1. (2025·山东济宁汶上期末)如图,点 C 为线段 AB 的中点,点 D 为线段 CB 上任意一点,则下列表示线段关系的式子中不正确的是().

A.$AB=2AC$
B.$AC+CD+DB=AB$
C.$CD=AD-\dfrac{1}{2}AB$
D.$AD=\dfrac{1}{2}(CD+AB)$

1.D

【分析】
本题考查线段中点的性质与线段和差关系，解题思路是先利用点C是AB中点，得出AC=CB=½AB，再结合线段的和差关系，逐一分析每个选项，判断出不正确的式子。
【解析】
已知点C为线段AB的中点，因此AC=CB=½AB。
选项A：因为C是AB中点，所以AB=2AC，该式正确；
选项B：线段AB被点C、D分为AC、CD、DB三段，故AC+CD+DB=AB，该式正确；
选项C：由线段和差得AD=AC+CD，又AC=½AB，代入得AD=½AB + CD，移项后CD=AD - ½AB，该式正确；
选项D：AD=AC+CD=½AB + CD，而½(CD+AB)=½CD + ½AB，显然AD=½AB + CD≠½(CD+AB)，该式错误。
【答案】
D
【知识点】
线段中点、线段和差
【点评】
本题属于基础题，主要考查线段中点性质及线段和差的运算，只需逐一分析选项即可得出结论，难度较低。
【难度系数】
0.3

2. 分类讨论思想 两根木条,一根长10 cm,另一根长12 cm,将它们一端重合且放在同一条直线上,此时两根木条的中点之间的距离为().

A.1 cm
B.11 cm
C.1 cm 或 11 cm
D.2 cm 或 11 cm

2.C [解析]如图,设较长的木条为 $AB=12\ \mathrm{cm}$,较短的木条为 $BC=10\ \mathrm{cm}$.
$\because M,N$ 分别为 $AB,BC$ 的中点,
$\therefore BM=6\ \mathrm{cm},BN=5\ \mathrm{cm}.$
①如图(1),当线段 $BC$ 不在线段 $AB$ 上时,$MN=BM+BN=6+5=11(\mathrm{cm})$;
②如图(2),当线段 $BC$ 在线段 $AB$ 上时,$MN=BM-BN=6-5=1(\mathrm{cm}).$
综上所述,两根木条的中点间的距离是 $1\ \mathrm{cm}$ 或 $11\ \mathrm{cm}.$
故选 C.

【分析】
本题需运用分类讨论思想，两根木条一端重合且在同一直线上时，存在两种位置情况：一是两根木条在重合端点的两侧（无重叠），二是短木条在长木条内部（有重叠）。先确定两根木条中点到重合端点的距离，再根据线段的和差关系计算中点间的距离，需注意区分两种情况，避免漏解。
【解析】
设较长木条长度为$ AB = 12\ \mathrm{cm} $，较短木条长度为$ BC = 10\ \mathrm{cm} $，点$ M $是$ AB $的中点，点$ N $是$ BC $的中点。
根据线段中点的定义，可得：
$ BM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 12 = 6\ \mathrm{cm} $，
$ BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 10 = 5\ \mathrm{cm} $。
分两种情况讨论：
① 当线段$ BC $不在线段$ AB $上时（两根木条在重合端点两侧），中点间的距离$ MN = BM + BN = 6 + 5 = 11\ \mathrm{cm} $；
② 当线段$ BC $在线段$ AB $上时（短木条在长木条内部），中点间的距离$ MN = BM - BN = 6 - 5 = 1\ \mathrm{cm} $。
综上，两根木条的中点之间的距离为$ 1\ \mathrm{cm} $或$ 11\ \mathrm{cm} $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点、分类讨论思想、线段和差
【点评】
本题结合实际问题考查线段中点的计算，核心是通过分类讨论明确两根木条的位置关系，利用线段和差求解，易因漏解一种情况出错，体现了数学分类思想的应用。
【难度系数】
0.5

3. (2025·苏州昆山期末改编)如图,点 C,D 在线段 AB上,点 C 为 AB 中点,若 $AC=5\ \mathrm{cm},BD=$$2\ \mathrm{cm}$,则 $CD=$ cm.

