登录
12. 一张直角三角形硬纸板(如右图),两条直角边AB与BC的长度比是$3:2$,AB长6厘米。如果以其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周,那么形成的圆锥体积最大是(
$48π$或150.72
)立方厘米。答案
12. $48π$或150.72
解析
【分析】
首先梳理解题思路：第一步，根据已知的AB与BC的长度比和AB的长度，先计算出另一条直角边BC的长度；第二步，明确以直角三角形的直角边为轴旋转一周会得到圆锥，其中作为旋转轴的直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径，因此存在两种不同的旋转方案；第三步，分别代入圆锥体积公式计算两种方案下的圆锥体积，对比后选出最大的体积即可。这里要注意圆锥体积公式中底面半径是平方项，半径的大小对体积的影响比高更大，计算时不要漏算任意一种旋转情况。
【解析】
1. 计算BC的长度
已知AB:BC=3:2，AB长6厘米，设BC长为x厘米，可得比例：
$6:x = 3:2$
解得：$3x = 6×2$，$x=4$，即BC长4厘米。
2. 分两种旋转情况计算圆锥体积
圆锥体积公式为 $V=\frac{1}{3}π r^2 h$，其中r为底面半径，h为圆锥的高。
情况1：以AB所在直线为轴旋转
此时圆锥的高$h=AB=6\mathrm{cm}$，底面半径$r=BC=4\mathrm{cm}$，代入公式：
$V_1=\frac{1}{3}×π×4^2×6=\frac{1}{3}×π×16×6=32π$（立方厘米）
情况2：以BC所在直线为轴旋转
此时圆锥的高$h=BC=4\mathrm{cm}$，底面半径$r=AB=6\mathrm{cm}$，代入公式：
$V_2=\frac{1}{3}×π×6^2×4=\frac{1}{3}×π×36×4=48π$（立方厘米）
3. 对比两个体积
$48π ＞ 32π$，且$48π=48×3.14=150.72$立方厘米，因此最大体积为48π（或150.72）立方厘米。
【答案】
$48π$或150.72
【知识点】
比的应用，圆锥体积计算，旋转体特征
【点评】
本题的易错点是容易只计算其中一种旋转情况，忽略两种不同旋转轴对应的体积差异，同时要注意圆锥体积公式中半径是平方量级，对体积的影响远大于高，优先让更长的直角边作为底面半径时，得到的圆锥体积会更大，解题时要做到分类讨论不遗漏。
【难度系数】
0.6
首先梳理解题思路：第一步，根据已知的AB与BC的长度比和AB的长度，先计算出另一条直角边BC的长度；第二步，明确以直角三角形的直角边为轴旋转一周会得到圆锥，其中作为旋转轴的直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径，因此存在两种不同的旋转方案；第三步，分别代入圆锥体积公式计算两种方案下的圆锥体积，对比后选出最大的体积即可。这里要注意圆锥体积公式中底面半径是平方项，半径的大小对体积的影响比高更大，计算时不要漏算任意一种旋转情况。
【解析】
1. 计算BC的长度
已知AB:BC=3:2，AB长6厘米，设BC长为x厘米，可得比例：
$6:x = 3:2$
解得：$3x = 6×2$，$x=4$，即BC长4厘米。
2. 分两种旋转情况计算圆锥体积
圆锥体积公式为 $V=\frac{1}{3}π r^2 h$，其中r为底面半径，h为圆锥的高。
情况1：以AB所在直线为轴旋转
此时圆锥的高$h=AB=6\mathrm{cm}$，底面半径$r=BC=4\mathrm{cm}$，代入公式：
$V_1=\frac{1}{3}×π×4^2×6=\frac{1}{3}×π×16×6=32π$（立方厘米）
情况2：以BC所在直线为轴旋转
此时圆锥的高$h=BC=4\mathrm{cm}$，底面半径$r=AB=6\mathrm{cm}$，代入公式：
$V_2=\frac{1}{3}×π×6^2×4=\frac{1}{3}×π×36×4=48π$（立方厘米）
3. 对比两个体积
$48π ＞ 32π$，且$48π=48×3.14=150.72$立方厘米，因此最大体积为48π（或150.72）立方厘米。
【答案】
$48π$或150.72
【知识点】
比的应用，圆锥体积计算，旋转体特征
【点评】
本题的易错点是容易只计算其中一种旋转情况，忽略两种不同旋转轴对应的体积差异，同时要注意圆锥体积公式中半径是平方量级，对体积的影响远大于高，优先让更长的直角边作为底面半径时，得到的圆锥体积会更大，解题时要做到分类讨论不遗漏。
【难度系数】
0.6
13. 小军用小正方形卡纸摆图形(如下图),照这样摆下去,摆第4个图形要用(
