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1. (2025·广西梧州苍梧期末)如图,下列表示角的说法,错误的是(
A.$∠ AOC$也可用$∠ O$表示
B.$∠ 1$与$∠ AOB$表示同一个角
C.$∠ β$表示的是$∠ BOC$
D.$∠ AOB$和$∠ BOC$都不能用$∠ O$表示
A
).A.$∠ AOC$也可用$∠ O$表示
B.$∠ 1$与$∠ AOB$表示同一个角
C.$∠ β$表示的是$∠ BOC$
D.$∠ AOB$和$∠ BOC$都不能用$∠ O$表示
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确角的表示规则：当角的顶点处只有1个角时，可用顶点处的单个大写字母表示角；若顶点处有多个角，则不能仅用顶点字母表示，需用三个大写字母、数字或希腊字母表示。接下来逐一分析选项，找出错误说法。
【解析】
根据角的表示规则，逐一分析选项：
选项A：顶点O处有∠1、∠β、∠AOC共3个角，因此∠AOC不能用∠O表示，该说法错误；
选项B：∠1的顶点为O，两边是OA、OB，与∠AOB表示同一个角，该说法正确；
选项C：∠β的顶点为O，两边是OB、OC，因此∠β表示∠BOC，该说法正确；
选项D：∠AOB和∠BOC的顶点O处均有多个角，都不能用∠O表示，该说法正确。
综上，错误的说法是A。
【答案】
A
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题考查角的表示方法，核心是掌握“顶点处有多个角时，不能仅用顶点字母表示角”的规则，属于基础题型，需注意单个顶点字母表示角的适用条件，避免混淆。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先明确角的表示规则：当角的顶点处只有1个角时，可用顶点处的单个大写字母表示角；若顶点处有多个角，则不能仅用顶点字母表示，需用三个大写字母、数字或希腊字母表示。接下来逐一分析选项，找出错误说法。
【解析】
根据角的表示规则，逐一分析选项：
选项A：顶点O处有∠1、∠β、∠AOC共3个角，因此∠AOC不能用∠O表示，该说法错误；
选项B：∠1的顶点为O，两边是OA、OB，与∠AOB表示同一个角，该说法正确；
选项C：∠β的顶点为O，两边是OB、OC，因此∠β表示∠BOC，该说法正确；
选项D：∠AOB和∠BOC的顶点O处均有多个角，都不能用∠O表示，该说法正确。
综上，错误的说法是A。
【答案】
A
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题考查角的表示方法，核心是掌握“顶点处有多个角时，不能仅用顶点字母表示角”的规则，属于基础题型，需注意单个顶点字母表示角的适用条件，避免混淆。
【难度系数】
0.6
2. (2024·南京秦淮区期末)用一副直角三角板,不能画出的角是(
A.$15^{\circ }$
B.$75^{\circ }$
C.$145^{\circ }$
D.$165^{\circ }$
C
).A.$15^{\circ }$
B.$75^{\circ }$
C.$145^{\circ }$
D.$165^{\circ }$
答案
2. C [解析]一副直角三角板的6个角的度数分别为$30°$,$60°$,$90°$,$45°$,$45°$,$90°$.
A. $\because45°-30°=15°$,$\therefore$用三角板能够画出$15°$的角,故此选项不符合题意;
B. $\because30°+45°=75°$,$\therefore$用三角板能够画出$75°$的角,故此选项不符合题意;
C. $\because90°+55°=45°+30°+70°=60°+45°+40°=145°$,$\therefore$用三角板不能画出$145°$的角,故此选项符合题意;
D. $\because90°+45°+30°=165°$,$\therefore$用三角板能够画出$165°$的角,故此选项不符合题意.
故选C.
A. $\because45°-30°=15°$,$\therefore$用三角板能够画出$15°$的角,故此选项不符合题意;
B. $\because30°+45°=75°$,$\therefore$用三角板能够画出$75°$的角,故此选项不符合题意;
C. $\because90°+55°=45°+30°+70°=60°+45°+40°=145°$,$\therefore$用三角板不能画出$145°$的角,故此选项符合题意;
D. $\because90°+45°+30°=165°$,$\therefore$用三角板能够画出$165°$的角,故此选项不符合题意.
故选C.
