1. 教材P166练习T3·变式（2024·安徽亳州蒙城期末）如果$∠ 1$与$∠ 2$互补，$∠ 2$与$∠ 3$互余，那么$∠ 1$与$∠ 3$的关系是().

A.$∠ 1=∠ 3$
B.$∠ 1=180°-∠ 3$
C.$∠ 1=90°+∠ 3$
D.$∠ 3=90°+∠ 1$

1.C

【分析】首先明确互补和互余的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互补；若两个角的和为90°，则这两个角互余。根据题目给出的∠1与∠2互补、∠2与∠3互余的条件，先将∠2用∠1表示，再代入∠2与∠3的关系中，即可推导出∠1与∠3的关系，进而选出正确选项。
【解析】
解：
∵ ∠1与∠2互补，
∴ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ ∠2 = 180° - ∠1。
又
∵ ∠2与∠3互余，
∴ ∠2 + ∠3 = 90°，
将∠2 = 180° - ∠1代入上式得：
180° - ∠1 + ∠3 = 90°，
整理得：∠1 - ∠3 = 90°，
即∠1 = 90° + ∠3。
所以选项C正确。
【答案】C
【知识点】互补的定义、互余的定义、角的和差运算
【点评】本题考查互补与互余的基本概念，通过角的和差关系进行代数推导即可得出结论，属于基础题型，主要检验学生对基本概念的掌握情况。
【难度系数】0.7

2. (2025·福建泉州期末)如图，$∠ AOB$ 的大小可由量角器测得，则$∠ AOB$ 的补角的大小为().

A.$140°$
B.$130°$
C.$50°$
D.$40°$

2.B [解析]由量角器可知，$∠ AOB=50°,\therefore ∠ AOB$ 的补角的大小为 $130°$. 故选 B.
思路引导 本题考查余角与补角. 由量角器可得出$∠ AOB$ 的度数,从而可求出$∠ AOB$ 补角的度数.

【分析】
要解决本题，首先需掌握量角器的读数方法：量角器的中心与角的顶点重合，角的一边与量角器的0°刻度线重合，另一边对应的刻度即为该角的度数；其次要明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，用180°减去已知角的度数，即可得到其补角的大小。
【解析】
解：根据量角器的读数规则，可得∠AOB = 50°。
根据补角的定义，∠AOB的补角为：180° - 50° = 130°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
补角、量角器的使用
【点评】
本题结合量角器读数考查补角的计算，属于基础题型，核心是准确读取角的度数并牢记补角的定义，难度较低。
【难度系数】
0.7

3. (2025·福建龙岩期末改编)如图,点$O$为直线$AB$上一点,$∠ AOC=∠ BOC$,$∠ DOE=90°$,则图中互余的角有().

A.4对
B.3对
C.2对
D.1对

3.A [解析]$\because$ 点 $O$ 为直线 $AB$ 上一点, $\therefore ∠ AOC = ∠ BOC = 90°, \therefore ∠ AOC = ∠ AOD + ∠ DOC = 90°$,$∠ BOC=∠ BOE+∠ COE=90°$.
$\because ∠ DOE=90°$,
$\therefore ∠ DOE = ∠ DOC + ∠ COE = 90°, ∠ AOD + ∠ BOE = 90°, \therefore$ 图中互余的角有 $∠ AOD$ 和 $∠ DOC, ∠ BOE$ 和 $∠ COE, ∠ DOC$ 和 $∠ COE, ∠ AOD$ 和 $∠ BOE$,共 4 对.
故选 A.
归纳总结 本题主要考查了余角的定义,根据和为 90 度的两个角互为余角即可求解.

【分析】要解决这个问题，首先明确互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。解题时，先根据点O在直线AB上，得出∠AOC与∠BOC的和为180°，结合已知∠AOC=∠BOC，算出这两个角都是90°；再结合∠DOE=90°，找出所有和为90°的角对，即可确定互余的角的对数。
【解析】
1. 因为点O为直线AB上一点，所以∠AOC + ∠BOC = 180°，又已知∠AOC=∠BOC，因此∠AOC=∠BOC=90°，即：
∠AOD + ∠DOC = ∠AOC = 90°，
∠BOE + ∠COE = ∠BOC = 90°；
2. 已知∠DOE=90°，所以：
∠DOC + ∠COE = ∠DOE = 90°，
又因为∠AOB是平角（180°），所以∠AOD + ∠DOE + ∠BOE = 180°，代入∠DOE=90°，得∠AOD + ∠BOE = 90°；
3. 综上，和为90°的角对有：∠AOD与∠DOC，∠BOE与∠COE，∠DOC与∠COE，∠AOD与∠BOE，共4对。
【答案】A
【知识点】余角的定义、平角与直角的性质
【点评】本题考查余角的判定，核心是利用平角和直角的性质推导角的和，属于基础几何题，难度不大，需准确把握互余的定义。
【难度系数】0.5

4. (2025·山东德州禹城期末)已知一个角的补角比这个角的余角 3 倍大 $10^{\circ }$, 则这个角的度数是$°$.

