1. 如图,点 $C$ 为线段 $AB$ 的中点, $D,E$ 分别为线段 $AC,BC$ 上的一点, 且 $AD+BE=m,AE+BD=\dfrac{7}{3}m$, 若分别用含 $m$ 的代数式来表示 $DE$ 与 $CB$ 的长,则 $DE=$,$CB=$.

$\because AE+BD=\dfrac{7}{3}m$,
$\therefore AD+BE+2DE=\dfrac{7}{3}m.\because AD+BE=m$,
$\therefore 2DE=\dfrac{7}{3}m-m=\dfrac{4}{3}m$,即 $DE=\dfrac{2}{3}m$,
$\therefore AB=AD+BE+DE=m+\dfrac{2}{3}m=\dfrac{5}{3}m$.
$\because$ 点 $C$ 为线段 $AB$ 的中点,
$\therefore CB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{5}{6}m$.

【分析】
要解决这个问题，核心是利用线段的和差关系转化已知条件，先求出DE的长度，再结合线段中点的性质计算CB。首先，观察线段AE和BD的组成：AE由AD和DE构成，BD由BE和DE构成，因此可将AE+BD转化为包含AD+BE和DE的式子，代入已知条件算出DE；再求出AB的长度，最后利用点C是AB中点的性质，得到CB为AB的一半，从而完成求解。
【解析】
1. 转化线段和差关系：因为 $ AE = AD + DE $，$ BD = BE + DE $，所以 $ AE + BD = (AD + DE) + (BE + DE) = (AD + BE) + 2DE $。
2. 计算DE的长度：已知 $ AD + BE = m $，$ AE + BD = \dfrac{7}{3}m $，代入上式得：$ \dfrac{7}{3}m = m + 2DE $，解得 $ 2DE = \dfrac{7}{3}m - m = \dfrac{4}{3}m $，即 $ DE = \dfrac{2}{3}m $。
3. 计算AB的长度：$ AB = AD + BE + DE = m + \dfrac{2}{3}m = \dfrac{5}{3}m $。
4. 计算CB的长度：因为点C是线段AB的中点，所以 $ CB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2} × \dfrac{5}{3}m = \dfrac{5}{6}m $。
【答案】
$\dfrac{2}{3}m$；$\dfrac{5}{6}m$
【知识点】
线段和差；线段中点性质
【点评】
本题是线段计算的基础题型，主要考查线段和差运算与中点性质的应用，解题关键是通过线段组成关系转化已知等式，逐步推导求解，难度适中。
【难度系数】
0.6

2. 如图,点$C$分线段$AB$为$5:7$,点$D$分线段$AB$为$5:11$,若$CD=10\ \mathrm{cm}$,求$AB$的长.

$\because$ 点 $C$ 分线段 $AB$ 为 $5:7$,点 $D$ 分线段 $AB$ 为 $5:11$,
$\therefore AC=\dfrac{5}{12}AB,AD=\dfrac{5}{16}AB,\therefore CD=AC-AD=\dfrac{5}{12}AB-\dfrac{5}{16}AB=\dfrac{5}{48}AB$.
又 $CD=10\ \mathrm{cm},\therefore AB=96\ \mathrm{cm}$.

【分析】要计算AB的长度，需先根据点分线段的比例，求出AC和AD分别占AB的分率，再结合线段CD与AC、AD的差的关系，利用已知CD的长度求解。首先，点C分AB为5:7，总份数为5+7=12，故AC占AB的$\frac{5}{12}$；点D分AB为5:11，总份数为5+11=16，故AD占AB的$\frac{5}{16}$；由图可知CD=AC-AD，据此可建立方程计算AB。
【解析】因为点C分线段AB为5:7，所以$AC=\frac{5}{5+7}AB=\frac{5}{12}AB$；点D分线段AB为5:11，所以$AD=\frac{5}{5+11}AB=\frac{5}{16}AB$。由线段关系得$CD=AC-AD$，代入得：$CD=\frac{5}{12}AB-\frac{5}{16}AB=\frac{20-15}{48}AB=\frac{5}{48}AB$。已知$CD=10\ \mathrm{cm}$，因此$\frac{5}{48}AB=10$，解得$AB=10×\frac{48}{5}=96\ \mathrm{cm}$。
【答案】96 cm
【知识点】线段比例、线段和差计算
【点评】本题利用线段分点的比例关系求解线段长度，核心是明确各分点对应的线段占比，属于几何基础题，考查学生对线段比例的理解与应用能力。
【难度系数】0.6