解析
【分析】要解决本题，首先需明确一副直角三角板的所有角度：30°、60°、90°、45°、45°、90°。用三角板画角的本质是利用这些角度的和或差得到目标角，因此只需判断每个选项的角度能否通过上述角度的加、减运算得到，即可确定答案。
【解析】一副直角三角板的角度为30°、60°、90°、45°、45°、90°。
A选项：因为45° - 30° = 15°，所以能画出15°的角，不符合题意；
B选项：因为30° + 45° = 75°，所以能画出75°的角，不符合题意；
C选项：通过三角板的角度进行和差组合，无法得到145°，符合题意；
D选项：因为90° + 45° + 30° = 165°，所以能画出165°的角，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】角的和差、三角板的角度应用
【点评】本题考查三角板画角的核心方法，即利用三角板角度的和差关系判断，属于基础几何题，需牢记三角板的各角度数。
【难度系数】0.6
【解析】一副直角三角板的角度为30°、60°、90°、45°、45°、90°。
A选项：因为45° - 30° = 15°，所以能画出15°的角，不符合题意；
B选项：因为30° + 45° = 75°，所以能画出75°的角，不符合题意；
C选项：通过三角板的角度进行和差组合，无法得到145°，符合题意；
D选项：因为90° + 45° + 30° = 165°，所以能画出165°的角，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】角的和差、三角板的角度应用
【点评】本题考查三角板画角的核心方法，即利用三角板角度的和差关系判断，属于基础几何题，需牢记三角板的各角度数。
【难度系数】0.6
3. 如图，$∠ 1$，$∠ 2$ 表示的角可分别用大写字母表示为
$∠ ABC$
，$∠ BCN$
；$∠ A$ 也可表示为$∠ BAC$
，还可以表示为$∠ MAN$（或$∠ MAC$ 或$∠ BAN$）
.答案
3. $∠ ABC$ $∠ BCN$ $∠ BAC$ $∠ MAN$（或$∠ MAC$ 或$∠ BAN$）
解析
【分析】
要解决本题，需明确角的表示规则：用三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在中间，另外两个字母分别对应角的两条边上的点；若顶点处只有一个角，也可用单个顶点字母表示。据此逐个分析每个角的表示形式即可。
【解析】
1. ∠1的顶点是点B，两条边的端点分别是A、C，根据三个大写字母表示角的规则，顶点B在中间，因此∠1可表示为∠ABC；
2. ∠2的顶点是点C，两条边的端点分别是B、N，同理，顶点C在中间，因此∠2可表示为∠BCN；
3. ∠A的顶点是点A，两条边的端点分别是B、C，用三个大写字母表示时顶点A在中间，可表示为∠BAC；此外，顶点A处的角还可结合其他端点表示，比如两条边延伸到M、N时，可表示为∠MAN，也可表示为∠MAC或∠BAN（只要中间字母为A，两边字母为角的两条边的端点即可）。
【答案】
∠ABC；∠BCN；∠BAC；∠MAN（或∠MAC或∠BAN）
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题考查角的表示，属于基础题，核心是掌握角的两种表示规则，需注意三个大写字母表示角时顶点字母的位置要求。
【难度系数】
0.2
要解决本题，需明确角的表示规则：用三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在中间，另外两个字母分别对应角的两条边上的点；若顶点处只有一个角，也可用单个顶点字母表示。据此逐个分析每个角的表示形式即可。
【解析】
1. ∠1的顶点是点B，两条边的端点分别是A、C，根据三个大写字母表示角的规则，顶点B在中间，因此∠1可表示为∠ABC；
2. ∠2的顶点是点C，两条边的端点分别是B、N，同理，顶点C在中间，因此∠2可表示为∠BCN；
3. ∠A的顶点是点A，两条边的端点分别是B、C，用三个大写字母表示时顶点A在中间，可表示为∠BAC；此外，顶点A处的角还可结合其他端点表示，比如两条边延伸到M、N时，可表示为∠MAN，也可表示为∠MAC或∠BAN（只要中间字母为A，两边字母为角的两条边的端点即可）。
【答案】
∠ABC；∠BCN；∠BAC；∠MAN（或∠MAC或∠BAN）
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题考查角的表示，属于基础题，核心是掌握角的两种表示规则，需注意三个大写字母表示角时顶点字母的位置要求。
【难度系数】
0.2
4. 比较大小：$32°15'$
$＞$
$32.15°$（填“$＞$”或“$＜$”）。答案
4. $＞$
解析
【分析】要比较两个角度的大小，需先统一单位，利用角度的进率（1°=60′）将带分的角度转化为以度为单位的形式，再通过数值大小比较得出结果。
【解析】因为1°=60′，所以15′换算为度是：15÷60=0.25°，因此32°15′=32°+0.25°=32.25°。由于32.25°＞32.15°，故32°15′＞32.15°。
【答案】＞
【知识点】度分秒换算、角度大小比较
【点评】本题考查角度单位换算与大小比较，属于基础题，核心是牢记度分秒的进率，将不同单位的角度统一后再比较即可。
【难度系数】0.7
【解析】因为1°=60′，所以15′换算为度是：15÷60=0.25°，因此32°15′=32°+0.25°=32.25°。由于32.25°＞32.15°，故32°15′＞32.15°。
【答案】＞
【知识点】度分秒换算、角度大小比较
【点评】本题考查角度单位换算与大小比较，属于基础题，核心是牢记度分秒的进率，将不同单位的角度统一后再比较即可。
【难度系数】0.7
5. 教材P164练习T3·变式 计算:(结果用度、分、秒表示)
(1)$23°30'45''+40°45'20''$;
(2)$180°-70°40'$.