4.50

【分析】首先明确余角和补角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补。设这个角的度数为未知数，根据题目中“补角比余角的3倍大10°”的等量关系，列出一元一次方程，解方程即可求出该角的度数。
【解析】设这个角的度数为$ x° $，根据余角、补角的定义，它的补角为$ (180 - x)° $，余角为$ (90 - x)° $。
根据题意列方程：
$ 180 - x = 3(90 - x) + 10 $
解方程：
展开右边得：$ 180 - x = 270 - 3x + 10 $
化简右边：$ 180 - x = 280 - 3x $
移项得：$ -x + 3x = 280 - 180 $
合并同类项得：$ 2x = 100 $
解得：$ x = 50 $
【答案】50
【知识点】余角与补角，一元一次方程的应用
【点评】本题是角度计算的基础应用题，核心是利用余角、补角的定义建立等量关系，通过一元一次方程求解，只要理清数量关系即可正确解答，难度较低。
【难度系数】0.7

5. 方程思想 如图,已知$∠ 1:∠ 2:∠ 3:∠ 4 = 1:2:3:4$,求$∠ 1$,$∠ 2$,$∠ 3$,$∠ 4$的度数.

5. 设$∠ 1=x$,则$∠ 2=2x$,$∠ 3=3x$,$∠ 4=4x$,
$\therefore x+2x+3x+4x=360°,\therefore x=36°,\therefore ∠ 1=36°,∠ 2=72°,∠ 3=108°,∠ 4=144°.$

【分析】
要计算四个角的度数，首先观察图形可知∠1、∠2、∠3、∠4在同一顶点，构成一个周角，周角的度数为360°，因此四个角的和是360°。题目给出了四个角的度数比，我们可以利用比例关系设未知数，结合周角的性质列方程求解，即可得到每个角的度数。
【解析】
设∠1 = x，根据∠1:∠2:∠3:∠4 = 1:2:3:4，可得∠2 = 2x，∠3 = 3x，∠4 = 4x。
因为四个角组成周角，周角为360°，所以：
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°
代入得：x + 2x + 3x + 4x = 360°
合并同类项得：10x = 360°
解得：x = 36°
因此，∠1 = 36°，∠2 = 2×36° = 72°，∠3 = 3×36° = 108°，∠4 = 4×36° = 144°。
【答案】
∠1=36°，∠2=72°，∠3=108°，∠4=144°
【知识点】
周角的度数，比例的应用，一元一次方程
【点评】
本题结合周角的性质，运用方程思想解决角度计算问题，属于基础几何计算题，重点考查对周角概念和比例分配方法的掌握。
【难度系数】
0.7

6. (2025·广东广州期末)一副三角板按如图的方式摆放,则$∠ BAD$的补角的度数是().

A.$15°$
B.$75°$
C.$135°$
D.$165°$

6.D [解析]$\because ∠ EAD=45°,∠ CAB=30°$,
$\therefore ∠ BAD=∠ EAD-∠ CAB=15°$,
$\therefore ∠ BAD$ 的补角的度数是 $180°-∠ BAD=165°$. 故选 D.
思路引导 本题考查了三角形板中的角度计算、补角,熟练掌握补角的定义是解题关键. 先利用角的和差可得$∠ BAD=15°$,然后利用补角的定义求解即可.

【分析】首先明确一副三角板的特殊角度：等腰直角三角板的锐角为45°，含30°角的直角三角板的锐角为30°。观察图形可知，∠EAD是等腰直角三角板的锐角，∠CAB是含30°角三角板的锐角。要求∠BAD的补角，需先通过角的和差求出∠BAD的度数，再根据“互为补角的两个角和为180°”计算其补角。
【解析】根据三角板的角度特征，得∠EAD=45°，∠CAB=30°。由角的和差关系，∠BAD=∠EAD - ∠CAB=45° - 30°=15°。根据补角的定义，互为补角的两个角和为180°，因此∠BAD的补角的度数为180° - ∠BAD=180° -15°=165°。
【答案】D
【知识点】三角板角度计算、补角定义
【点评】本题结合三角板的特殊角度，考查角的和差运算与补角的定义，属于基础题型，解题关键是准确识别三角板的角度并运用补角的性质。
【难度系数】0.6

7. (2025·湖北十堰郧西期末)如图，$∠ AOB=∠ COD=∠ EOF=90°$，则$∠ 1,∠ 2,∠ 3$之间的数量关系为().

