{2}）$；
②在直线$l$上取点$C'$，使$PC=PC'$，则$∠ PCA=∠ PC'A=2∠ BAO$，
设$C（t，-\frac{1}{2}t+2）$，
$\therefore \sqrt{(6 - t)^2 + (\frac{1}{2}t + 2)^2}=\sqrt{5^2 + (\frac{5}{2})^2}$，
解得$t=1$或$t=7$，
$\therefore C'（7，-\frac{3}{2}）$，
$\therefore$点$C$在线段$BA$的延长线上时的$C$点坐标为$(7，-\frac{3}{2})$；
（3）$\because$点$Q（-4，n）$在直线$l$上，
$\therefore Q（-4，4）$，
$\therefore$直线$PD$的解析式为$y=\frac{1}{2}（m - 6）x+2m+8$，
$\therefore N（0，2m - 8）$，
直线$QD$的解析式为$y=\frac{1}{2}（m+4）x - 3m - 8$，
$\therefore M（0，- 3m - 8）$，
$\therefore EM=| - 3m|$，$EN=|2m|$，
$\therefore \frac{EM}{EN}=\frac{3}{2}$。
$\therefore B（0，2）$，
$y=0$时，$x=4$，
$\therefore A（4，0）$，
$\therefore OB=2$，$OA=4$，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×4×2=4$；
（2）①过$P$点作$PE// x$轴交直线$l$于点$E$，则$E（-4，4）$，
作$EP$的垂直平分线与直线$l$的交点即为$C$，
$\because EP// x$轴，
$\therefore ∠ PEA=∠ BAO$，
$\because EC=CP$，
$\therefore ∠ EPC=∠ PEC$，
$\therefore ∠ PCA=2∠ BAO$，
$\therefore C$点横坐标为1，
$\therefore C（1，\frac{3}{2}）$；
②在直线$l$上取点$C'$，使$PC=PC'$，则$∠ PCA=∠ PC'A=2∠ BAO$，
设$C（t，-\frac{1}{2}t+2）$，
$\therefore \sqrt{(6 - t)^2 + (\frac{1}{2}t + 2)^2}=\sqrt{5^2 + (\frac{5}{2})^2}$，
解得$t=1$或$t=7$，
$\therefore C'（7，-\frac{3}{2}）$，
$\therefore$点$C$在线段$BA$的延长线上时的$C$点坐标为$(7，-\frac{3}{2})$；
（3）$\because$点$Q（-4，n）$在直线$l$上，
$\therefore Q（-4，4）$，
$\therefore$直线$PD$的解析式为$y=\frac{1}{2}（m - 6）x+2m+8$，
$\therefore N（0，2m - 8）$，
直线$QD$的解析式为$y=\frac{1}{2}（m+4）x - 3m - 8$，
$\therefore M（0，- 3m - 8）$，
$\therefore EM=| - 3m|$，$EN=|2m|$，
$\therefore \frac{EM}{EN}=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
本题分三小问逐步求解：第（1）问需先求直线与坐标轴交点，利用三角形面积公式计算；第（2）问通过构造平行线和等腰三角形转化角的关系，结合方程求解动点坐标；第（3）问先确定点Q坐标，再求两条直线的解析式，找到y轴上的点M、N，结合E点坐标计算线段比值，消去参数得到定值。
【解析】
（1）对于直线$ l:y=-\dfrac{1}{2}x+2 $：
当$ x=0 $时，$ y=2 $，故$ B(0,2) $；当$ y=0 $时，$ 0=-\dfrac{1}{2}x+2 $，解得$ x=4 $，故$ A(4,0) $。
则$ OA=4 $，$ OB=2 $，$ S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}× OA× OB=\dfrac{1}{2}×4×2=4 $。
（2）①过$ P(6,4) $作$ PE// x $轴交直线$ l $于$ E $，则$ E $的纵坐标为4，代入直线$ l $得$ 4=-\dfrac{1}{2}x+2 $，解得$ x=-4 $，即$ E(-4,4) $。
要使$ ∠ PCA=2∠ BAO $，因$ PE// x $轴，$ ∠ PEA=∠ BAO $，作$ EP $的垂直平分线，其中点为$ (1,4) $，垂直平分线为$ x=1 $，代入直线$ l $得$ y=-\dfrac{1}{2}×1+2=\dfrac{3}{2} $，故$ C(1,\dfrac{3}{2}) $。
②设$ C(t,-\dfrac{1}{2}t+2) $，由$ PC=EC $，$ EC=\sqrt{(1+4)^2+(\dfrac{3}{2}-4)^2}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2} $，则：
$ \sqrt{(6-t)^2+(4-(-\dfrac{1}{2}t+2))^2}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2} $，平方后解得$ t=1 $或$ t=7 $。