(1)$23°30'45''+40°45'20''$;
(2)$180°-70°40'$.
答案
5. (1)$64°16'5''$ (2)$109°20'$
解析
【分析】
角度的加减运算遵循60进制规则，即1度=60分，1分=60秒。加法运算时，需将度、分、秒分别对应相加，某一单位结果满60则向高一级单位进1；减法运算时，若某一单位不够减，需向高一级单位借1（借1当60）后再计算。本题需分别完成两个角度的加法和减法运算，核心是准确处理进位与借位。
【解析】
(1) 计算$23°30'45''+40°45'20''$：
① 同单位相加：度相加$23°+40°=63°$，分相加$30'+45'=75'$，秒相加$45''+20''=65''$；
② 处理秒的进位：$65''=1'5''$，因此分变为$75'+1'=76'$；
③ 处理分的进位：$76'=1°16'$，因此度变为$63°+1°=64°$，剩余分$16'$、秒$5''$；
最终结果为$64°16'5''$。
(2) 计算$180°-70°40'$：
① 借位转换：被减数$180°$的分位为0，不够减$40'$，向度借1°转化为60'，即$180°=179°60'$；
② 同单位相减：度相减$179°-70°=109°$，分相减$60'-40'=20'$；
最终结果为$109°20'$。
【答案】
(1)$64°16'5''$ (2)$109°20'$
【知识点】
度分秒的运算、角度的加减计算
【点评】
本题考查角度的基础加减运算，核心是掌握60进制的进位与借位规则，计算时需按从低单位到高单位的顺序处理，避免进位/借位错误，属于常规基础题。
【难度系数】
0.3
角度的加减运算遵循60进制规则，即1度=60分，1分=60秒。加法运算时，需将度、分、秒分别对应相加，某一单位结果满60则向高一级单位进1；减法运算时，若某一单位不够减，需向高一级单位借1（借1当60）后再计算。本题需分别完成两个角度的加法和减法运算，核心是准确处理进位与借位。
【解析】
(1) 计算$23°30'45''+40°45'20''$：
① 同单位相加：度相加$23°+40°=63°$，分相加$30'+45'=75'$，秒相加$45''+20''=65''$；
② 处理秒的进位：$65''=1'5''$，因此分变为$75'+1'=76'$；
③ 处理分的进位：$76'=1°16'$，因此度变为$63°+1°=64°$，剩余分$16'$、秒$5''$；
最终结果为$64°16'5''$。
(2) 计算$180°-70°40'$：
① 借位转换：被减数$180°$的分位为0，不够减$40'$，向度借1°转化为60'，即$180°=179°60'$；
② 同单位相减：度相减$179°-70°=109°$，分相减$60'-40'=20'$；
最终结果为$109°20'$。
【答案】
(1)$64°16'5''$ (2)$109°20'$
【知识点】
度分秒的运算、角度的加减计算
【点评】
本题考查角度的基础加减运算，核心是掌握60进制的进位与借位规则，计算时需按从低单位到高单位的顺序处理，避免进位/借位错误，属于常规基础题。
【难度系数】
0.3
6. (2024·北京顺义区期末)下列图形中,能用$∠ 1$,$∠ A$,$∠ BAD$三种方法表示同一个角的图形是(
A
).答案
6. A
解析
【分析】要判断哪个图形中∠1、∠A、∠BAD表示同一个角，需明确角的表示规则：①当角的顶点处仅存在一个角时，才能用顶点处的单个大写字母（如∠A）表示该角；②用三个大写字母表示角时，中间字母为角的顶点，两侧字母为角的两条边；③∠1是角的编号，需对应顶点为A、两边为AB和AD的角。据此逐一分析选项。
【解析】
选项A：顶点A处只有1个角，该角的两边为AB、AD，因此可同时用∠A（顶点处仅一个角，可用单字母表示）、∠BAD（三个字母，顶点为A）、∠1（该角的编号）表示同一个角，符合要求。
选项B：顶点A处有2个角，∠1只是其中一个角，此时无法用∠A表示该角（∠A会指代顶点A处所有角，无法确定具体是哪个），不符合要求。