A.$∠ 1+∠ 2+∠ 3=90°$
B.$∠ 1+∠ 2-∠ 3=90°$
C.$∠ 2+∠ 3-∠ 1=90°$
D.$∠ 1-∠ 2+∠ 3=90°$

7.D [解析]$\because ∠ 3+∠ BOC=∠ DOB+∠ BOC=90°$,
$\therefore ∠ 3=∠ BOD$.
$\because ∠ EOD+∠ 1=90°,\therefore ∠ BOD-∠ 2+∠ 1=90°$,
$\therefore ∠ 3-∠ 2+∠ 1=90°.$
故选 D.

【分析】要推导∠1、∠2、∠3的数量关系，需利用已知的直角（∠AOB=∠COD=∠EOF=90°），结合同角的余角相等转化角，再通过角的和差关系建立三个角的联系。首先由∠COD=90°，利用同角的余角相等得到∠3与∠BOD相等；再结合∠EOF=90°，将∠EOD用∠BOD和∠2表示，代入后整理即可得到三个角的关系。
【解析】
∵ ∠COD=90°，
∴ ∠3 + ∠BOC = 90°，∠BOD + ∠BOC = 90°，
根据“同角的余角相等”，得 ∠3 = ∠BOD。
又
∵ ∠EOF=90°，
∴ ∠EOD + ∠1 = 90°。
而 ∠EOD = ∠BOD - ∠2，
将∠BOD=∠3代入上式，得：
(∠3 - ∠2) + ∠1 = 90°，
整理得：∠1 - ∠2 + ∠3 = 90°。
【答案】D
【知识点】同角的余角相等、角的和差运算
【点评】本题考查利用同角的余角相等转化角，结合角的和差推导结论，关键是找到角之间的等量代换关系，属于基础几何题。
【难度系数】0.5

8. (2025·盐城东台期末改编)将一副三角尺按下列位置摆放,使$∠ α$和$∠ β$互余的摆放方式是().

8.A [解析]A. $∠ α$ 与 $∠ β$ 互余,故本选项正确; B. $∠ α=∠ β$,故本选项错误; C. $∠ α=∠ β$,故本选项错误; D. $∠ α$ 与 $∠ β$ 互补,故本选项错误. 故选 A.

【分析】
要判断∠α和∠β是否互余，需依据互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余。结合一副三角尺含直角（90°）、平角（180°）的角度特征，逐个分析各选项中∠α与∠β的和，即可得出结论。
【解析】
选项A：根据平角的定义，∠α + 90° + ∠β = 180°，因此∠α + ∠β = 180° - 90° = 90°，满足互余的条件，故该选项正确。
选项B：两个三角尺的直角重合，可得∠α + 中间角 = 90°，∠β + 中间角 = 90°，所以∠α = ∠β，不满足互余，故该选项错误。
选项C：同理，两个角对应的三角尺角度相等，可得∠α = ∠β，不满足互余，故该选项错误。
选项D：根据平角的定义，∠α + ∠β = 180°，属于互补，不满足互余，故该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
余角与补角、三角尺的角度
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查互余的定义，核心是利用平角、直角的角度关系推导两角的和，属于基础几何题，需准确掌握互余的概念。
【难度系数】
0.6

9.（重庆沙坪坝区自主招生）如图，$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，$∠ AOD = 110°$，则$∠ BOC$的度数是().

A.$20°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$

9.C [解析]由题意知,$∠ BOD=∠ AOD-∠ AOB=110°-90°=20°,\therefore ∠ BOC=∠ COD-∠ BOD=70°$. 故选 C.

【分析】
本题需利用角的和差关系计算未知角，先根据已知的∠AOD和∠AOB求出∠BOD，再结合∠COD的度数，通过角的和差求出∠BOC。
【解析】
解：由图形可知，∠AOD = ∠AOB + ∠BOD，已知∠AOB = 90°，∠AOD = 110°，因此：
∠BOD = ∠AOD - ∠AOB = 110° - 90° = 20°。
又因为∠COD = ∠BOC + ∠BOD，且∠COD = 90°，所以：
∠BOC = ∠COD - ∠BOD = 90° - 20° = 70°。
【答案】
C
【知识点】
角的和差计算
【点评】
本题考查角的和差关系的应用，关键是准确识别图形中角的组成，利用已知角的度数逐步推导，属于基础角度计算题型。
【难度系数】
0.6