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10. (2024·兰州中考)若$∠ A=80^{\circ }$,则$∠ A$的补角是(
A.$100^{\circ }$
B.$80^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$10^{\circ }$
A
).A.$100^{\circ }$
B.$80^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$10^{\circ }$
答案
10.A
解析
【分析】
要解决本题，需先明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。求一个角的补角，只需用180°减去该角的度数即可。本题已知∠A=80°，代入计算后对应选项就能得出答案。
【解析】
根据补角的定义，∠A的补角 = 180° - ∠A。将∠A=80°代入计算：180° - 80° = 100°，因此∠A的补角是100°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
补角的定义、角度计算
【点评】
本题是中考基础题型，直接考查补角的定义，解题思路清晰，属于易得分题目，主要检验学生对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.9
要解决本题，需先明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。求一个角的补角，只需用180°减去该角的度数即可。本题已知∠A=80°，代入计算后对应选项就能得出答案。
【解析】
根据补角的定义，∠A的补角 = 180° - ∠A。将∠A=80°代入计算：180° - 80° = 100°，因此∠A的补角是100°，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
补角的定义、角度计算
【点评】
本题是中考基础题型，直接考查补角的定义，解题思路清晰，属于易得分题目，主要检验学生对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.9
11. 如图，$∠ α ＞ ∠ β$，则$∠ β$与$\dfrac{1}{2}(∠ α - ∠ β)$的关系为
互余
。答案
11.互余 [解析]由题意,得 $∠ α + ∠ β = 180°, \therefore ∠ β + \frac{1}{2}(∠ α - ∠ β) = \frac{1}{2}(∠ α + ∠ β) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$,即$∠ β$与$\frac{1}{2}(∠ α - ∠ β)$互余.
解析
【分析】
首先观察图形，可知∠α与∠β组成平角，根据平角的定义可得∠α + ∠β = 180°。要判断∠β与$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$的关系，需计算这两个角的和，若和为90°，则两角互余，据此推导即可。
【解析】
由图可知，∠α和∠β组成平角，根据平角的定义，得∠α + ∠β = 180°。
计算∠β与$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$的和：
∠β + $\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$ = ∠β + $\frac{1}{2}∠α - \frac{1}{2}∠β$ = $\frac{1}{2}∠α + \frac{1}{2}∠β$ = $\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$。
将∠α + ∠β = 180°代入上式，得$\frac{1}{2}×180° = 90°$，即∠β与$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$的和为90°，根据余角的定义，两角互余。
【答案】
互余
【知识点】
平角定义、余角定义
【点评】
本题结合图形考查平角和余角的基本概念，解题关键是利用平角性质得到两角和为180°，再通过代数运算推导两角的关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，可知∠α与∠β组成平角，根据平角的定义可得∠α + ∠β = 180°。要判断∠β与$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$的关系，需计算这两个角的和，若和为90°，则两角互余，据此推导即可。
【解析】
由图可知，∠α和∠β组成平角，根据平角的定义，得∠α + ∠β = 180°。
计算∠β与$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$的和：
∠β + $\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$ = ∠β + $\frac{1}{2}∠α - \frac{1}{2}∠β$ = $\frac{1}{2}∠α + \frac{1}{2}∠β$ = $\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$。
将∠α + ∠β = 180°代入上式，得$\frac{1}{2}×180° = 90°$，即∠β与$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$的和为90°，根据余角的定义，两角互余。
【答案】
互余
【知识点】
平角定义、余角定义
【点评】
本题结合图形考查平角和余角的基本概念，解题关键是利用平角性质得到两角和为180°，再通过代数运算推导两角的关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
12. 如图,观察图形.
(1)说明$∠ AOC$和$∠ BOD$之间的关系,说明$∠ AOE$和$∠ BOC$之间的关系;
(2)指出其中的锐角、直角、钝角和平角.
(1)说明$∠ AOC$和$∠ BOD$之间的关系,说明$∠ AOE$和$∠ BOC$之间的关系;
(2)指出其中的锐角、直角、钝角和平角.