3.3

【分析】要计算线段CD的长度，首先利用点C是AB中点的性质求出CB的长度，再结合已知的BD长度，通过线段的和差关系即可算出CD的长度。
【解析】
∵点C为AB中点，根据线段中点的定义，可得AC=CB。已知AC=5 cm，因此CB=5 cm。又已知BD=2 cm，且线段CB由CD和BD组成，即CD + BD = CB，所以CD=CB - BD=5 - 2=3 cm。
【答案】3
【知识点】线段中点，线段和差
【点评】本题考查线段中点的性质与线段和差的计算，属于基础题型，只要掌握线段中点的定义和线段间的和差关系就能轻松解答。
【难度系数】0.8

4. 已知线段 $AB=2\ \mathrm{cm}$，延长 $AB$ 到点 $C$，使$BC=4\ \mathrm{cm}$，若点 $D$ 为 $AB$ 的中点，则线段$DC=\underline{\qquad}.$

4.5 cm [解析]根据题意,画出图形如图所示:

$\because AB=2\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm},$
$\therefore DC=DB+BC=\dfrac{1}{2}AB+BC=\dfrac{1}{2}×2+4=5(\mathrm{cm}).$
归纳总结 本题考查的是两点间距离,熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键.

1

5. 教材P161习题T6·变式 如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，$AD=20\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$。
(1)写出图中所有线段；
(2)求AB的长。

5. (1)图中线段有 $AC,AB,AD,CB,CD,BD.$
(2)$\because AD=20\ \mathrm{cm},AC=12\ \mathrm{cm},$
$\therefore CD=AD-AC=20-12=8(\mathrm{cm}).$
$\because$ 点 $B$ 为 $CD$ 的中点,$CB=\dfrac{1}{2}CD=4\ \mathrm{cm},$
$\therefore AB=AC+CB=12+4=16(\mathrm{cm}).$

【分析】
第(1)问：要找出图中所有线段，需依据线段的定义，线段是两点间的直线部分，图中有A、C、B、D四个点，按两点组合的方式依次列举，避免重复或遗漏；第(2)问求AB的长，先利用线段和差计算CD的长度，再根据点B是CD中点求出CB的长度，最后通过AC与CB的和得到AB的长度。
【解析】
(1) 图中的点为A、C、B、D，所有线段为：AC、AB、AD、CB、CD、BD。
(2) 已知AD=20cm，AC=12cm，根据线段的和差关系：
CD = AD - AC = 20 - 12 = 8(cm)。
因为点B为CD的中点，根据线段中点的性质，中点将线段分为相等的两段，所以：
CB = ½ CD = ½ ×8 = 4(cm)。
因此AB = AC + CB =12 +4=16(cm)。
【答案】
(1) AC、AB、AD、CB、CD、BD；
(2) 16cm。
【知识点】线段的计数，线段的中点，线段的和差
【点评】本题是线段相关的基础题型，考查线段的识别及利用中点性质计算线段长度，解题步骤清晰，难度较低，适合巩固线段的基础知识点。
【难度系数】0.7

6. (2025·浙江杭州滨江区期末)已知点 $A,B,C$ 是直线 $l$ 上互不重合的三个点,设 $AB=3a,AC=na+2$,$BC=a+6$,其中 $n$ 是自然数,$a$ 是正数,().

A.若 $n=2$,则点 $C$ 在点 $A,B$ 之间
B.若 $n=4$,则点 $A$ 在点 $B,C$ 之间
C.若 $n=2$,则点 $B$ 在点 $A,C$ 之间
D.若 $n=4$,则点 $B$ 在点 $A,C$ 之间

6.B [解析]A. 当 $n=2$ 时,$AC=2a+2$,
$\because AC+BC=2a+2+a+6=3a+8＞AB=3a,$
$\therefore$ 点 $C$ 不在点 $A,B$ 之间,故选项 A 错误;
当 $AC+BC=AB$ 时,点 $C$ 在点 $A,B$ 之间
B. 当 $n=4$ 时,$AC=4a+2$,
$\because AB+AC=3a+4a+2=7a+2,BC=a+6,$
取正数 $a=\dfrac{2}{3}$,则 $7a+2=\dfrac{20}{3},a+6=\dfrac{20}{3},$
$\therefore 7a+2=a+6,$
$\therefore$ 点 $A$ 在点 $B,C$ 之间,故选项 B 正确;
C. 当 $n=2$ 时,$AC=2a+2$,
$\because AB+BC=3a+a+6=4a+6＞AC=2a+2,$
$\therefore$ 点 $B$ 不在点 $A,C$ 之间,故选项 C 错误;
D. 当 $n=4$ 时,$AC=4a+2$,
$\because AB+BC=3a+a+6=4a+6＞AC=4a+2,$
$\therefore$ 点 $B$ 不在点 $A,C$ 之间,故选项 D 错误. 故选 B.