14
)个小正方形;摆第n个图形要用($2n+6$
)个小正方形。答案
13. 14 $2n+6$
解析
【分析】
解题思路：我们可以先逐个统计前3个已知图形的小正方形总数量，观察数值的变化特征，找到相邻图形的数量差值规律，先计算出第4个图形的小正方形数，再进一步归纳出第n个图形的通用表达式。首先数出第1、2、3个图形的小正方形数分别为8、10、12，发现每往后一个图形，小正方形的数量就增加2，由此就可以顺推得到第4个的数值，再通过代数整理得到第n个的公式。
【解析】
1. 统计前三个图形的小正方形数量：
第1个图形：第一行有3个小正方形，第二行除去空白部分有2个小正方形，第三行有3个小正方形，总数为 $3+2+3=8$ 个；
第2个图形：第一行有4个小正方形，第二行除去空白部分有2个小正方形，第三行有4个小正方形，总数为 $4+2+4=10$ 个；
第3个图形：第一行有5个小正方形，第二行除去空白部分有2个小正方形，第三行有5个小正方形，总数为 $5+2+5=12$ 个；
2. 推导第4个图形的数量：
观察可得，后一个图形比前一个图形多2个小正方形，因此第4个图形的小正方形数为 $12+2=14$ 个；
3. 推导第n个图形的通用公式：
第n个图形的第一行小正方形数量为 $n+2$，第三行小正方形数量也为 $n+2$，第二行除去空白始终为2个小正方形，因此总数为：
$(n+2) + 2 + (n+2) = 2n + 6$
【答案】
14；$2n+6$
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题属于基础的图形规律探究题，通过枚举前序图形的具体数量，观察差值的固定特征即可归纳出通用表达式，解题的核心是不要直接硬猜公式，先从具体计数入手，很容易发现递增的规律，适合锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解题思路：我们可以先逐个统计前3个已知图形的小正方形总数量，观察数值的变化特征，找到相邻图形的数量差值规律，先计算出第4个图形的小正方形数，再进一步归纳出第n个图形的通用表达式。首先数出第1、2、3个图形的小正方形数分别为8、10、12，发现每往后一个图形，小正方形的数量就增加2，由此就可以顺推得到第4个的数值，再通过代数整理得到第n个的公式。
【解析】
1. 统计前三个图形的小正方形数量：
第1个图形：第一行有3个小正方形，第二行除去空白部分有2个小正方形，第三行有3个小正方形，总数为 $3+2+3=8$ 个；
第2个图形：第一行有4个小正方形，第二行除去空白部分有2个小正方形，第三行有4个小正方形，总数为 $4+2+4=10$ 个；
第3个图形：第一行有5个小正方形，第二行除去空白部分有2个小正方形，第三行有5个小正方形，总数为 $5+2+5=12$ 个；
2. 推导第4个图形的数量：
观察可得，后一个图形比前一个图形多2个小正方形，因此第4个图形的小正方形数为 $12+2=14$ 个；
3. 推导第n个图形的通用公式：
第n个图形的第一行小正方形数量为 $n+2$，第三行小正方形数量也为 $n+2$，第二行除去空白始终为2个小正方形，因此总数为：
$(n+2) + 2 + (n+2) = 2n + 6$
【答案】
14；$2n+6$
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题属于基础的图形规律探究题，通过枚举前序图形的具体数量，观察差值的固定特征即可归纳出通用表达式，解题的核心是不要直接硬猜公式，先从具体计数入手，很容易发现递增的规律，适合锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
三、计算题。共23分
1. 直接写出得数。5分
$723-67=$ $1.37+7.3=$ $2.4×5=$ $0.5÷0.25=$ $3-\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=$
$\frac{3}{4}×\frac{8}{9}=$ $\frac{25}{3}÷\frac{5}{6}=$ $0.52-0.32=$ $2-2÷7=$ $\frac{5}{7}×5÷\frac{5}{7}×5=$
1. 直接写出得数。5分
$723-67=$ $1.37+7.3=$ $2.4×5=$ $0.5÷0.25=$ $3-\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=$
