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20.（8分）如图，在$□ ABCD$中，点E，F在对角线AC上（不与点A，C重合），$BE// DF$，连接ED，BF.
（1）求证：$ED=BF$；
（2）若$AB=BC$，则四边形BEDF______菱形，若$∠ ABC=90°$，则四边形BEDF______矩形（这两个空直接填“是”或“不是”）.
（1）求证：$ED=BF$；
（2）若$AB=BC$，则四边形BEDF______菱形，若$∠ ABC=90°$，则四边形BEDF______矩形（这两个空直接填“是”或“不是”）.
答案
解：（1）证明：连接$BD$交$AC$于点$O$，如图所示：
在$□ ABCD$中，$OA=OC$，$OB=OD$，
$\because BE// DF$，
$\therefore ∠ BEO=∠ DFO$，
在$△ BOE$和$△ DOF$中，
$\begin{cases}∠ BEO = ∠ DFO \\∠ BOE = ∠ DOF, \\OB = OD\end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ DOF（AAS）$，
$\therefore BE=DF$，
又$\because BE// DF$，
$\therefore$四边形$BEDF$是平行四边形，
$\therefore DE=BF$；
（2）若$AB=BC$，则四边形$BEDF$是菱形，理由如下：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，且$AB=BC$，
$\therefore □ ABCD$是菱形，
$\therefore AC⊥ BD$，
即$EF⊥ BD$，
$\because$四边形$BEDF$是平行四边形，且$EF⊥ BD$，
$\therefore$四边形$BEDF$是菱形；
若$∠ ABC=90°$，则四边形$BEDF$不是矩形，理由如下：
$\because$点$E$，$F$在对角线$AC$上（不与点$A$，$C$重合），$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ EBF＜∠ ABC=90°$，
$\therefore$四边形$BEDF$不是矩形．
故答案为：是；不是。
在$□ ABCD$中，$OA=OC$，$OB=OD$，
$\because BE// DF$，
$\therefore ∠ BEO=∠ DFO$，
在$△ BOE$和$△ DOF$中，
$\begin{cases}∠ BEO = ∠ DFO \\∠ BOE = ∠ DOF, \\OB = OD\end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ DOF（AAS）$，
$\therefore BE=DF$，
又$\because BE// DF$，
$\therefore$四边形$BEDF$是平行四边形，
$\therefore DE=BF$；
（2）若$AB=BC$，则四边形$BEDF$是菱形，理由如下：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，且$AB=BC$，
$\therefore □ ABCD$是菱形，
$\therefore AC⊥ BD$，
即$EF⊥ BD$，
$\because$四边形$BEDF$是平行四边形，且$EF⊥ BD$，
$\therefore$四边形$BEDF$是菱形；
若$∠ ABC=90°$，则四边形$BEDF$不是矩形，理由如下：
$\because$点$E$，$F$在对角线$AC$上（不与点$A$，$C$重合），$∠ ABC=90°$，
$\therefore ∠ EBF＜∠ ABC=90°$，
$\therefore$四边形$BEDF$不是矩形．
故答案为：是；不是。
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形、菱形、矩形的性质与判定定理逐步推导：（1）通过连接平行四边形的对角线，利用对角线互相平分的性质，结合BE//DF的条件，证明三角形全等得到BE=DF，进而推出四边形BEDF是平行四边形，从而得到ED=BF；（2）根据平行四边形ABCD的特殊条件（AB=BC或∠ABC=90°），判断其为特殊平行四边形，再结合平行四边形BEDF的对角线特征，判定其形状。
【解析】
（1）证明：连接BD交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
∵BE//DF，
∴∠BEO=∠DFO。
在△BOE和△DOF中：
$\{\begin{array}{l}∠BEO=∠DFO \\∠BOE=∠DOF \\OB=OD\end{array} $
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴BE=DF。
又
∵BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ED=BF（平行四边形对边相等）。
（2）若AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，
∴□ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），即EF⊥BD。
∵四边形BEDF是平行四边形，且EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），故填“是”。
若∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=90°，
∴□ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
∵点E、F在对角线AC上（不与A、C重合），
∴∠EBF＜∠ABC=90°，
∴四边形BEDF不是矩形，故填“不是”。
【答案】
是；不是
【知识点】