3. 如图,已知线段 $AB=8\ \mathrm{cm}$,点 $C$ 是线段 $AB$ 上一点,$AC=3\ \mathrm{cm}$,$M$ 是 $AB$ 的中点,$N$ 是$AC$ 的中点.
(1)求线段 $CM$ 的长;
(2)求线段 $MN$ 的长.

(1)$\because AB=8\ \mathrm{cm}$,$M$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore AM=\dfrac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$.
$\because AC=3\ \mathrm{cm},\therefore CM=AM-AC=4-3=1(\mathrm{cm})$.
(2)$\because AB=8\ \mathrm{cm}$,$AC=3\ \mathrm{cm}$,$M$ 是 $AB$ 的中点,$N$ 是 $AC$ 的中点,$\therefore AM=\dfrac{1}{2}AB=4(\mathrm{cm})$,$AN=\dfrac{1}{2}AC=1.5(\mathrm{cm})$,
$\therefore MN=AM-AN=4-1.5=2.5(\mathrm{cm})$.

【分析】
本题是线段长度计算问题，解题思路是利用线段中点的定义先求出相关线段的长度，再根据线段的和差关系计算目标线段长度。第(1)问，先由M是AB中点算出AM，再用AM减去AC得到CM；第(2)问，先算出AM和AN，再用AM减去AN得到MN。
【解析】
(1) 已知$AB=8\ \mathrm{cm}$，$M$是$AB$的中点，根据线段中点定义，得$AM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。又$AC=3\ \mathrm{cm}$，点$C$在线段$AB$上，因此$CM=AM-AC=4-3=1\ \mathrm{cm}$。
(2) 由$M$是$AB$中点，得$AM=4\ \mathrm{cm}$；$N$是$AC$的中点，得$AN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$。因此$MN=AM-AN=4-1.5=2.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$1\ \mathrm{cm}$；(2)$2.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点、线段和差计算
【点评】
本题考查线段中点性质及线段长度的和差计算，属于基础题型，解题关键是熟练运用线段中点定义，理清各线段间的关系。
【难度系数】
0.5

4. 方程思想 如图，A，B，C，D 四点在同一直线上.
(1) 若 $AB = CD$.
① 比较线段的大小：$AC$ $BD$（填“$＞$”“$=$”或“$＜$”）；
② 若 $BC = \dfrac{3}{4}AC$，且 $AC = 12\ \mathrm{cm}$，则 $AD$ 的长为 $\mathrm{cm}$.
(2) 若线段 $AD$ 被点 $B$，$C$ 分成了 $3:4:5$ 三部分，且 $AB$ 的中点 $M$ 和 $CD$ 的中点 $N$ 之间的距离是 $16\ \mathrm{cm}$，求 $AD$ 的长.

(1)① $\because AB=CD$,
$\therefore AB+BC=CD+BC$,即 $AC=BD$.
② $\because BC=\dfrac{3}{4}AC$,且 $AC=12\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BC=\dfrac{3}{4}×12=9(\mathrm{cm})$,
$\therefore AB=CD=AC-BC=12-9=3(\mathrm{cm})$,
$\therefore AD=AC+CD=12+3=15(\mathrm{cm})$.
(2)如图所示，
根据题意,可设 $AB=3x\ \mathrm{cm}$,$BC=4x\ \mathrm{cm}$,$CD=5x\ \mathrm{cm}$,$AD=12x\ \mathrm{cm}$.
$\because M$ 是 $AB$ 的中点,$N$ 是 $CD$ 的中点,
$\therefore AM=BM=\dfrac{3}{2}x\ \mathrm{cm}$,$CN=DN=\dfrac{5}{2}x\ \mathrm{cm}$.
又 $MN=16\ \mathrm{cm},\therefore \dfrac{3}{2}x+4x+\dfrac{5}{2}x=16$,解得 $x=2$,
由 $MN=BM+BC+CN$ 可得
$\therefore AD=12x=24\ \mathrm{cm}$.