答案
12. (1) $\because ∠ AOC = 90° + ∠ BOC, ∠ BOD = 90° + ∠ BOC$,
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOD$.
$\because ∠ AOE = 90° - ∠ BOE, ∠ BOC = 90° - ∠ BOE$,
$\therefore ∠ AOE = ∠ BOC$.
(2)锐角:$∠ BOC,∠ BOE,∠ AOE$;
直角:$∠ COD,∠ COE,∠ AOB$;
钝角:$∠ BOD,∠ AOC,∠ AOD$;
平角:$∠ DOE$.
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOD$.
$\because ∠ AOE = 90° - ∠ BOE, ∠ BOC = 90° - ∠ BOE$,
$\therefore ∠ AOE = ∠ BOC$.
(2)锐角:$∠ BOC,∠ BOE,∠ AOE$;
直角:$∠ COD,∠ COE,∠ AOB$;
钝角:$∠ BOD,∠ AOC,∠ AOD$;
平角:$∠ DOE$.
解析
【分析】首先观察图形，图中存在多个直角（∠COD、∠COE、∠AOB均为直角，度数为90°），利用角的和差关系推导角的相等关系；再根据锐角、直角、钝角、平角的定义，逐一判断图中的各类角。
【解析】(1) 由图可知，∠COD=90°，∠AOB=90°，因此：
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + ∠BOC，
∠BOD = ∠COD + ∠BOC = 90° + ∠BOC，
故∠AOC = ∠BOD；
又因为∠COE=90°，即∠BOC + ∠BOE = 90°，同时∠AOE + ∠BOE = ∠AOB=90°，所以∠AOE = 90° - ∠BOE，∠BOC=90° - ∠BOE，因此∠AOE = ∠BOC。
(2) 根据角的分类定义：
锐角（大于0°且小于90°）：∠BOC、∠BOE、∠AOE；
直角（等于90°）：∠COD、∠COE、∠AOB；
钝角（大于90°且小于180°）：∠BOD、∠AOC、∠AOD；
平角（等于180°）：∠DOE。
【答案】(1) ∠AOC=∠BOD，∠AOE=∠BOC；(2) 锐角：∠BOC,∠BOE,∠AOE；直角：∠COD,∠COE,∠AOB；钝角：∠BOD,∠AOC,∠AOD；平角：∠DOE。
【知识点】角的和差、角的分类、直角的定义
【点评】本题考查角的和差计算与角的分类，核心是利用图形中的直角推导角的关系，再依据各类角的定义准确判断，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】(1) 由图可知，∠COD=90°，∠AOB=90°，因此：
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + ∠BOC，
∠BOD = ∠COD + ∠BOC = 90° + ∠BOC，
故∠AOC = ∠BOD；
又因为∠COE=90°，即∠BOC + ∠BOE = 90°，同时∠AOE + ∠BOE = ∠AOB=90°，所以∠AOE = 90° - ∠BOE，∠BOC=90° - ∠BOE，因此∠AOE = ∠BOC。
(2) 根据角的分类定义：
锐角（大于0°且小于90°）：∠BOC、∠BOE、∠AOE；
直角（等于90°）：∠COD、∠COE、∠AOB；
钝角（大于90°且小于180°）：∠BOD、∠AOC、∠AOD；
平角（等于180°）：∠DOE。
【答案】(1) ∠AOC=∠BOD，∠AOE=∠BOC；(2) 锐角：∠BOC,∠BOE,∠AOE；直角：∠COD,∠COE,∠AOB；钝角：∠BOD,∠AOC,∠AOD；平角：∠DOE。
【知识点】角的和差、角的分类、直角的定义
【点评】本题考查角的和差计算与角的分类，核心是利用图形中的直角推导角的关系，再依据各类角的定义准确判断，难度适中。
【难度系数】0.5
13. 方程思想 (2025·连云港海州区期末改编)如图,直线
AB 与 CD 相交于点 O,$∠ DOF=∠ BOF$,
$∠ AOC=∠ BOD,∠ EOF=90°.$
(1)若$∠ BOE$比$∠ DOF$大$38°$,求$∠ DOF$的度数;
(2)试问$∠ COE$与$∠ BOE$之间有怎样的大小关系?请说明理由;
(3)$∠ BOE$的补角是
AB 与 CD 相交于点 O,$∠ DOF=∠ BOF$,
$∠ AOC=∠ BOD,∠ EOF=90°.$
(1)若$∠ BOE$比$∠ DOF$大$38°$,求$∠ DOF$的度数;
(2)试问$∠ COE$与$∠ BOE$之间有怎样的大小关系?请说明理由;
(3)$∠ BOE$的补角是
$∠AOE$ 和 $∠DOE$
.答案
13. (1)设$∠ BOF = a$,
则$∠ DOF = ∠ BOF = a$.
