10. 请用一副三角板拼出 $75°$的角，尽可能多地写出不同的拼法.
11. 中考新考法 操作探究 一张长方形纸片，用剪刀剪去一个角，还剩几个角？请动手试一试，有几种剪法，并画出来.

10. 方法有:(1)$30°+45°$;(2)$60°+(45°-30°)$;(3)$90°-(45°-30°)$等.
11. 如图,还剩5个角或4个角或3个角,共3种.

【分析】
要解决长方形纸片剪去一个角后剩余角的数量问题，需根据剪线经过的位置分类讨论：长方形有4个顶点，剪去一个角时，剪线的位置不同，剩余角的数量不同，分三种情况分析剪线位置与剩余角的对应关系。
【解析】
长方形纸片剪去一个角，有3种不同的剪法，对应剩余角的数量分别为：
1. 当剪线经过长方形的两个相邻顶点时，剩余图形为三角形，还剩3个角；
2. 当剪线经过长方形的一个顶点和对边上的一点（不经过其他顶点）时，剩余图形为四边形，还剩4个角；
3. 当剪线经过长方形相邻两边上的两点（不经过任何顶点）时，剩余图形为五边形，还剩5个角。
【答案】
还剩5个角或4个角或3个角，共3种。
【知识点】
图形的剪拼，角的计数
【点评】
本题为操作探究类题目，需通过动手实践或空间想象分析剪线位置对剩余角数量的影响，考查对平面图形特征的理解，培养分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6

12 分类讨论思想 中考新考法 归纳一般结论 已知$∠ AOB = α$，$∠ COD = β$，保持$∠ AOB$不动，$∠ COD$的$OC$边与$OA$边重合，然后将$∠ COD$绕点$O$按顺时针方向任意转动一个角度$\gamma$（$0° ≤ \gamma ≤ 360°$）。（本题中研究的其他角的度数均小于$180°$）
[特例分析]
(1) 如图(1)，若$\gamma = 30°$，$α = β = 90°$，则$∠ BOD = \_\_\_\_\_\_°$，$∠ AOD + ∠ BOC = \_\_\_\_\_\_°$。
[一般化研究]
(2) 如图(2)，若$α + β = 180°$，随着$\gamma$的变化，探索$∠ AOD$与$∠ BOC$的数量关系，并说明理由。
[继续一般化]
(3) 随着$\gamma$的变化，直接写出$∠ AOD$与$∠ BOC$的数量关系（结果用含$α,β$的代数式表示）。

精题详解

12. (1)30 180 [解析]由转动角度$\gamma=30°$,$α=β=90°$可知,$∠ BOD=30°$.
$\becauseα=β=90°$,即$∠ AOB=∠ COD=90°$,
$\therefore∠ AOD+∠ BOC=(∠ AOC+∠ COD)+(∠ AOB-∠ AOC)=180°$.
(2)$∠ AOD+∠ BOC=180°$.理由如下:

