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16. 已知直线$y=-x+2b$与直线$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}b$交于点$A$，直线$y=kx-4k$（$k≠0$）经过定点$B$.
（1）点$B$的坐标是________；
（2）若点$A$到直线$y=kx-4k$（$k≠0$）的距离是定值，则这个定值是________.
（1）点$B$的坐标是________；
（2）若点$A$到直线$y=kx-4k$（$k≠0$）的距离是定值，则这个定值是________.
答案
解：（1）$\because y=kx - 4k=k（x - 4）$，
$\therefore$定点$B（4，0）$．
故答案为：$(4,0)$；
（2）由$\begin{cases}y=-x + 2b \\ y=\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}b\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = b \\ y = b\end{cases}$，
$\therefore A（b，b）$，
$\therefore$点$A$所在的直线为$y=x$，
$\because$点$A$到直线$y=kx - 4k$（$k≠0$）的距离是定值，
$\therefore$直线$y=x$与直线$y=kx - 4k$平行，
$\therefore k=1$，
$\therefore$直线$y=x - 4$，$∠ OBD=45°$，
$\because y=kx - 4k$过定点$B（4，0）$，
$\therefore OB=4$，
$\therefore$点$A$到直线$y=kx - 4k$（$k≠0$）的距离$OD=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$。
$\therefore$定点$B（4，0）$．
故答案为：$(4,0)$；
（2）由$\begin{cases}y=-x + 2b \\ y=\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}b\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = b \\ y = b\end{cases}$，
$\therefore A（b，b）$，
$\therefore$点$A$所在的直线为$y=x$，
$\because$点$A$到直线$y=kx - 4k$（$k≠0$）的距离是定值，
$\therefore$直线$y=x$与直线$y=kx - 4k$平行，
$\therefore k=1$，
$\therefore$直线$y=x - 4$，$∠ OBD=45°$，
$\because y=kx - 4k$过定点$B（4，0）$，
$\therefore OB=4$，
$\therefore$点$A$到直线$y=kx - 4k$（$k≠0$）的距离$OD=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
（1）求直线$y=kx-4k$（$k≠0$）的定点，需将直线方程整理为含参数$k$的形式，令$k$的系数为0，即可得到定点坐标；
（2）先联立两条直线方程求出交点$A$的坐标，判断点$A$所在的直线，再根据“点$A$到直线$y=kx-4k$的距离为定值”，得出两条直线平行，进而求出参数$k$，最后利用平行线间的距离公式或几何性质计算定值。
【解析】
（1）对直线$y=kx-4k$变形得：$y=k(x-4)$，
当$x-4=0$即$x=4$时，$y=0$，
因此定点$B$的坐标为$(4,0)$。
（2）联立$\begin{cases}y=-x+2b \\ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}b\end{cases}$，
解方程组得：$\begin{cases}x=b \\ y=b\end{cases}$，即$A(b,b)$，
由此可知点$A$在直线$y=x$上。
若点$A$到直线$y=kx-4k$的距离为定值，则直线$y=kx-4k$与直线$y=x$平行，故斜率$k=1$，
此时直线为$y=x-4$，过定点$B(4,0)$，
两条平行直线$y=x$与$y=x-4$的距离即为所求定值，根据平行线间距离公式：
$d=\frac{|0 - (-4)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$(4,0)$；$2\sqrt{2}$
【知识点】
一次函数定点问题；两直线平行的性质；点到直线的距离
【点评】
本题综合考查一次函数的定点、两直线平行的性质以及点到直线距离的计算，需要先确定交点所在直线，再利用平行关系简化计算，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，解题思路如下：
（1）求直线$y=kx-4k$（$k≠0$）的定点，需将直线方程整理为含参数$k$的形式，令$k$的系数为0，即可得到定点坐标；
（2）先联立两条直线方程求出交点$A$的坐标，判断点$A$所在的直线，再根据“点$A$到直线$y=kx-4k$的距离为定值”，得出两条直线平行，进而求出参数$k$，最后利用平行线间的距离公式或几何性质计算定值。
【解析】
（1）对直线$y=kx-4k$变形得：$y=k(x-4)$，
当$x-4=0$即$x=4$时，$y=0$，
因此定点$B$的坐标为$(4,0)$。
（2）联立$\begin{cases}y=-x+2b \\ y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}b\end{cases}$，