【分析】
要判断直线上三点的位置关系，核心依据是：若某点在另外两点之间，则该点到这两点的距离之和等于这两点间的距离。解题时需先根据给定的n值计算AC的长度，再分别对每个选项，验证对应线段和是否满足中间点的条件，从而判断点的位置。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：当n=2时，AC=2a+2。计算AC+BC=2a+2 + (a+6)=3a+8，而AB=3a，显然3a+8＞3a，即AC+BC＞AB，说明点C不在A、B之间，故A错误。
2. 选项B：当n=4时，AC=4a+2。若点A在B、C之间，则需满足AB+AC=BC。代入得：3a + (4a+2)=7a+2，令7a+2=a+6，解得a=2/3（a为正数，符合条件），此时AB+AC=BC，说明点A在B、C之间，故B正确。
3. 选项C：当n=2时，AC=2a+2。若点B在A、C之间，则需满足AB+BC=AC。计算AB+BC=3a + (a+6)=4a+6，AC=2a+2，两者差值为(4a+6)-(2a+2)=2a+4，因a是正数，故差值＞0，即AB+BC＞AC，说明点B不在A、C之间，故C错误。
4. 选项D：当n=4时，AC=4a+2。若点B在A、C之间，则需满足AB+BC=AC。计算AB+BC=3a + (a+6)=4a+6，AC=4a+2，两者差值为(4a+6)-(4a+2)=4＞0，即AB+BC＞AC，说明点B不在A、C之间，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
直线上的点与线段位置关系、线段长度计算
【点评】
本题考查直线上三点位置关系的判断，关键是利用“中间点到两端点的距离和等于两端点间距离”的性质，需结合自然数n和正数a的条件分情况验证，计算时要准确区分各线段的对应关系，避免混淆点的位置。
【难度系数】
0.5

7. 如图,点$C$是线段$AB$上一点,点$M,N,P$分别是线段$AC,BC,AB$的中点.若$AC=3\ \mathrm{cm}$,$CP=1\ \mathrm{cm}$,则线段$PN=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.

7.$\dfrac{3}{2}$ [解析]由题意知,$AP=AC+CP=4\ \mathrm{cm}.$
$\because P$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore AB=2AP=8\ \mathrm{cm}.$
$\because AC=3\ \mathrm{cm},\therefore BC=AB-AC=5\ \mathrm{cm}.$
$\because N$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore CN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{5}{2}\ \mathrm{cm},$
$\therefore PN=CN-CP=\dfrac{3}{2}\ \mathrm{cm}.$
归纳总结 本题考查的是两点间距离的计算,掌握线段的中点的性质,灵活运用数形结合思想是解题的关键.

【分析】
要计算线段PN的长度，需结合线段中点的性质和线段的和差关系逐步推导：首先根据已知的AC和CP求出AP的长度，再利用P是AB中点的性质算出AB的长度；接着求出BC的长度，再由N是BC中点得到CN的长度；最后根据点的位置关系，用CN减去CP即可得到PN的长度。
【解析】
1. 计算AP的长度：已知$AC=3\ \mathrm{cm}$，$CP=1\ \mathrm{cm}$，所以$AP = AC + CP = 3 + 1 = 4\ \mathrm{cm}$。
2. 利用P是AB中点，得$AB = 2AP = 2×4 = 8\ \mathrm{cm}$。
3. 计算BC的长度：$BC = AB - AC = 8 - 3 = 5\ \mathrm{cm}$。
4. 因为N是BC的中点，所以$CN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×5 = \frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
5. 计算PN的长度：由点的位置可知，$PN = CN - CP = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
线段中点性质、两点间距离计算
【点评】
本题主要考查线段中点的性质及线段和差的计算，解题时需结合图形明确各点的位置关系，运用数形结合思想逐步推导，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

8. 分类讨论思想 如图,直线$l$上线段$AB=6$,线段$CD=2$(点$A$在点$B$的左侧,点$C$在点$D$的左侧),若线段$CD$的端点$C$从点$B$开始以1个单位长度/秒的速度向右运动,同时点$M$从点$A$开始以2个单位长度/秒的速度向右运动,点$N$是线段$BD$的中点,则线段$CD$运动秒时,$MN=2DN$.