选项C：∠1的顶点是B，并非A，无法用∠A、∠BAD表示，不符合要求。
选项D：顶点A处有2个角，∠A无法确定指代哪个角，不符合要求。
【答案】A
【知识点】角的表示方法
【点评】本题考查角的不同表示方法，核心是掌握角的表示规则，尤其是单字母表示角的前提是顶点处只有一个角，需仔细辨析各图形中角的顶点与边的对应关系。
【难度系数】0.5
【解析】
选项A：顶点A处只有1个角，该角的两边为AB、AD，因此可同时用∠A（顶点处仅一个角，可用单字母表示）、∠BAD（三个字母，顶点为A）、∠1（该角的编号）表示同一个角，符合要求。
选项B：顶点A处有2个角，∠1只是其中一个角，此时无法用∠A表示该角（∠A会指代顶点A处所有角，无法确定具体是哪个），不符合要求。
选项C：∠1的顶点是B，并非A，无法用∠A、∠BAD表示，不符合要求。
选项D：顶点A处有2个角，∠A无法确定指代哪个角，不符合要求。
【答案】A
【知识点】角的表示方法
【点评】本题考查角的不同表示方法，核心是掌握角的表示规则，尤其是单字母表示角的前提是顶点处只有一个角，需仔细辨析各图形中角的顶点与边的对应关系。
【难度系数】0.5
7. (2025·宿迁宿城区期末)如图是一副特制的三角板,仅用这副特制的三角板不能画出的角度是(
A.$84°$
B.$68°$
C.$48°$
D.$24°$
B
).A.$84°$
B.$68°$
C.$48°$
D.$24°$
答案
7. B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确两个特制三角板的所有内角度数，再判断每个选项的角度是否能通过这些角度的和或差组合得到，进而确定不能画出的角度。
【解析】
先确定两个三角板的内角度数：第一个三角板为90°、30°、60°；第二个三角板为36°、72°、72°。
对各选项逐一分析：
选项A（84°）：可通过60°+36° - (72°-60°)=96°-12°=84°，能组合得到；
选项B（68°）：无法通过上述6个角度的和或差运算得到，不能组合；
选项C（48°）：可通过72° - (60°-36°)=72°-24°=48°，能组合得到；
选项D（24°）：可通过60° - 36°=24°，能组合得到。
综上，不能画出的角度是68°。
【答案】
B
【知识点】
角度和差运算、三角形内角
【点评】
本题考查利用三角板的角度组合构造角度，核心是掌握三角板的内角度数，通过和差分析判断目标角度是否可构造，属于基础几何角度运算题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先明确两个特制三角板的所有内角度数，再判断每个选项的角度是否能通过这些角度的和或差组合得到，进而确定不能画出的角度。
【解析】
先确定两个三角板的内角度数：第一个三角板为90°、30°、60°；第二个三角板为36°、72°、72°。
对各选项逐一分析：
选项A（84°）：可通过60°+36° - (72°-60°)=96°-12°=84°，能组合得到；
选项B（68°）：无法通过上述6个角度的和或差运算得到，不能组合；
选项C（48°）：可通过72° - (60°-36°)=72°-24°=48°，能组合得到；
选项D（24°）：可通过60° - 36°=24°，能组合得到。
综上，不能画出的角度是68°。
【答案】
B
【知识点】
角度和差运算、三角形内角
【点评】
本题考查利用三角板的角度组合构造角度，核心是掌握三角板的内角度数，通过和差分析判断目标角度是否可构造，属于基础几何角度运算题。
【难度系数】
0.5
8. (2024·南京外国语学校期末)$A,B$两个海上观测站的位置如图所示,$A$在灯塔$O$北偏东$40°$方向上,$∠ AOB=110°$,则$B$在灯塔$O$的
南偏东$30°$
方向.答案
8. 南偏东$30°$ [解析]由题意,得$180°-40°-110°=30°$,$\therefore B$在灯塔$O$的南偏东$30°$方向.