解方程组得：$\begin{cases}x=b \\ y=b\end{cases}$，即$A(b,b)$，
由此可知点$A$在直线$y=x$上。
若点$A$到直线$y=kx-4k$的距离为定值，则直线$y=kx-4k$与直线$y=x$平行，故斜率$k=1$，
此时直线为$y=x-4$，过定点$B(4,0)$，
两条平行直线$y=x$与$y=x-4$的距离即为所求定值，根据平行线间距离公式：
$d=\frac{|0 - (-4)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$(4,0)$；$2\sqrt{2}$
【知识点】
一次函数定点问题；两直线平行的性质；点到直线的距离
【点评】
本题综合考查一次函数的定点、两直线平行的性质以及点到直线距离的计算，需要先确定交点所在直线，再利用平行关系简化计算，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
17.（8分）计算：
（1）$(\sqrt{8} + \sqrt{3}) × \sqrt{6}$；
（3）$\frac{2}{3}\sqrt{9x} - x\sqrt{\frac{1}{x}}$。
（1）$(\sqrt{8} + \sqrt{3}) × \sqrt{6}$；
（3）$\frac{2}{3}\sqrt{9x} - x\sqrt{\frac{1}{x}}$。
答案
解：（1）原式$=\sqrt{8}×\sqrt{6}+\sqrt{3}×\sqrt{6}$
$=\sqrt{48}+\sqrt{18}$
$=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$；
（2）原式$=2\sqrt{x}-\sqrt{x}=\sqrt{x}$。
$=\sqrt{48}+\sqrt{18}$
$=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$；
（2）原式$=2\sqrt{x}-\sqrt{x}=\sqrt{x}$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路：（1）利用乘法分配律展开式子，结合二次根式乘法法则计算后化简为最简二次根式；（2）先将各项二次根式化简为最简形式，再合并同类二次根式即可。
【解析】
（1）根据乘法分配律展开原式：
原式$=\sqrt{8}×\sqrt{6}+\sqrt{3}×\sqrt{6}$
由二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$计算得：
$=\sqrt{48}+\sqrt{18}$
将二次根式化为最简形式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，因此原式$=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$；
（2）先化简各项二次根式：
$\frac{2}{3}\sqrt{9x}=\frac{2}{3}×3\sqrt{x}=2\sqrt{x}$，
$x\sqrt{\frac{1}{x}}=\sqrt{x^2·\frac{1}{x}}=\sqrt{x}$，
合并同类二次根式得：原式$=2\sqrt{x}-\sqrt{x}=\sqrt{x}$。
【答案】
（1）$4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$；（2）$\sqrt{x}$
【知识点】
二次根式混合运算、二次根式化简、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心是掌握二次根式的运算法则与化简方法，计算时需注意化简的准确性，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
本题考查二次根式的混合运算，解题思路：（1）利用乘法分配律展开式子，结合二次根式乘法法则计算后化简为最简二次根式；（2）先将各项二次根式化简为最简形式，再合并同类二次根式即可。
【解析】
（1）根据乘法分配律展开原式：
原式$=\sqrt{8}×\sqrt{6}+\sqrt{3}×\sqrt{6}$
由二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$计算得：
$=\sqrt{48}+\sqrt{18}$
将二次根式化为最简形式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，因此原式$=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$；
（2）先化简各项二次根式：
$\frac{2}{3}\sqrt{9x}=\frac{2}{3}×3\sqrt{x}=2\sqrt{x}$，
$x\sqrt{\frac{1}{x}}=\sqrt{x^2·\frac{1}{x}}=\sqrt{x}$，
合并同类二次根式得：原式$=2\sqrt{x}-\sqrt{x}=\sqrt{x}$。
【答案】
（1）$4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$；（2）$\sqrt{x}$
【知识点】
二次根式混合运算、二次根式化简、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心是掌握二次根式的运算法则与化简方法，计算时需注意化简的准确性，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
18.（8分）已知直线$l$：$y=kx+2k$（$k≠0$）经过点（1，6）.