$\because ∠ BOE$ 比$∠ DOF$ 大 $38°$,
$\therefore ∠ BOE - 38° = ∠ DOF$,即$∠ BOE - 38° = a$.
又 $∠ BOE = 90° - ∠ BOF = 90° - a$,
$\therefore 90° - a - 38° = a$,
解得 $a = 26°, \therefore ∠ DOF = 26°$.
(2) $∠ COE = ∠ BOE$, 理由如下: $\because ∠ COE = 180° - ∠ DOE = 180° - (90° + ∠ DOF) = 90° - ∠ DOF$, $∠ DOF = ∠ BOF$,
$\therefore ∠ COE = 90° - ∠ BOF$.
$\because ∠ EOF = 90°$,
$\therefore ∠ BOE = 90° - ∠ BOF$,
$\therefore ∠ COE = ∠ BOE$.
(3)$∠ AOE$ 和 $∠ DOE$
则$∠ DOF = ∠ BOF = a$.
$\because ∠ BOE$ 比$∠ DOF$ 大 $38°$,
$\therefore ∠ BOE - 38° = ∠ DOF$,即$∠ BOE - 38° = a$.
又 $∠ BOE = 90° - ∠ BOF = 90° - a$,
$\therefore 90° - a - 38° = a$,
解得 $a = 26°, \therefore ∠ DOF = 26°$.
(2) $∠ COE = ∠ BOE$, 理由如下: $\because ∠ COE = 180° - ∠ DOE = 180° - (90° + ∠ DOF) = 90° - ∠ DOF$, $∠ DOF = ∠ BOF$,
$\therefore ∠ COE = 90° - ∠ BOF$.
$\because ∠ EOF = 90°$,
$\therefore ∠ BOE = 90° - ∠ BOF$,
$\therefore ∠ COE = ∠ BOE$.