$\frac{3}{4}×\frac{8}{9}=$ $\frac{25}{3}÷\frac{5}{6}=$ $0.52-0.32=$ $2-2÷7=$ $\frac{5}{7}×5÷\frac{5}{7}×5=$
答案
1. 656 8.67 12 2 $2\frac{1}{3}$或$\frac{7}{3}$ $\frac{2}{3}$ 10 0.2 $1\frac{5}{7}$或$\frac{12}{7}$ 25
解析
【分析】
这是一道整数、小数、分数的综合口算题，解题时需要根据不同运算的对应规则逐一计算：首先整数减法对齐数位相减，小数加减法对齐小数点计算，小数乘除运算可以通过转化为整数运算简化计算；分数乘除优先约分再计算提升速度；对于四则混合运算，要严格遵循同级运算从左到右的顺序，也可以合理交换运算顺序做简便运算，注意不要随意添加括号改变原式的运算逻辑，避免出现常见的运算顺序错误。
【解析】
逐题计算过程如下：
1. $723-67=656$，直接做整数退位减法可得结果；
2. $1.37+7.3=8.67$，对齐小数点后相加，补全7.3的百分位为0后计算即可；
3. $2.4×5=12$，可拆分计算$2×5+0.4×5=10+2=12$；
4. $0.5÷0.25=2$，将除数和被除数同时扩大100倍转化为$50÷25$得到结果；
5. $3-\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=\frac{18}{6}-\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$，注意不能错误添加括号写成$3-(\frac{5}{6}+\frac{1}{6})$；
6. $\frac{3}{4}×\frac{8}{9}$，交叉约分后得到$\frac{1×2}{1×3}=\frac{2}{3}$；
7. $\frac{25}{3}÷\frac{5}{6}=\frac{25}{3}×\frac{6}{5}$，交叉约分后得到$5×2=10$；
8. $0.52-0.32=0.2$，小数减法对齐小数点直接相减即可；
9. $2-2÷7=2-\frac{2}{7}=\frac{14}{7}-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}=1\frac{5}{7}$，先算除法再算减法；
10. $\frac{5}{7}×5÷\frac{5}{7}×5$，利用交换律调整运算顺序为$(\frac{5}{7}÷\frac{5}{7})×(5×5)=1×25=25$，避免错误算成1。
【答案】
656、8.67、12、2、$2\frac{1}{3}$（或$\frac{7}{3}$）、$\frac{2}{3}$、10、0.2、$1\frac{5}{7}$（或$\frac{12}{7}$）、25
【知识点】
整数运算，小数运算，分数四则运算
【点评】
本题属于小学数学基础口算综合题型，全面考察了不同类型数的基础运算法则，特意设置了多处易踩的运算顺序陷阱，能够有效检验学生的口算熟练度和对运算规则的细节掌握程度，提醒学生做口算时不能想当然乱加括号，善用运算律简化计算的同时要保证运算逻辑和原式一致。
【难度系数】
0.8
这是一道整数、小数、分数的综合口算题，解题时需要根据不同运算的对应规则逐一计算：首先整数减法对齐数位相减，小数加减法对齐小数点计算，小数乘除运算可以通过转化为整数运算简化计算；分数乘除优先约分再计算提升速度；对于四则混合运算，要严格遵循同级运算从左到右的顺序，也可以合理交换运算顺序做简便运算，注意不要随意添加括号改变原式的运算逻辑，避免出现常见的运算顺序错误。
【解析】
逐题计算过程如下：
1. $723-67=656$，直接做整数退位减法可得结果；
2. $1.37+7.3=8.67$，对齐小数点后相加，补全7.3的百分位为0后计算即可；
3. $2.4×5=12$，可拆分计算$2×5+0.4×5=10+2=12$；
4. $0.5÷0.25=2$，将除数和被除数同时扩大100倍转化为$50÷25$得到结果；
5. $3-\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=\frac{18}{6}-\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$，注意不能错误添加括号写成$3-(\frac{5}{6}+\frac{1}{6})$；
6. $\frac{3}{4}×\frac{8}{9}$，交叉约分后得到$\frac{1×2}{1×3}=\frac{2}{3}$；