平行四边形的性质与判定；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题综合考查特殊平行四边形的判定与性质，解题核心是利用平行四边形的对角线性质构造全等三角形，再结合特殊平行四边形的判定定理进行推理，需熟练掌握相关定理，逻辑推导要求较高。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合平行四边形、菱形、矩形的性质与判定定理逐步推导：（1）通过连接平行四边形的对角线，利用对角线互相平分的性质，结合BE//DF的条件，证明三角形全等得到BE=DF，进而推出四边形BEDF是平行四边形，从而得到ED=BF；（2）根据平行四边形ABCD的特殊条件（AB=BC或∠ABC=90°），判断其为特殊平行四边形，再结合平行四边形BEDF的对角线特征，判定其形状。
【解析】
（1）证明：连接BD交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
∵BE//DF，
∴∠BEO=∠DFO。
在△BOE和△DOF中：
$\{\begin{array}{l}∠BEO=∠DFO \\∠BOE=∠DOF \\OB=OD\end{array} $
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴BE=DF。
又
∵BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ED=BF（平行四边形对边相等）。
（2）若AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，
∴□ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），即EF⊥BD。
∵四边形BEDF是平行四边形，且EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），故填“是”。
若∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=90°，
∴□ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
∵点E、F在对角线AC上（不与A、C重合），
∴∠EBF＜∠ABC=90°，
∴四边形BEDF不是矩形，故填“不是”。
【答案】
是；不是
【知识点】
平行四边形的性质与判定；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题综合考查特殊平行四边形的判定与性质，解题核心是利用平行四边形的对角线性质构造全等三角形，再结合特殊平行四边形的判定定理进行推理，需熟练掌握相关定理，逻辑推导要求较高。
【难度系数】
0.6
21.（8分）如图是由小正方形组成的$8×4$网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B是格点，C是网格线上一点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过四条.
（1）在图1中，先画$△ ABC$的角平分线BD，再在AB上画点E，使$BE=BC$；
（2）在图2中，先在边AC上画点F，使$∠ ABF=45°$，再画$△ ABC$的高CG.
（1）在图1中，先画$△ ABC$的角平分线BD，再在AB上画点E，使$BE=BC$；
（2）在图2中，先在边AC上画点F，使$∠ ABF=45°$，再画$△ ABC$的高CG.
答案
解：（1）如图1中，线段$BD$，点$E$即为所求；
（2）如图2中，点$F$，线段$CG$即为所求．
解析
【分析】
解决本题需利用网格的几何性质：（1）画角平分线时，结合角平分线的构造，通过格点连线确定平分角的线段；截取等长线段时，根据BC的长度在AB上找到对应点。（2）构造45°角需利用网格中的直角等腰三角形，通过格点连线得到目标角；画高则利用网格的垂直关系，从顶点向对边作垂线。
【解析】
（1）①画△ABC的角平分线BD：在图1中，取格点T，连接BT交AC于点D，BD即为∠ABC的角平分线；②在AB上画点E：BC长度为4个单位，在AB上从B点截取长度为4个单位的线段，得到点E，此时BE=BC。
（2）①在AC上画点F使∠ABF=45°：在图2中，取格点R，连接BR交AC于点F，此时∠ABF=45°；②画△ABC的高CG：取格点G，连接CG，使CG⊥AB，CG即为△ABC的高。
【答案】
（1）如图1中，线段BD，点E即为所求；
（2）如图2中，点F，线段CG即为所求．
【知识点】
网格作图、角平分线、三角形的高
【点评】
本题是网格中的无刻度直尺作图题，需结合角平分线性质、等腰直角三角形构造及三角形高的定义，利用格点的位置关系完成作图，考查几何图形在网格中的应用能力。
【难度系数】
0.5
解决本题需利用网格的几何性质：（1）画角平分线时，结合角平分线的构造，通过格点连线确定平分角的线段；截取等长线段时，根据BC的长度在AB上找到对应点。（2）构造45°角需利用网格中的直角等腰三角形，通过格点连线得到目标角；画高则利用网格的垂直关系，从顶点向对边作垂线。
【解析】
（1）①画△ABC的角平分线BD：在图1中，取格点T，连接BT交AC于点D，BD即为∠ABC的角平分线；②在AB上画点E：BC长度为4个单位，在AB上从B点截取长度为4个单位的线段，得到点E，此时BE=BC。
（2）①在AC上画点F使∠ABF=45°：在图2中，取格点R，连接BR交AC于点F，此时∠ABF=45°；②画△ABC的高CG：取格点G，连接CG，使CG⊥AB，CG即为△ABC的高。
【答案】
（1）如图1中，线段BD，点E即为所求；
（2）如图2中，点F，线段CG即为所求．
【知识点】
网格作图、角平分线、三角形的高
【点评】
本题是网格中的无刻度直尺作图题，需结合角平分线性质、等腰直角三角形构造及三角形高的定义，利用格点的位置关系完成作图，考查几何图形在网格中的应用能力。
【难度系数】
0.5
22.（10分）某出租车公司决定购买A，B两种品牌车共20台.A品牌车比B品牌车的单价多2万元，若购买4台A品牌车比购买3台B品牌车多花18万元.
