3. 如图①,直线 $l:y=mx+10m$ 与 $x$ 轴负半轴、$y$ 轴正半轴分别交于 $A,B$ 两点.
(1) 当 $OA=OB$ 时,试确定直线 $l$ 的函数表达式.
(2)在(1)的条件下,设 $Q$ 为直线 $AB$ 上一点,作直线 $OQ$,过 $A,B$ 两点分别作 $AM ⊥ OQ$ 于点$M$,$BN ⊥ OQ$ 于点 $N$,若 $AM=8,BN=6$,求 $MN$ 的长.
(3)当 $m$ 取不同的值时,点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上运动,分别以 $OB,AB$ 为边,点 $B$ 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角三角形 $OBF$ 和等腰直角三角形 $ABE$,连接 $EF$ 交 $y$ 轴于点 $P$,如图②.问:当点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上运动时,试猜想 $PB$ 的长是否为定值? 若是,请求出其值;若不是,说明理由.

视频讲题

(1)$\because$直线l:$y=mx+10m$与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A,B两点,$\therefore A(-10,0)$,$B(0,10m)$.$\because OA=OB$,$\therefore 10m=10$,即$m=1$,$\therefore$直线l的函数表达式为$y=x+10$.
(2)分情况讨论:①当点Q在线段AB的延长线上时,如图①.$\because AM⊥ OQ$,$BN⊥ OQ$,$\therefore∠ AMO=∠ BNO=90°$,$\therefore∠ AOM+$$∠ MAO=90°$.$\because∠ AOM+∠ BON=90°$,$\therefore∠ MAO=∠ NOB$.在$△ AMO$和$△ ONB$中,$\begin{cases}∠ AMO=∠ ONB,\\∠ MAO=∠ NOB,\\OA=BO,\end{cases}$$\therefore△ AMO≌△ ONB$(AAS),$\therefore AM=ON$,$OM=BN$.$\because AM=8$,$BN=6$,$\therefore MN=ON+$$OM=AM+BN=14$.
②当点Q在线段AB上时,如图②.同①的方法得$△ AMO≌$$△ ONB$,$\therefore AM=ON$,$OM=BN$.$\because AM=8$,$BN=6$,$\therefore MN=ON-$$OM=AM-BN=2$.
综上,MN的长为14或2.

(3)PB的长为定值.如图③所示,过点E作$EG⊥ y$轴于点G.$\because△ AEB$是等腰直角三角形,$\therefore AB=EB$,$∠ ABO+∠ EBG=$$90°$.$\because EG⊥ BG$,$\therefore∠ GEB+∠ EBG=90°$,$\therefore∠ ABO=∠ GEB$.在$△ ABO$和$△ BEG$中,$\begin{cases}∠ BOA=∠ EGB,\\∠ ABO=∠ BEG,\\AB=BE,\end{cases}$$\therefore△ ABO≌△ BEG$(AAS),$\therefore BG=AO=10$,$OB=EG$.$\because△ OBF$是等腰直角三角形,$\therefore OB=BF$,$\therefore BF=EG$.在$△ BFP$和$△ GEP$中,$\begin{cases}∠ FBP=∠ EGP,\\∠ FPB=∠ EPG,\\FB=EG,\end{cases}$$\therefore△ BFP≌△ GEP$(AAS),$\therefore BP=GP=$$\dfrac{1}{2}BG=5$,$\therefore PB$的长是定值.

4. 如图①,在平面直角坐标系中,直线$y=x+m$与$x$轴负半轴交于点$A$,与$y$轴正半轴交于点$B$,且$△ AOB$的面积是8.
(1)求$m$的值;
(2)如图②,直线$y=kx+3k(k＜0)$交直线$AB$于点$E$,交$x$轴于点$C$,点$D$的坐标是$(0,-2)$,过点$D$作$DF ⊥ CD$交$EC$于点$F$,若$∠ AEC= ∠ CDO$,求点$F$的坐标;
(3)如图③,点$P$的坐标是$(-1,-2)$,若$△ ABO$以2个单位长度/秒的速度向下平移,同时点$P$以1个单位长度/秒的速度向左平移,平移时间是$t$秒,若点$P$落在$△ ABO$内部(不包含三角形的边),求$t$的取值范围.

视频讲题

(1)由题意可知点A,B的坐标分别为$(-m,0)$,$(0,m)$,$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}AO· BO=\dfrac{1}{2}m^2=8$,解得$m=\pm4$.$\because$点B在y轴正半轴,即$m＞0$,$\therefore m=4$.
(2)如图,作$FG⊥ y$轴于点G,由题意可知$OC=3$,设$∠ AEC=∠ CDO=x°$,则$∠ FCO=∠ ACE=135°-x°$,$∠ OCD=$$90°-x°$,$∠ DCF=135°-x°-(90°-x°)=45°$,$\therefore△ CDF$为等腰直角三角形,$\therefore CD=DF$.$\because∠ OCD+∠ ODC=∠ ODC+$$∠ FDG=90°$,$\therefore∠ OCD=∠ FDG$.在$△ CDO$和$△ DFG$中,$\begin{cases}∠ OCD=∠ GDF,\\∠ COD=∠ DGF,\\CD=DF,\end{cases}$$\therefore△ CDO≌△ DFG$(AAS),$\therefore OD=FG=2$,$DG=CO=3$,$\therefore OG=OD+DG=5$,$\therefore F(-2,-5)$.
(3)当点P落在AO边上时,由题意得$0-2t=-2$,解得$t=1$.当点P落在AB边上时,由题意得$(-1-t)+m-2t=-2$,由(1)可知$m=4$,解得$t=\dfrac{5}{3}$.$\therefore$若点P落在$△ ABO$内部(不包含三角形的边),则t的取值范围为$1＜t＜\dfrac{5}{3}$.