7. $\frac{25}{3}÷\frac{5}{6}=\frac{25}{3}×\frac{6}{5}$，交叉约分后得到$5×2=10$；
8. $0.52-0.32=0.2$，小数减法对齐小数点直接相减即可；
9. $2-2÷7=2-\frac{2}{7}=\frac{14}{7}-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}=1\frac{5}{7}$，先算除法再算减法；
10. $\frac{5}{7}×5÷\frac{5}{7}×5$，利用交换律调整运算顺序为$(\frac{5}{7}÷\frac{5}{7})×(5×5)=1×25=25$，避免错误算成1。
【答案】
656、8.67、12、2、$2\frac{1}{3}$（或$\frac{7}{3}$）、$\frac{2}{3}$、10、0.2、$1\frac{5}{7}$（或$\frac{12}{7}$）、25
【知识点】
整数运算，小数运算，分数四则运算
【点评】
本题属于小学数学基础口算综合题型，全面考察了不同类型数的基础运算法则，特意设置了多处易踩的运算顺序陷阱，能够有效检验学生的口算熟练度和对运算规则的细节掌握程度，提醒学生做口算时不能想当然乱加括号，善用运算律简化计算的同时要保证运算逻辑和原式一致。
【难度系数】
0.8
2. 计算下面各题,能简算的要简算。12分
$756-192÷16$ $6.4-2.77+4.6-7.23$ $\frac{2}{3}÷[(\frac{6}{5}-\frac{1}{3})×\frac{1}{2}]$
$2-\frac{3}{8}÷\frac{7}{16}-\frac{1}{7}$ $\frac{13}{29}×\frac{5}{8}+\frac{3}{8}÷\frac{29}{13}$ $\frac{17}{25}+(\frac{7}{8}+\frac{1}{25})×8$
$756-192÷16$ $6.4-2.77+4.6-7.23$ $\frac{2}{3}÷[(\frac{6}{5}-\frac{1}{3})×\frac{1}{2}]$
$2-\frac{3}{8}÷\frac{7}{16}-\frac{1}{7}$ $\frac{13}{29}×\frac{5}{8}+\frac{3}{8}÷\frac{29}{13}$ $\frac{17}{25}+(\frac{7}{8}+\frac{1}{25})×8$
答案
2. 744 1 $\frac{20}{13}$ 1 $\frac{13}{29}$ 8
解析
【分析】
这是一组四则混合运算题目，解题思路是：首先严格遵循四则运算的基本顺序（先乘除后加减，有括号先计算括号内的部分），同时优先观察算式特征，判断是否可以使用加法交换律、结合律、乘法分配律等运算定律进行简便运算，通过凑整、提取公因数等方式简化计算过程，避免复杂硬算降低出错概率，逐个完成6道小题的计算即可得到结果。
【解析】
我们逐个计算各题：
1. $756-192÷16$
先计算除法：$192÷16=12$
再计算减法：$756-12=744$
2. $6.4-2.77+4.6-7.23$
利用加法交换律和减法性质凑整：
$=(6.4+4.6)-(2.77+7.23)$
$=11-10$
$=1$
3. $\frac{2}{3}÷[(\frac{6}{5}-\frac{1}{3})×\frac{1}{2}]$
先算小括号内的减法，通分计算：
$\frac{6}{5}-\frac{1}{3}=\frac{18}{15}-\frac{5}{15}=\frac{13}{15}$
再算中括号内的乘法：
$\frac{13}{15}×\frac{1}{2}=\frac{13}{30}$
最后计算括号外的除法：
$\frac{2}{3}÷\frac{13}{30}=\frac{2}{3}×\frac{30}{13}=\frac{20}{13}$
4. $2-\frac{3}{8}÷\frac{7}{16}-\frac{1}{7}$
先计算除法：
$\frac{3}{8}÷\frac{7}{16}=\frac{3}{8}×\frac{16}{7}=\frac{6}{7}$
再利用减法的性质合并减数：
$=2-\frac{6}{7}-\frac{1}{7}$
$=2-(\frac{6}{7}+\frac{1}{7})$
$=2-1$
$=1$
5. $\frac{13}{29}×\frac{5}{8}+\frac{3}{8}÷\frac{29}{13}$
先把除法转化为乘法：$\frac{3}{8}÷\frac{29}{13}=\frac{3}{8}×\frac{13}{29}$
