新趋势 项目式学习 根据以下素材回答问题：
背景:我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤(如图①),其也是中华民族衡重的基本量具之一.
素材1:【杠杆平衡条件】
图②为杆秤称重的示意图,使用时将货物放在秤盘上,用手提起B(相当于支点)处的秤纽,在秤杆上移动秤砣的位置,当秤杆水平平衡时,可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量.其中秤盘质量$m_0$克,重物质量$m$克,秤砣质量$M$克,秤纽与秤盘的水平距离$AB$为$l$厘米,秤纽与零刻线的水平距离$BC$为$a$厘米,秤砣与零刻线的水平距离$CD$为$y$厘米,根据杠杆平衡条件可得$(m_0 + m)· l = M·(a + y)$.


素材2:【设计杆秤】
老李师傅制作了一个杆秤,他设定$m_0 = 10$克,$M = 50$克,最大可称重物质量为1 000克,零刻线与末刻线的距离定为50厘米.
素材3:【确定$l$和$a$的值】
①如图③,当秤盘不放重物,秤砣在零刻线时,杆秤平衡;
②如图④,当秤盘放入质量为1 000克的重物,秤砣从零刻线移至末刻线时,杆秤平衡.
根据以上的素材,解决下面问题:
(1)求出$l$和$a$的值.
(2)①$y$关于$m$的函数表达式为;
②从零刻线开始,每隔100克在秤杆上找到对应刻线,请写出相邻刻线间的距离是厘米.
(3)老李师傅的徒弟小周在学习了师傅的作法后,小周自己也另外做了一把杆秤,他称量重40克货物$M$时,秤砣在$H$处秤杆平衡(如图⑤);称量重60克货物$N$时,秤砣在$G$处秤杆平衡(如图⑥).根据图中所给数据,求这把杆秤的最大可称重物质量是多少克.

(1) 由题意得,当 $m=0,y=0$ 时, $10l=50a,\therefore l=5a.$
当 $m=1\ 000,y=50$ 时, $(10+1\ 000)l=50(a+50),\therefore 101l-5a=250,\therefore \begin{cases} l=5a,\\ 101l-5a=250,\end{cases} $ 解得 $\begin{cases} l=2.5,\\ a=0.5.\end{cases}$
(2) ① $y=\dfrac{1}{20}m$ 解析:由(1)知 $l=2.5,a=0.5,\therefore 2.5(10+m)=50(0.5+y),\therefore y=\dfrac{1}{20}m.$
② 5 解析: $\because y=\dfrac{1}{20}m,\therefore$ 当 $m=100$ 时, $y=\dfrac{1}{20}×100=5,\therefore$ 相邻刻线间的距离是 5 厘米.
(3) 由题图可知, $\begin{cases} 2.5(m_0+40)=11M,\\ 2.5(m_0+60)=16M,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m_0=4,\\ M=10,\end{cases}$
$\therefore 2.5(4+m)=10(a+y)$, 当 $a+y=26$ 时, $2.5(4+m)=10×26$, 解得 $m=100.$
答:这把杆秤的最大可称重物质量是 100 克.