$\because∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD$,
$\therefore∠ AOD+∠ BOC=∠ AOB+∠ BOD+∠ BOC=∠ AOB+∠ COD=180°$;
如图(2),当$OC$在$∠ AOB$外部,$OD$在$∠ AOB$外部时,$∠ AOD+∠ BOC=360°-(∠ AOB+∠ COD)=180°$;
如图(3),当$OC$在$∠ AOB$外部,$OD$在$∠ AOB$内部时,
$\because∠ AOD=∠ AOB-∠ BOD$,
$\therefore∠ AOD+∠ BOC=∠ AOB-∠ BOD+∠ BOC=∠ AOB+∠ COD=180°$.
综上所述,$∠ AOD+∠ BOC=180°$.
(3)当$A,O,D$三点共线时,$\gamma=180°-β$或$360°-β$,
当$B,O,C$三点共线时,$\gamma=α$或$α+180°$.
①如图(4),当$0≤\gamma＜α$时,$∠ AOC=\gamma$,则$∠ AOD=β+\gamma$,$∠ BOC=α-\gamma$,$\therefore∠ AOD+∠ BOC=α+β$;
②如图(5),当$α≤\gamma＜180°-β$时,$∠ AOD=β+\gamma$,$∠ BOC=\gamma-α$,$\therefore∠ AOD-∠ BOC=α+β$;
③如图(6),当$180°-β≤\gamma＜α+180°$时,$∠ AOD=360°-β-\gamma$,$∠ BOC=\gamma-α$,$\therefore∠ AOD+∠ BOC=360°-α-β$;
④如图(7),当$α+180°≤\gamma＜360°-β$时,$∠ AOD=360°-β-\gamma$,$∠ BOC=360°-(\gamma-α)=360°-\gamma+α$,$\therefore∠ BOC-∠ AOD=α+β$;
⑤如图(8),当$360°-β≤\gamma≤360°$时,$∠ AOD=\gamma-180°-(180°-β)=\gamma+β-360°$,$∠ BOC=360°-\gamma+α$,$\therefore∠ AOD+∠ BOC=α+β$.
综上所述,当$0≤\gamma＜α$或$360°-β≤\gamma＜360°$时,$∠ AOD+∠ BOC=α+β$;
当$α≤\gamma＜180°-β$时,$∠ AOD-∠ BOC=α+β$;
当$180°-β≤\gamma＜α+180°$时,$∠ AOD+∠ BOC=360°-α-β$;
当$α+180°≤\gamma＜360°-β$时,$∠ BOC-∠ AOD=α+β$.
归纳总结 本题考查了角的有关计算,根据题目要求作出图形,利用角度的和差关系计算是解题的关键.

【分析】本题是动态角的计算问题，需结合角的和差关系，运用分类讨论思想逐步求解。（1）为特例分析，已知转动角度γ和α、β的值，直接利用角的和差计算；（2）中α+β=180°，需分OC、OD在∠AOB内外的不同位置推导数量关系；（3）需全面考虑γ的取值范围，分情况讨论∠AOD与∠BOC的关系，用含α、β的代数式表示。
【解析】
（1）已知γ=30°，α=β=90°，则∠BOD=γ=30°；
因为∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOD+∠BOC=(∠AOC+∠COD)+(∠AOB-∠AOC)=∠COD+∠AOB=90°+90°=180°。
（2）∠AOD+∠BOC=180°，理由如下：
①当OC、OD在∠AOB内部或外部（如图1）：∠AOD=∠AOB+∠BOD，故∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β=180°；
②当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB外部（如图2）：∠AOD+∠BOC=360°-(∠AOB+∠COD)=360°-180°=180°；
③当OC在∠AOB外部，OD在∠AOB内部（如图3）：∠AOD=∠AOB-∠BOD，故∠AOD+∠BOC=∠AOB-∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°；
综上，∠AOD+∠BOC=180°。
（3）分情况讨论：
①当0≤γ＜α时，∠AOD+∠BOC=α+β；
②当α≤γ＜180°-β时，∠AOD-∠BOC=α+β；
③当180°-β≤γ＜α+180°时，∠AOD+∠BOC=360°-α-β；
④当α+180°≤γ＜360°-β时，∠BOC-∠AOD=α+β；
⑤当360°-β≤γ≤360°时，∠AOD+∠BOC=α+β；
【答案】
(1)30；180
(2)∠AOD+∠BOC=180°
(3)当0≤γ＜α或360°-β≤γ≤360°时，∠AOD+∠BOC=α+β；当α≤γ＜180°-β时，∠AOD-∠BOC=α+β；当180°-β≤γ＜α+180°时，∠AOD+∠BOC=360°-α-β；当α+180°≤γ＜360°-β时，∠BOC-∠AOD=α+β
【知识点】
角的计算；分类讨论思想；角的和差
【点评】
本题以动态角转动为背景，从特例到一般再到全面分类，考查角的和差关系，渗透分类讨论思想，培养学生全面分析问题的能力，是中考常见的新考法题型。
【难度系数】
0.4