解析
【分析】首先明确方向角的定义，正北与正南方向在同一直线上，夹角为180°（平角）。已知A在灯塔O北偏东40°，∠AOB=110°，我们可利用平角的角度和，计算出OB与正南方向的夹角，进而确定B的方向。
【解析】因为正北方向与正南方向共线，夹角为180°，已知OA与正北方向的夹角为40°，∠AOB=110°，所以OB与正南方向的夹角为：180° - 40° - 110° = 30°，因此B在灯塔O的南偏东30°方向。
【答案】南偏东30°
【知识点】方向角、平角的性质
【点评】本题考查方向角的计算，核心是利用正北与正南方向的平角关系，结合已知角度推导目标方向，属于基础几何应用问题，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】因为正北方向与正南方向共线，夹角为180°，已知OA与正北方向的夹角为40°，∠AOB=110°，所以OB与正南方向的夹角为：180° - 40° - 110° = 30°，因此B在灯塔O的南偏东30°方向。
【答案】南偏东30°
【知识点】方向角、平角的性质
【点评】本题考查方向角的计算，核心是利用正北与正南方向的平角关系，结合已知角度推导目标方向，属于基础几何应用问题，难度较低。
【难度系数】0.3
9. (2025·陕西西安临汾期末)如图所示,在已知锐角$∠ AOB$内部,画1条射线,图中共有3个角;画2条射线,图中共有6个角;画3条射线,图中共有10个角;按此规律,…,画$n$条射线,共有
$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
个角.答案
9. $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ [解析]根据题意,分析出射线的条数与角的数量关系如下:
画1条射线,图中共有 3 个角$=\frac{(1+1)(1+2)}{2}$;
画2条射线,图中共有 6 个角$=\frac{(2+1)(2+2)}{2}$;
画3条射线,图中共有 10 个角$=\frac{(3+1)(3+2)}{2}$;
...
$\therefore$画$n$条射线,图中共有$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个角.
画1条射线,图中共有 3 个角$=\frac{(1+1)(1+2)}{2}$;
画2条射线,图中共有 6 个角$=\frac{(2+1)(2+2)}{2}$;
画3条射线,图中共有 10 个角$=\frac{(3+1)(3+2)}{2}$;
...
$\therefore$画$n$条射线,图中共有$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个角.
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确：从同一点出发的射线，每两条射线可组成一个角，因此角的总个数等于从所有射线中选取2条的组合数。首先计算画$n$条射线后的总射线数：原$∠ AOB$有2条射线，加上画出的$n$条，总射线数为$(n+2)$条；再结合特例推导角的数量规律即可。
【解析】
1. 确定总射线数：原$∠ AOB$包含$OA$、$OB$共2条射线，画$n$条射线后，总射线数为$2 + n = n+2$条。
2. 推导角的数量：从$k$条射线中任选2条可组成1个角，组合数公式为$\frac{k(k-1)}{2}$。将$k = n+2$代入，得角的数量为：
$\frac{(n+2)(n+2 -1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
验证：当$n=1$时，$\frac{(1+1)(1+2)}{2}=3$，符合题意；$n=2$时，$\frac{(2+1)(2+2)}{2}=6$，符合；$n=3$时，$\frac{(3+1)(3+2)}{2}=10$，符合，规律成立。
【答案】
$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
【知识点】
角的计数；找规律
【点评】
本题是规律探究类题目，核心是利用“从同一点出发的射线，角的个数等于射线总数中选2条的组合数”这一计数方法，关键在于先确定总射线数，再结合特例归纳通用公式，能有效考查学生的观察归纳能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需明确：从同一点出发的射线，每两条射线可组成一个角，因此角的总个数等于从所有射线中选取2条的组合数。首先计算画$n$条射线后的总射线数：原$∠ AOB$有2条射线，加上画出的$n$条，总射线数为$(n+2)$条；再结合特例推导角的数量规律即可。
【解析】
1. 确定总射线数：原$∠ AOB$包含$OA$、$OB$共2条射线，画$n$条射线后，总射线数为$2 + n = n+2$条。
2. 推导角的数量：从$k$条射线中任选2条可组成1个角，组合数公式为$\frac{k(k-1)}{2}$。将$k = n+2$代入，得角的数量为：
$\frac{(n+2)(n+2 -1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
验证：当$n=1$时，$\frac{(1+1)(1+2)}{2}=3$，符合题意；$n=2$时，$\frac{(2+1)(2+2)}{2}=6$，符合；$n=3$时，$\frac{(3+1)(3+2)}{2}=10$，符合，规律成立。
【答案】
$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
【知识点】
角的计数；找规律
【点评】
本题是规律探究类题目，核心是利用“从同一点出发的射线，角的个数等于射线总数中选2条的组合数”这一计数方法，关键在于先确定总射线数，再结合特例归纳通用公式，能有效考查学生的观察归纳能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