提取公因数$\frac{13}{29}$用乘法分配律计算：
$=\frac{13}{29}×\frac{5}{8}+\frac{3}{8}×\frac{13}{29}$
$=\frac{13}{29}×(\frac{5}{8}+\frac{3}{8})$
$=\frac{13}{29}×1$
$=\frac{13}{29}$
6. $\frac{17}{25}+(\frac{7}{8}+\frac{1}{25})×8$
用乘法分配律展开括号：
$=\frac{17}{25}+\frac{7}{8}×8+\frac{1}{25}×8$
$=\frac{17}{25}+7+\frac{8}{25}$
合并同分母分数凑整：
$=(\frac{17}{25}+\frac{8}{25})+7$
$=1+7$
$=8$
【答案】
744、1、$\frac{20}{13}$、1、$\frac{13}{29}$、8
【知识点】
四则混合运算顺序，简便运算定律，分数四则运算
【点评】
本题重点考察四则混合运算的简算技巧，多数题目不需要硬算，只要能识别出凑整特征、灵活转换除法为乘法后提取公因数，合理使用运算律就能快速得到结果，易错点是去括号、转换运算形式时符号出错，计算时要注意步骤严谨。
【难度系数】
0.7
这是一组四则混合运算题目，解题思路是：首先严格遵循四则运算的基本顺序（先乘除后加减，有括号先计算括号内的部分），同时优先观察算式特征，判断是否可以使用加法交换律、结合律、乘法分配律等运算定律进行简便运算，通过凑整、提取公因数等方式简化计算过程，避免复杂硬算降低出错概率，逐个完成6道小题的计算即可得到结果。
【解析】
我们逐个计算各题：
1. $756-192÷16$
先计算除法：$192÷16=12$
再计算减法：$756-12=744$
2. $6.4-2.77+4.6-7.23$
利用加法交换律和减法性质凑整：
$=(6.4+4.6)-(2.77+7.23)$
$=11-10$
$=1$
3. $\frac{2}{3}÷[(\frac{6}{5}-\frac{1}{3})×\frac{1}{2}]$
先算小括号内的减法，通分计算：
$\frac{6}{5}-\frac{1}{3}=\frac{18}{15}-\frac{5}{15}=\frac{13}{15}$
再算中括号内的乘法：
$\frac{13}{15}×\frac{1}{2}=\frac{13}{30}$
最后计算括号外的除法：
$\frac{2}{3}÷\frac{13}{30}=\frac{2}{3}×\frac{30}{13}=\frac{20}{13}$
4. $2-\frac{3}{8}÷\frac{7}{16}-\frac{1}{7}$
先计算除法：
$\frac{3}{8}÷\frac{7}{16}=\frac{3}{8}×\frac{16}{7}=\frac{6}{7}$
再利用减法的性质合并减数：
$=2-\frac{6}{7}-\frac{1}{7}$
$=2-(\frac{6}{7}+\frac{1}{7})$
$=2-1$
$=1$
5. $\frac{13}{29}×\frac{5}{8}+\frac{3}{8}÷\frac{29}{13}$
先把除法转化为乘法：$\frac{3}{8}÷\frac{29}{13}=\frac{3}{8}×\frac{13}{29}$
提取公因数$\frac{13}{29}$用乘法分配律计算：
$=\frac{13}{29}×\frac{5}{8}+\frac{3}{8}×\frac{13}{29}$
$=\frac{13}{29}×(\frac{5}{8}+\frac{3}{8})$
$=\frac{13}{29}×1$
$=\frac{13}{29}$
6. $\frac{17}{25}+(\frac{7}{8}+\frac{1}{25})×8$
用乘法分配律展开括号：
$=\frac{17}{25}+\frac{7}{8}×8+\frac{1}{25}×8$
$=\frac{17}{25}+7+\frac{8}{25}$
合并同分母分数凑整：
$=(\frac{17}{25}+\frac{8}{25})+7$
$=1+7$
$=8$
【答案】
744、1、$\frac{20}{13}$、1、$\frac{13}{29}$、8
【知识点】
四则混合运算顺序，简便运算定律，分数四则运算
【点评】
本题重点考察四则混合运算的简算技巧，多数题目不需要硬算，只要能识别出凑整特征、灵活转换除法为乘法后提取公因数，合理使用运算律就能快速得到结果，易错点是去括号、转换运算形式时符号出错，计算时要注意步骤严谨。
【难度系数】
0.7
