10. 如图,已知线段 $AC=12\ \mathrm{cm}$,点 $B$ 在线段 $AC$ 上,满足 $BC=\dfrac{1}{2}AB$.
(1)求 $AB$ 的长;
(2)若点 $D$ 是 $AB$ 的中点,点 $E$ 是 $AC$ 的中点,求线段 $DE$ 的长.

10. (1)$\because BC=\dfrac{1}{2}AB,AC=12\ \mathrm{cm},\therefore BC=\dfrac{1}{3}AC=4\ \mathrm{cm},$
$\therefore AB=AC-BC=12-4=8(\mathrm{cm}).$
(2)$\because$ 点 $D$ 是 $AB$ 的中点,$AB=8\ \mathrm{cm},$
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}.$
$\because$ 点 $E$ 是 $AC$ 的中点,$AC=12\ \mathrm{cm},$
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AC=6\ \mathrm{cm},\therefore DE=AE-AD=6-4=2(\mathrm{cm}).$
归纳总结 本题考查两点间的距离、线段的和、差及倍数关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

【分析】
第(1)问，已知BC与AB的数量关系，结合AC由AB和BC组成，可将AC转化为AB的表达式，进而求出AB的长度；第(2)问，利用线段中点的性质分别求出AD和AE的长度，再根据线段的差计算DE的长度。
【解析】
(1) 由题意知，$BC=\dfrac{1}{2}AB$，且$AC=AB+BC$，因此$AC=AB+\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3}{2}AB$。
已知$AC=12\ \mathrm{cm}$，代入得$\dfrac{3}{2}AB=12$，解得$AB=12×\dfrac{2}{3}=8\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为点$D$是$AB$的中点，$AB=8\ \mathrm{cm}$，所以$AD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$；
又因为点$E$是$AC$的中点，$AC=12\ \mathrm{cm}$，所以$AE=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$；
观察线段位置可知$DE=AE-AD$，因此$DE=6-4=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $AB$的长为$8\ \mathrm{cm}$；(2) 线段$DE$的长为$2\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段的和差、线段中点的性质
【点评】
本题考查线段的和差关系及中点的基本性质，解题关键是理清各线段间的数量关系，利用已知条件逐步推导，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.3

11. 数形结合思想 (2025·福建厦门思明区期末)如图,C 是线段 AB 的中点.
(1)若点 D 在线段 CB 上,且 $DB=1.5\ \mathrm{cm}$, $AD=6.5\ \mathrm{cm}$,求线段 CD 的长度;
(2)若将(1)中的“点 D 在线段 CB 上”改为“点 D 在 CB 的延长线上”,其他条件不变,请画出相应的示意图,并求出此时线段 CD 的长度.

11. (1)$AB=AD+BD=6.5+1.5=8(\mathrm{cm}).$
$\because C$ 是线段 $AB$ 的中点,
$\therefore CB=\dfrac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm},$
$\therefore CD=CB-BD=4-1.5=2.5(\mathrm{cm}).$
(2)示意图如图所示:

$\because AB=AD-BD=6.5-1.5=5\ \mathrm{cm},$
$\therefore CB=\dfrac{1}{2}AB=2.5\ \mathrm{cm},\therefore CD=CB+BD=4\ \mathrm{cm}.$

【分析】
要解决这道题，需利用线段中点的性质和线段长度的和差关系。第(1)问先通过AD与DB的长度和求出AB，再结合中点性质得到CB，最后用CB减去DB得到CD；第(2)问点D在CB延长线上，需先通过AD与DB的差求出AB，再利用中点性质得CB，最后用CB加DB得到CD，同时要画出对应示意图。
【解析】
(1) 已知$AD=6.5\ \mathrm{cm}$，$DB=1.5\ \mathrm{cm}$，根据线段和的关系：
$AB = AD + DB = 6.5 + 1.5 = 8(\mathrm{cm})$。
因为C是线段AB的中点，所以：
$CB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$。
又点D在线段CB上，因此：
$CD = CB - DB = 4 - 1.5 = 2.5(\mathrm{cm})$。
(2) 画出示意图：
已知$AD=6.5\ \mathrm{cm}$，$DB=1.5\ \mathrm{cm}$，点D在CB的延长线上，根据线段差的关系：
$AB = AD - DB = 6.5 - 1.5 = 5(\mathrm{cm})$。
因为C是线段AB的中点，所以：
$CB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×5=2.5(\mathrm{cm})$。
此时$CD = CB + BD = 2.5 + 1.5 = 4(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $CD$的长度为$2.5\ \mathrm{cm}$；(2) 示意图如图所示，$CD$的长度为$4\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段中点性质、线段长度计算
【点评】
本题考查数形结合思想与线段中点的应用，第(2)问需注意分情况讨论点的位置，整体侧重基础知识点的掌握，难度适中。
【难度系数】
0.6