（1）求直线$l$的解析式；
（2）若将直线$l$向左平移1个单位长度，直接写出平移后直线的解析式.
（1）求直线$l$的解析式；
（2）若将直线$l$向左平移1个单位长度，直接写出平移后直线的解析式.
答案
解：（1）把点（1，6）代入$y=kx+2k$，
$\therefore k+2k=6$，
$\therefore 3k=6$，$k=2$，
$\therefore$直线$l$的解析式为$y=2x+4$；
（2）将直线$l$向左平移1个单位长度，
$\therefore$直线的解析式为$y=2（x+1）+4$，
$\therefore$直线的解析式为$y=2x+6$。
$\therefore k+2k=6$，
$\therefore 3k=6$，$k=2$，
$\therefore$直线$l$的解析式为$y=2x+4$；
（2）将直线$l$向左平移1个单位长度，
$\therefore$直线的解析式为$y=2（x+1）+4$，
$\therefore$直线的解析式为$y=2x+6$。
解析
【分析】
要解决这道题，第一步利用待定系数法求直线解析式，将已知点代入直线方程即可求出参数k；第二步根据一次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”，向左平移时自变量x需加1，代入原解析式就能得到平移后的解析式。
【解析】
（1）把点（1，6）代入直线l的解析式$y=kx+2k$，可得：
$k + 2k = 6$，
解得$k=2$，
因此直线l的解析式为$y=2x+4$；
（2）根据直线平移规律，向左平移1个单位长度时，将原解析式中的x替换为$x+1$，则平移后直线的解析式为：
$y=2(x+1)+4 = 2x + 6$。
【答案】
解：（1）把点（1，6）代入$y=kx+2k$，
$\therefore k+2k=6$，
$\therefore 3k=6$，$k=2$，
$\therefore$直线$l$的解析式为$y=2x+4$；
（2）将直线$l$向左平移1个单位长度，
$\therefore$直线的解析式为$y=2（x+1）+4$，
$\therefore$直线的解析式为$y=2x+6$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图像的平移规律
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，涉及待定系数法求解析式和图像平移，属于基础题型，核心是掌握一次函数的基本方法，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，第一步利用待定系数法求直线解析式，将已知点代入直线方程即可求出参数k；第二步根据一次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”，向左平移时自变量x需加1，代入原解析式就能得到平移后的解析式。
【解析】
（1）把点（1，6）代入直线l的解析式$y=kx+2k$，可得：
$k + 2k = 6$，
解得$k=2$，
因此直线l的解析式为$y=2x+4$；
（2）根据直线平移规律，向左平移1个单位长度时，将原解析式中的x替换为$x+1$，则平移后直线的解析式为：
$y=2(x+1)+4 = 2x + 6$。
【答案】
解：（1）把点（1，6）代入$y=kx+2k$，
$\therefore k+2k=6$，
$\therefore 3k=6$，$k=2$，
$\therefore$直线$l$的解析式为$y=2x+4$；
（2）将直线$l$向左平移1个单位长度，
$\therefore$直线的解析式为$y=2（x+1）+4$，
$\therefore$直线的解析式为$y=2x+6$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图像的平移规律
【点评】
本题考查一次函数的基础应用，涉及待定系数法求解析式和图像平移，属于基础题型，核心是掌握一次函数的基本方法，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.8
19.（8分）在生命安全教育活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数.根据统计的结果，绘制了如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数是
（2）求统计的这组项数数据的平均数；
（3）若该校有1000名学生，请估计该校学生参加活动不低于2项的人数.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数是
40人
，图①中$ m $的值为10
，参加“4项活动”对应的扇形的圆心角的大小是36
度；（2）求统计的这组项数数据的平均数；
（3）若该校有1000名学生，请估计该校学生参加活动不低于2项的人数.