因$ C $在线段$ BA $延长线上，故$ t=7 $，代入得$ y=-\dfrac{3}{2} $，即$ C(7,-\dfrac{3}{2}) $。
（3）点$ Q(-4,n) $在直线$ l $上，代入得$ n=-\dfrac{1}{2}×(-4)+2=4 $，故$ Q(-4,4) $。
直线$ PD $：过$ P(6,4) $和$ D(m,\dfrac{1}{2}m^2 -m -8) $，斜率$ k=\dfrac{1}{2}(m+4) $，解析式为$ y=\dfrac{1}{2}(m+4)(x-6)+4 $，令$ x=0 $得$ M(0,-3m-8) $；
直线$ QD $：过$ Q(-4,4) $和$ D(m,\dfrac{1}{2}m^2 -m -8) $，斜率$ k=\dfrac{1}{2}(m-6) $，解析式为$ y=\dfrac{1}{2}(m-6)(x+4)+4 $，令$ x=0 $得$ N(0,2m-8) $；
点$ E(0,-8) $，则$ EM=|(-3m-8)-(-8)|=3m $，$ EN=|(2m-8)-(-8)|=2m $，故$ \dfrac{EM}{EN}=\dfrac{3m}{2m}=\dfrac{3}{2} $。
【答案】
（1）$ 4 $；（2）①$ (1,\dfrac{3}{2}) $；②$ (7,-\dfrac{3}{2}) $；（3）$ \dfrac{3}{2} $
【知识点】
一次函数应用，坐标与图形，线段比值计算
【点评】
本题综合考查一次函数性质、角的倍分关系转化及直线解析式求解，需结合几何性质与代数计算，对学生数形结合能力要求较高，步骤清晰但需注意参数处理。
【难度系数】
0.5
本题分三小问逐步求解：第（1）问需先求直线与坐标轴交点，利用三角形面积公式计算；第（2）问通过构造平行线和等腰三角形转化角的关系，结合方程求解动点坐标；第（3）问先确定点Q坐标，再求两条直线的解析式，找到y轴上的点M、N，结合E点坐标计算线段比值，消去参数得到定值。
【解析】
（1）对于直线$ l:y=-\dfrac{1}{2}x+2 $：
当$ x=0 $时，$ y=2 $，故$ B(0,2) $；当$ y=0 $时，$ 0=-\dfrac{1}{2}x+2 $，解得$ x=4 $，故$ A(4,0) $。
则$ OA=4 $，$ OB=2 $，$ S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}× OA× OB=\dfrac{1}{2}×4×2=4 $。
（2）①过$ P(6,4) $作$ PE// x $轴交直线$ l $于$ E $，则$ E $的纵坐标为4，代入直线$ l $得$ 4=-\dfrac{1}{2}x+2 $，解得$ x=-4 $，即$ E(-4,4) $。
要使$ ∠ PCA=2∠ BAO $，因$ PE// x $轴，$ ∠ PEA=∠ BAO $，作$ EP $的垂直平分线，其中点为$ (1,4) $，垂直平分线为$ x=1 $，代入直线$ l $得$ y=-\dfrac{1}{2}×1+2=\dfrac{3}{2} $，故$ C(1,\dfrac{3}{2}) $。
②设$ C(t,-\dfrac{1}{2}t+2) $，由$ PC=EC $，$ EC=\sqrt{(1+4)^2+(\dfrac{3}{2}-4)^2}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2} $，则：
$ \sqrt{(6-t)^2+(4-(-\dfrac{1}{2}t+2))^2}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2} $，平方后解得$ t=1 $或$ t=7 $。
因$ C $在线段$ BA $延长线上，故$ t=7 $，代入得$ y=-\dfrac{3}{2} $，即$ C(7,-\dfrac{3}{2}) $。
（3）点$ Q(-4,n) $在直线$ l $上，代入得$ n=-\dfrac{1}{2}×(-4)+2=4 $，故$ Q(-4,4) $。
直线$ PD $：过$ P(6,4) $和$ D(m,\dfrac{1}{2}m^2 -m -8) $，斜率$ k=\dfrac{1}{2}(m+4) $，解析式为$ y=\dfrac{1}{2}(m+4)(x-6)+4 $，令$ x=0 $得$ M(0,-3m-8) $；
直线$ QD $：过$ Q(-4,4) $和$ D(m,\dfrac{1}{2}m^2 -m -8) $，斜率$ k=\dfrac{1}{2}(m-6) $，解析式为$ y=\dfrac{1}{2}(m-6)(x+4)+4 $，令$ x=0 $得$ N(0,2m-8) $；
点$ E(0,-8) $，则$ EM=|(-3m-8)-(-8)|=3m $，$ EN=|(2m-8)-(-8)|=2m $，故$ \dfrac{EM}{EN}=\dfrac{3m}{2m}=\dfrac{3}{2} $。
【答案】
（1）$ 4 $；（2）①$ (1,\dfrac{3}{2}) $；②$ (7,-\dfrac{3}{2}) $；（3）$ \dfrac{3}{2} $
【知识点】
一次函数应用，坐标与图形，线段比值计算
【点评】
本题综合考查一次函数性质、角的倍分关系转化及直线解析式求解，需结合几何性质与代数计算，对学生数形结合能力要求较高，步骤清晰但需注意参数处理。
【难度系数】
0.5