12. (2025·辽宁沈阳铁西区期中)(1)如图,点 C 在线段$AB$上,点 $M$ 在线段 $AC$ 上,点 $N$ 在线段$BC$上.
①已知 $AC=13,CB=8$,若点 $M,N$ 分别是$AC,BC$ 的中点,求线段 $MN$ 的长；
②已知 $AC=13,CB=8$,若点 $M$ 是 $AC$ 的中点,$BN=\dfrac{3}{4}BC$,求线段 $MN$ 的长；
③已知 $AC=a,CB=b$,若 $AM=\dfrac{2}{3}AC$,$BN=\dfrac{1}{3}BC$,请直接写出线段 $MN$ 的长(用含$a,b$的式子表示).
(2)若点 $C$ 在直线 $AB$ 上,(1)中其他条件不变,已知 $AC=a,CB=\dfrac{3}{5}a$,$5AM=3CM$,$3BN=2CN$,请直接写出线段 $MN$ 的长.

精题详解

12. (1)①$\because$ 点 $M,N$ 分别是 $AC,BC$ 的中点,
$\therefore CM=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×13=6.5,CN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×8=4,$
$\therefore MN=CM+CN=6.5+4=10.5;$
②$\because$ 点 $M$ 是 $AC$ 的中点,$BN=\dfrac{3}{4}BC$
$\therefore CM=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×13=6.5,CN=\dfrac{1}{4}BC=\dfrac{1}{4}×8=2,$
$\therefore MN=CM+CN=6.5+2=8.5;$
③$\because AM=\dfrac{2}{3}AC,BN=\dfrac{1}{3}BC,$
$\therefore CM=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{1}{3}a,CN=\dfrac{2}{3}BC=\dfrac{2}{3}b,$
$\therefore MN=CM+CN=\dfrac{1}{3}a+\dfrac{2}{3}b.$
(2)$\because 5AM=3CM,3BN=2CN,$
$\therefore CM=\dfrac{5}{8}AC=\dfrac{5}{8}a,CN=\dfrac{3}{5}BC=\dfrac{3}{5}×\dfrac{3}{5}a=\dfrac{9}{25}a,$
当点 $C$ 在线段 $AB$ 上时,
$MN=CM+CN=(\dfrac{5}{8}+\dfrac{9}{25})a=\dfrac{197}{200}a.$
当点 $B$ 在线段 $AC$ 上时,$MN=AC-AM-CN=a-\dfrac{3}{8}a-\dfrac{9}{25}a=(\dfrac{5}{8}-\dfrac{9}{25})a=\dfrac{53}{200}a.$ 综上所述,$MN$ 的长为 $\dfrac{197}{200}a$ 或 $\dfrac{53}{200}a.$

【分析】
本题围绕线段长度计算展开，核心是利用线段中点的性质、线段的比例关系拆分线段，结合线段的和差求解目标线段MN的长度；对于点在直线上的情况，需分点的位置进行分类讨论，避免漏解。
【解析】
(1) ① 因为点M、N分别是AC、BC的中点，根据线段中点定义：
$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×13=6.5$，$CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，
又点C在线段AB上，故$MN=CM+CN=6.5+4=10.5$；
② 因为点M是AC中点，所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×13=6.5$；
由$BN=\frac{3}{4}BC$，得$CN=BC-BN=\frac{1}{4}BC=\frac{1}{4}×8=2$，
因此$MN=CM+CN=6.5+2=8.5$；
③ 由$AM=\frac{2}{3}AC$，得$CM=AC-AM=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}a$；
由$BN=\frac{1}{3}BC$，得$CN=BC-BN=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}b$，
故$MN=CM+CN=\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b$；
(2) 由$5AM=3CM$，得$CM=\frac{5}{8}AC=\frac{5}{8}a$；
由$3BN=2CN$，得$CN=\frac{3}{5}BC=\frac{3}{5}×\frac{3}{5}a=\frac{9}{25}a$；
分两种情况：
当点C在线段AB上时，$MN=CM+CN=\frac{5}{8}a+\frac{9}{25}a=\frac{197}{200}a$；
当点B在线段AC上时，$MN=AC-AM-CN=a-\frac{3}{8}a-\frac{9}{25}a=\frac{53}{200}a$；
综上，MN的长为$\frac{197}{200}a$或$\frac{53}{200}a$；
【答案】
(1)①10.5；②8.5；③$\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b$；(2)$\frac{197}{200}a$或$\frac{53}{200}a$
【知识点】
线段的和差、线段中点、比例线段
【点评】
本题是线段计算的典型题型，既考查线段中点、比例关系的应用，又通过分类讨论渗透数学严谨性，需熟练掌握线段拆分与和差运算，避免漏解。
【难度系数】
0.6