23.（10分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.
（1）如图1，求证：AE＝CF；
（2）FH⊥DE，交AD于H点，垂足为点G.
①如图2，若AH＝AE，求证：BF＝2FC；
②如图3，连接BG，若BG//DF，直接写出$\frac{BF}{FC}$的值.

解：（1）证明：$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore ∠ A=∠ C=90°$，$AD=CD$，
$\because ∠ ADE=∠ CDF$，
$\therefore △ ADE≌△ CDF（ASA）$，
$\therefore AE=CF$；
（2）①证明：如图1，
作$FW⊥ AD$于$W$，
$\therefore ∠ FWD=90°$，
$\therefore ∠ FHW+∠ HFW=90°$，
$\because ∠ ADC=∠ C=90°$，
$\therefore$四边形$CDWF$是矩形，
$\therefore FW=CD=AD$，
同理可得，
$BF=AW$，
$\because FH⊥ DE$，
$\therefore ∠ FHW+∠ ADE=90°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ HFW$，
$\because ∠ FWH=∠ A=90°$，
$\therefore △ FWH≌△ DAE（ASA）$，
$\therefore HW=AE=AH=CF$，
$\therefore BF=AH+HW=2CF$；
②解：如图2，
连接$EF$，连接$BD$，$EF$，$BD$交于点$O$，连接$OG$，
由（1）知，
$△ ADE≌△ CDF$，
$\therefore DE=DF$，$AE=CF$，
$\because AB=BC$，
$\therefore BE=BF$，
$\therefore BD⊥ EF$，$OE=OF$，
$\because ∠ ABC=∠ EGF=90°$，
$\therefore OE=OG=OB=OF$，
$\because BG// DF$，
$\therefore ∠ GBF=∠ CFD$，
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ BFG=∠ DHG$，
$\because ∠ A=∠ DGH=90°$，
$\because ∠ ADE+∠ AED=90°$，$∠ ADE+∠ DHG=90°$，
$\therefore ∠ DHG=∠ AED$，
由（1）知，
$△ ADE≌△ CDF$，
$\therefore ∠ CFD=∠ AED$，
$\therefore ∠ BFG=∠ CFD$，
$\therefore ∠ BFG=∠ GBF$，
$\therefore BG=FG$，
$\therefore △ BOG≌△ FOG（SSS）$，
$\therefore ∠ BGO=∠ FOG$，$∠ GBO=∠ EFG$，
$\therefore GV⊥ BC$，
$\because OB=OG$，
$\therefore ∠ BGO=∠ OBG$，
$\because ∠ BGO+∠ GBF=90°$，
$\therefore ∠ EFG+∠ GBF=90°$，
$\therefore ∠ GEF+∠ EFG=90°$，
$\therefore ∠ FEG=∠ GBF=∠ AED$，
$\therefore OD=AD=CD$，
$\therefore FD$平分$∠ CDE$，
$\therefore DF$平分$∠ CDB$，
$\therefore CF=OF=\frac{\sqrt{2}}{2}BF$，
$\therefore \frac{BF}{CF}=\sqrt{2}$。

【分析】本题为正方形背景下的几何证明与计算问题，解题思路如下：（1）利用正方形的边、角性质，结合已知角相等，通过ASA证明三角形全等，得到线段相等；（2）①作垂线构造矩形，利用同角的余角相等得到角相等，结合已知AH=AE的条件，再次用ASA证全等，推导线段关系；②连接辅助线EF、BD，利用（1）的结论和正方形性质，结合BG//DF的条件，推导角相等，得出线段关系，最终计算比值。
【解析】（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=90°，AD=CD，又
∵∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF；（2）①证明：如图1，作FW⊥AD于W，
∴∠FWD=90°，
∵∠ADC=∠C=90°，
∴四边形CDWF是矩形，
∴FW=CD=AD，BF=AW，
∵FH⊥DE，
∴∠FHW+∠HFW=90°，又
∵∠FHW+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠HFW，在△FWH和△DAE中，$\{\begin{array}{l}∠FWH=∠A=90°\\ FW=AD\\ ∠HFW=∠ADE\end{array} $，
∴△FWH≌△DAE（ASA），
∴HW=AE，
∵AH=AE，
∴HW=AH=CF，
∴BF=AW=AH+HW=2CF，即BF=2FC；②解：如图2，连接EF，BD交于点O，连接OG，由（1）知△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，AE=CF，
∵AB=BC，
∴BE=BF，
∴BD⊥EF，OE=OF，
∵∠ABC=∠EGF=90°，
∴OE=OG=OB=OF，
∵BG//DF，
∴∠GBF=∠CFD，又
∵AD//BC，
∴∠BFG=∠DHG，
∵∠ADE+∠AED=90°，∠ADE+∠DHG=90°，
∴∠DHG=∠AED，由（1）知∠CFD=∠AED，
∴∠BFG=∠CFD，
∴∠BFG=∠GBF，
∴BG=FG，
∴△BOG≌△FOG（SSS），
∴∠GBO=∠EFG，结合OB=OG，推导得∠FEG=∠GBF，最终可得CF=OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，
∴$\frac{BF}{CF}=\sqrt{2}$；
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②$\sqrt{2}$
【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查多个几何核心知识点，需要通过作辅助线构造全等三角形，结合角的关系推导线段关系，对学生的逻辑推理和辅助线构造能力要求较高。
【难度系数】0.4