（1）求A，B两种品牌车的单价是多少万元；
（2）已知每台A，B两种品牌车的月运营收益分别为3.6万元，3万元.该出租车公司计划购买这两种品牌的车的总费用不超过220万元，并要求月运营总收益不低于64万元.设购买A品牌车x（台），月运营总收益为y（万元），
①求y与x的函数关系式以及自变量x可以取哪几个值；
②请设计一种月运营总收益最大的购车方案，并求出月运营总收益的最大值是多少万元.
（1）求A，B两种品牌车的单价是多少万元；
（2）已知每台A，B两种品牌车的月运营收益分别为3.6万元，3万元.该出租车公司计划购买这两种品牌的车的总费用不超过220万元，并要求月运营总收益不低于64万元.设购买A品牌车x（台），月运营总收益为y（万元），
①求y与x的函数关系式以及自变量x可以取哪几个值；
②请设计一种月运营总收益最大的购车方案，并求出月运营总收益的最大值是多少万元.
答案
解：（1）设$B$品牌车的单价是$m$万元，则$A$品牌车的单价是（$m+2$）万元，
根据题意得：$4（m+2）- 3m=18$，
解得：$m=10$，
$\therefore m+2=10+2=12$（万元）．
答：$A$品牌车的单价是12万元，$B$品牌车的单价是10万元；
（2）①根据题意得：$y=3.6x+3（20 - x）$，
即$y=0.6x+60$．
$\because$该出租车公司计划购买这两种品牌的车的总费用不超过220万元，并要求月运营总收益不低于64万元，
$\therefore \begin{cases}12x + 10(20 - x) ≤ 220 \\ 0.6x + 60 ≥ 64\end{cases}$，
解得：$\frac{20}{3}≤ x≤10$，
又$\because x$为正整数，
$\therefore x$可以取7，8，9，10；
②$\because 0.6＞0$，
$\therefore y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=10$时，$y$取得最大值，最大值为$0.6×10+60=66$（万元），此时$20 - x=20 - 10=10$（辆）．
答：当购买10辆$A$品牌车，10辆$B$品牌车时，月运营总收益最大，最大值是66万元。
根据题意得：$4（m+2）- 3m=18$，
解得：$m=10$，
$\therefore m+2=10+2=12$（万元）．
答：$A$品牌车的单价是12万元，$B$品牌车的单价是10万元；
（2）①根据题意得：$y=3.6x+3（20 - x）$，
即$y=0.6x+60$．
$\because$该出租车公司计划购买这两种品牌的车的总费用不超过220万元，并要求月运营总收益不低于64万元，
$\therefore \begin{cases}12x + 10(20 - x) ≤ 220 \\ 0.6x + 60 ≥ 64\end{cases}$，
解得：$\frac{20}{3}≤ x≤10$，
又$\because x$为正整数，
$\therefore x$可以取7，8，9，10；
②$\because 0.6＞0$，
$\therefore y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=10$时，$y$取得最大值，最大值为$0.6×10+60=66$（万元），此时$20 - x=20 - 10=10$（辆）．
答：当购买10辆$A$品牌车，10辆$B$品牌车时，月运营总收益最大，最大值是66万元。
解析
【分析】
本题为实际应用类综合题，解题思路如下：
1. 第（1）问求A、B品牌车单价：属于一元一次方程的应用，设B品牌车单价为m万元，根据“A比B单价多2万元”得A单价为(m+2)万元，再依据“4台A比3台B多花18万元”的等量关系列方程，求解得两种车单价。
2. 第（2）问①求函数式及x的取值：月总收益=A总收益+B总收益，结合A、B的数量表示出y与x的函数式；再根据“总费用≤220万元”“月总收益≥64万元”列不等式组，解不等式组后结合x为正整数，确定x的取值范围。
3. 第（2）问②求最大收益：利用一次函数的增减性，结合x的取值范围，找到使y最大的x值，进而确定购车方案和最大收益。
【解析】
解：（1）设$B$品牌车的单价是$m$万元，则$A$品牌车的单价是（$m+2$）万元，
根据题意得：$4(m+2) - 3m = 18$，
解得：$m = 10$，
$\therefore m+2 = 10 + 2 = 12$（万元）．
答：$A$品牌车的单价是12万元，$B$品牌车的单价是10万元；
（2）①根据题意得：$y = 3.6x + 3(20 - x)$，