答案
解：（1）本次接受调查的学生人数是$13÷32.5\%=40$（人），
$m\%=\frac{4}{40}×100\%=10\%$，即$m=10$，
参加“4项活动”对应的扇形的圆心角的大小是$360°×10\%=36°$，
故答案为：40人，10，36；
（2）统计的这组项数数据的平均数为$\frac{1}{40}×（1×13+2×18+3×5+4×4）=2$（项）；
（3）$1000×（1 - 32.5\%）=675$（名），
答：估计该校学生参加活动不低于2项的人数约为675名。
$m\%=\frac{4}{40}×100\%=10\%$，即$m=10$，
参加“4项活动”对应的扇形的圆心角的大小是$360°×10\%=36°$，
故答案为：40人，10，36；
（2）统计的这组项数数据的平均数为$\frac{1}{40}×（1×13+2×18+3×5+4×4）=2$（项）；
（3）$1000×（1 - 32.5\%）=675$（名），
答：估计该校学生参加活动不低于2项的人数约为675名。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合条形统计图和扇形统计图的信息逐步计算：首先利用“1项活动”的人数及其对应百分比求出调查总人数；再通过“4项活动”的人数与总人数的关系算出其占比，进而得到m值和对应扇形圆心角；计算平均数时用加权平均数公式；估计总体人数时，先求样本中“不低于2项”的比例，再乘以总人数即可。
【解析】
（1）本次接受调查的学生人数：由条形图知参加1项活动的有13人，扇形图中1项活动占比为32.5%，因此总人数为 $13÷32.5\% = 40$（人）；
“4项活动”的人数为4人，其占比为 $\frac{4}{40}×100\% =10\%$，故 $m=10$；
“4项活动”对应的扇形圆心角为 $360°×10\% =36°$。
（2）统计的项数数据的平均数：根据加权平均数公式，$\bar{x}=\frac{1×13 +2×18 +3×5 +4×4}{40}=\frac{13+36+15+16}{40}=\frac{80}{40}=2$（项）。
（3）样本中参加活动不低于2项的比例为 $1 -32.5\% =67.5\%$，因此该校1000名学生中，参加活动不低于2项的人数约为 $1000×67.5\% =675$（名）。
【答案】
40，10，36；平均数为2；估计该校学生参加活动不低于2项的人数约为675名
【知识点】
扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题综合考查两种统计图的信息解读，以及统计中的基本计算，解题关键是明确两种统计图中数据的对应关系，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合条形统计图和扇形统计图的信息逐步计算：首先利用“1项活动”的人数及其对应百分比求出调查总人数；再通过“4项活动”的人数与总人数的关系算出其占比，进而得到m值和对应扇形圆心角；计算平均数时用加权平均数公式；估计总体人数时，先求样本中“不低于2项”的比例，再乘以总人数即可。
【解析】
（1）本次接受调查的学生人数：由条形图知参加1项活动的有13人，扇形图中1项活动占比为32.5%，因此总人数为 $13÷32.5\% = 40$（人）；
“4项活动”的人数为4人，其占比为 $\frac{4}{40}×100\% =10\%$，故 $m=10$；
“4项活动”对应的扇形圆心角为 $360°×10\% =36°$。
（2）统计的项数数据的平均数：根据加权平均数公式，$\bar{x}=\frac{1×13 +2×18 +3×5 +4×4}{40}=\frac{13+36+15+16}{40}=\frac{80}{40}=2$（项）。
（3）样本中参加活动不低于2项的比例为 $1 -32.5\% =67.5\%$，因此该校1000名学生中，参加活动不低于2项的人数约为 $1000×67.5\% =675$（名）。
【答案】
40，10，36；平均数为2；估计该校学生参加活动不低于2项的人数约为675名
【知识点】
扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题综合考查两种统计图的信息解读，以及统计中的基本计算，解题关键是明确两种统计图中数据的对应关系，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