8.2 或 18 [解析]设线段 $CD$ 运动的时间为 $t$ 秒,则 $AM=2t,BC=t,BD=BC+CD=t+2,AD=AB+BD=6+t+2=t+8.$
$\because$ 点 $N$ 是线段 $BD$ 的中点,
$\therefore BN=ND=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}(t+2)=\dfrac{1}{2}t+1.$
①当点 $M$ 在点 $N$ 左侧时,
$MN=AD-AM-ND=(t+8)-2t-(\dfrac{1}{2}t+1)=7-\dfrac{3}{2}t,2DN=BD=t+2.$
$\because MN=2DN,\therefore 7-\dfrac{3}{2}t=t+2,$ 解得 $t=2.$
②当 $M$ 点在 $N$ 点右侧时,
$MN=AM-AB-BN=2t-6-(\dfrac{1}{2}t+1)=\dfrac{3}{2}t-7,2DN=BD=t+2.$
$\because MN=2DN,\therefore \dfrac{3}{2}t-7=t+2,$ 解得 $t=18.$
综上所述,线段 $CD$ 运动 2 秒或 18 秒时,$MN=2DN.$
易错警示 本题主要考查了线段的中点,线段的和、差,直线上的动点问题,解题的关键是正确地把各条线段用含有 $t$ 的式子表示出来,并且注意分类讨论.

【分析】
首先设线段CD运动的时间为$t$秒，根据点的运动速度和方向，用含$t$的式子表示相关线段长度；由于点$M$和点$N$的位置随时间变化，需分两种情况讨论：点$M$在点$N$左侧、点$M$在点$N$右侧，分别表示出$MN$和$DN$的长度，再根据$MN=2DN$列方程求解。
【解析】
设线段$CD$运动的时间为$t$秒，
则$AM=2t$，$BC=t$，
已知$AB=6$，$CD=2$，因此$BD=BC+CD=t+2$，$AD=AB+BD=6+t+2=t+8$。
∵点$N$是线段$BD$的中点，
∴$DN=BN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(t+2)=\frac{1}{2}t+1$，$2DN=BD=t+2$。
①当点$M$在点$N$左侧时，
$MN=AD-AM-DN=(t+8)-2t-(\frac{1}{2}t+1)=7-\frac{3}{2}t$，
由$MN=2DN$得：$7-\frac{3}{2}t=t+2$，
解得$t=2$。
②当点$M$在点$N$右侧时，
$MN=AM-AB-BN=2t-6-(\frac{1}{2}t+1)=\frac{3}{2}t-7$，
由$MN=2DN$得：$\frac{3}{2}t-7=t+2$，
解得$t=18$。
综上，线段$CD$运动2秒或18秒时，$MN=2DN$。
【答案】
2或18
【知识点】
线段中点、动点问题、分类讨论思想
【点评】
本题结合线段中点考查直线上的动点问题，需通过分类讨论点的位置关系，正确用含时间的式子表示各线段长度，体现了分类讨论的数学思想，解题关键是理清点的位置变化与线段长度的关系。
【难度系数】
0.5

9. 已知点 $A , B , C$ 在同一条直线上，且 $AB = 7\ \mathrm{cm}, BC = 4\ \mathrm{cm}.$ 若 $D$ 是线段 $AC$ 的中点，请画出图形并求 $AD$ 的长.
精题详解

9. 有两种情况:
①如图(1),当点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上时,
题中条件仅给出了线段长度,无法确定点 $C$ 的具体位置,因此需分类讨论

$AD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×(7+4)=5.5(\mathrm{cm});$
②如图(2),当点 $C$ 在线段 $AB$ 上时,

$AD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×(7-4)=1.5(\mathrm{cm}).$
故 $AD$ 的长为 $5.5\ \mathrm{cm}$ 或 $1.5\ \mathrm{cm}.$

【分析】
要解决这个问题，首先注意到点A、B、C在同一直线上，但题目未明确点C的位置，因此需要分两种情况讨论：点C在线段AB的延长线上，或点C在线段AB上。先根据线段的和差求出AC的长度，再利用D是AC中点的性质（即AD=1/2AC）计算AD的长度，即可得到两种情况下AD的结果。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB的延长线上时，如图(1)：
此时AC = AB + BC = 7 + 4 = 11(cm)，
因为D是线段AC的中点，所以AD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×11 = 5.5(cm)；
② 当点C在线段AB上时，如图(2)：
此时AC = AB - BC = 7 - 4 = 3(cm)，
因为D是线段AC的中点，所以AD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×3 = 1.5(cm)。
综上，AD的长为5.5 cm或1.5 cm。
【答案】
有两种情况:
①如图(1),当点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上时,

$AD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×(7+4)=5.5(\mathrm{cm});$
②如图(2),当点 $C$ 在线段 $AB$ 上时,

$AD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×(7-4)=1.5(\mathrm{cm}).$
故 $AD$ 的长为 $5.5\ \mathrm{cm}$ 或 $1.5\ \mathrm{cm}.$
【知识点】
线段中点、线段和差、分类讨论
【点评】
本题考查线段的计算，核心是根据点的位置进行分类讨论，避免漏解，需熟练运用线段中点的性质及线段和差的计算方法。
【难度系数】
0.5