化简得：$y = 0.6x + 60$．
$\because$总费用不超过220万元，月运营总收益不低于64万元，
$\therefore$列不等式组：$\begin{cases}12x + 10(20 - x) ≤ 220 \\ 0.6x + 60 ≥ 64\end{cases}$，
解第一个不等式：$12x + 200 - 10x ≤ 220 ⇒ 2x ≤ 20 ⇒ x ≤ 10$，
解第二个不等式：$0.6x ≥ 4 ⇒ x ≥ \frac{20}{3} \approx 6.67$，
又$\because x$为正整数，
$\therefore x$可以取7，8，9，10；
②$\because$在函数$y = 0.6x + 60$中，$k = 0.6 ＞ 0$，
$\therefore y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x = 10$时，$y$取得最大值，最大值为$0.6×10 + 60 = 66$（万元），
此时$20 - x = 20 - 10 = 10$（辆）．
答：当购买10辆$A$品牌车，10辆$B$品牌车时，月运营总收益最大，最大值是66万元。
【答案】
A品牌车的单价是12万元，B品牌车的单价是10万元；
①$y = 0.6x + 60$，x可以取7，8，9，10；
②当购买10辆A品牌车，10辆B品牌车时，月运营总收益最大，最大值是66万元。
【知识点】
一元一次方程应用、一元一次不等式组应用、一次函数应用
【点评】
本题结合购车场景考查方案优化，综合运用方程、不等式组及一次函数知识，需学生准确提取等量与不等关系建立模型，难度适中，能有效考察数学应用能力。
【难度系数】
0.6
本题为实际应用类综合题，解题思路如下：
1. 第（1）问求A、B品牌车单价：属于一元一次方程的应用，设B品牌车单价为m万元，根据“A比B单价多2万元”得A单价为(m+2)万元，再依据“4台A比3台B多花18万元”的等量关系列方程，求解得两种车单价。
2. 第（2）问①求函数式及x的取值：月总收益=A总收益+B总收益，结合A、B的数量表示出y与x的函数式；再根据“总费用≤220万元”“月总收益≥64万元”列不等式组，解不等式组后结合x为正整数，确定x的取值范围。
3. 第（2）问②求最大收益：利用一次函数的增减性，结合x的取值范围，找到使y最大的x值，进而确定购车方案和最大收益。
【解析】
解：（1）设$B$品牌车的单价是$m$万元，则$A$品牌车的单价是（$m+2$）万元，
根据题意得：$4(m+2) - 3m = 18$，
解得：$m = 10$，
$\therefore m+2 = 10 + 2 = 12$（万元）．
答：$A$品牌车的单价是12万元，$B$品牌车的单价是10万元；
（2）①根据题意得：$y = 3.6x + 3(20 - x)$，
化简得：$y = 0.6x + 60$．
$\because$总费用不超过220万元，月运营总收益不低于64万元，
$\therefore$列不等式组：$\begin{cases}12x + 10(20 - x) ≤ 220 \\ 0.6x + 60 ≥ 64\end{cases}$，
解第一个不等式：$12x + 200 - 10x ≤ 220 ⇒ 2x ≤ 20 ⇒ x ≤ 10$，
解第二个不等式：$0.6x ≥ 4 ⇒ x ≥ \frac{20}{3} \approx 6.67$，
又$\because x$为正整数，
$\therefore x$可以取7，8，9，10；
②$\because$在函数$y = 0.6x + 60$中，$k = 0.6 ＞ 0$，
$\therefore y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x = 10$时，$y$取得最大值，最大值为$0.6×10 + 60 = 66$（万元），
此时$20 - x = 20 - 10 = 10$（辆）．
答：当购买10辆$A$品牌车，10辆$B$品牌车时，月运营总收益最大，最大值是66万元。
【答案】
A品牌车的单价是12万元，B品牌车的单价是10万元；
①$y = 0.6x + 60$，x可以取7，8，9，10；
②当购买10辆A品牌车，10辆B品牌车时，月运营总收益最大，最大值是66万元。
【知识点】
一元一次方程应用、一元一次不等式组应用、一次函数应用
【点评】
本题结合购车场景考查方案优化，综合运用方程、不等式组及一次函数知识，需学生准确提取等量与不等关系建立模型，难度适中，能有效考察数学应用能力。
【难度系数】
0.6