【分析】
本题是同一直线上线段长度的计算问题，需运用等式性质、线段中点性质及方程思想解题。对于（1）①，利用等式两边加相同线段和相等的性质比较线段；（1）②先根据已知关系求BC，再结合线段和差计算AD；（2）通过设未知数表示各段线段，利用中点性质和MN的长度列方程求解AD。
【解析】
(1) ① 已知 $ AB = CD $，根据等式的性质，在等式两边同时加上线段 $ BC $，可得：
$ AB + BC = CD + BC $，
而 $ AB + BC = AC $，$ CD + BC = BD $，因此 $ AC = BD $；
② 已知 $ BC = \dfrac{3}{4}AC $，且 $ AC = 12\ \mathrm{cm} $，则：
$ BC = \dfrac{3}{4} × 12 = 9\ \mathrm{cm} $，
所以 $ AB = AC - BC = 12 - 9 = 3\ \mathrm{cm} $，
又因为 $ AB = CD $，故 $ CD = 3\ \mathrm{cm} $，
因此 $ AD = AC + CD = 12 + 3 = 15\ \mathrm{cm} $；
(2) 设 $ AB = 3x\ \mathrm{cm} $，$ BC = 4x\ \mathrm{cm} $，$ CD = 5x\ \mathrm{cm} $，则 $ AD = AB + BC + CD = 12x\ \mathrm{cm} $。
因为 $ M $ 是 $ AB $ 的中点，所以 $ BM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{3}{2}x\ \mathrm{cm} $；
因为 $ N $ 是 $ CD $ 的中点，所以 $ CN = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{5}{2}x\ \mathrm{cm} $。
由 $ MN = BM + BC + CN = 16\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ \dfrac{3}{2}x + 4x + \dfrac{5}{2}x = 16 $，
合并同类项得 $ 8x = 16 $，解得 $ x = 2 $，
所以 $ AD = 12x = 12 × 2 = 24\ \mathrm{cm} $。
【答案】
(1) ① $ = $；② $ 15 $；(2) $ 24\ \mathrm{cm} $
【知识点】
线段的和差、线段中点、方程思想
【点评】
本题结合线段的和差、中点性质，通过方程思想解决线段长度计算问题，需理清线段间的关系，合理设未知数列方程，难度适中。
【难度系数】
0.5

5. 分类讨论思想 已知线段 $AB=8\ \mathrm{cm}$, 在直线 $AB$ 上画线段 $BC=3\ \mathrm{cm}$, 求 $AC$ 的长.

由 $AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,得
当点 $C$ 在线段 $AB$ 上时,$AC=AB-BC=8-3=5(\mathrm{cm})$;
当点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上时,$AC=AB+BC=8+3=11(\mathrm{cm})$.
故 $AC$ 的长为 $5\ \mathrm{cm}$ 或 $11\ \mathrm{cm}$.

【分析】
题目中是在直线AB上画线段BC，直线没有端点，因此点C的位置存在两种情况：点C在线段AB上，或点C在线段AB的延长线上。由于两种位置下AC的计算方式不同，需通过分类讨论分别计算，才能得到完整的结果。
【解析】
分两种情况计算AC的长度：
1. 当点C在线段AB上时，根据线段的和差关系，AC = AB - BC。将AB=8cm，BC=3cm代入，得AC = 8 - 3 = 5(cm)；
2. 当点C在线段AB的延长线上时，根据线段的和差关系，AC = AB + BC。将AB=8cm，BC=3cm代入，得AC = 8 + 3 = 11(cm)。
【答案】
AC的长为5cm或11cm
【知识点】
线段的和差、分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心考查分类讨论思想，需注意直线与线段的区别，避免因忽略点C的位置多样性而漏解，是培养分类思维的典型题目。
【难度系数】
0.6