(3)$∠ AOE$ 和 $∠ DOE$
解析
【分析】
本题主要运用角的和差关系、方程思想以及补角的定义解题。第(1)问通过设未知数表示角，结合已知的角的大小关系和直角条件列方程求解；第(2)问分别推导∠COE和∠BOE的表达式，比较后得出结论；第(3)问根据补角定义，找出与∠BOE和为180°的角。
【解析】
(1)设∠BOF = a，
∵∠DOF = ∠BOF，
∴∠DOF = a。
又
∵∠EOF = 90°，
∴∠BOE = ∠EOF - ∠BOF = 90° - a。
根据题意，∠BOE比∠DOF大38°，即：
90° - a - a = 38°，
解得a = 26°，
∴∠DOF = 26°。
(2)∠COE = ∠BOE，理由如下：
∵∠DOE = ∠EOF + ∠DOF = 90° + a，
∴∠COE = 180° - ∠DOE = 180° - (90° + a) = 90° - a。
又
∵∠BOE = 90° - a，
∴∠COE = ∠BOE。
(3)根据补角定义，和为180°的两个角互为补角：
∵∠BOE + ∠AOE = 180°，∠BOE + ∠DOE = 180°，
∴∠BOE的补角是∠AOE和∠DOE。
【答案】
(1)26°；(2)∠COE=∠BOE；(3)∠AOE和∠DOE
【知识点】
角的和差，方程思想，补角
【点评】
本题将代数方程思想与几何角度计算结合，需熟练运用角的和差关系，逻辑清晰，是典型的几何与代数结合的基础题型。
【难度系数】
0.5
本题主要运用角的和差关系、方程思想以及补角的定义解题。第(1)问通过设未知数表示角，结合已知的角的大小关系和直角条件列方程求解；第(2)问分别推导∠COE和∠BOE的表达式，比较后得出结论；第(3)问根据补角定义，找出与∠BOE和为180°的角。
【解析】
(1)设∠BOF = a，
∵∠DOF = ∠BOF，
∴∠DOF = a。
又
∵∠EOF = 90°，
∴∠BOE = ∠EOF - ∠BOF = 90° - a。
根据题意，∠BOE比∠DOF大38°，即：
90° - a - a = 38°，
解得a = 26°，
∴∠DOF = 26°。
(2)∠COE = ∠BOE，理由如下：
∵∠DOE = ∠EOF + ∠DOF = 90° + a，
∴∠COE = 180° - ∠DOE = 180° - (90° + a) = 90° - a。
又
∵∠BOE = 90° - a，
∴∠COE = ∠BOE。
(3)根据补角定义，和为180°的两个角互为补角：
∵∠BOE + ∠AOE = 180°，∠BOE + ∠DOE = 180°，
∴∠BOE的补角是∠AOE和∠DOE。
【答案】
(1)26°；(2)∠COE=∠BOE；(3)∠AOE和∠DOE
【知识点】
角的和差，方程思想，补角
【点评】
本题将代数方程思想与几何角度计算结合，需熟练运用角的和差关系，逻辑清晰，是典型的几何与代数结合的基础题型。
【难度系数】
0.5
14. 分类讨论思想 教材P165“活动”·变式（2024·四川南充期末）[数学之美]三角尺中的数学.
(1) 如图(1),将两块直角三角尺的直角顶点 $ C $ 叠放在一起,$ ∠ ACD = ∠ ECB = 90° $. 若 $ ∠ ECD = 35° $,则 $ ∠ ACB = \_\_\_\_\_\_ $; 若 $ ∠ ACB = 140° $,则 $ ∠ ECD = \_\_\_\_\_\_ $; 请直接写出 $ ∠ ACB $ 与 $ ∠ ECD $ 的数量关系 ______;
(2) 如图(2),若两个同样的直角三角尺顶点重合如图放置,$ ∠ DAC = ∠ GAF = 60° $,请猜想 $ ∠ GAC $ 与 $ ∠ DAF $ 的数量关系并说明理由;
(3) 如图(3),已知点 $ O $ 为直线 $ AB $ 上一点,$ OC $ 在直线 $ AB $ 上方,$ ∠ AOC = 60° $,三角尺(其中 $ ∠ MON = 90° $)绕点 $ O $ 旋转一周的过程中,写出 $ ∠ COM $ 与 $ ∠ AON $ 可能存在的数量关系,并说明理由.
精题详解
(1) 如图(1),将两块直角三角尺的直角顶点 $ C $ 叠放在一起,$ ∠ ACD = ∠ ECB = 90° $. 若 $ ∠ ECD = 35° $,则 $ ∠ ACB = \_\_\_\_\_\_ $; 若 $ ∠ ACB = 140° $,则 $ ∠ ECD = \_\_\_\_\_\_ $; 请直接写出 $ ∠ ACB $ 与 $ ∠ ECD $ 的数量关系 ______;
(2) 如图(2),若两个同样的直角三角尺顶点重合如图放置,$ ∠ DAC = ∠ GAF = 60° $,请猜想 $ ∠ GAC $ 与 $ ∠ DAF $ 的数量关系并说明理由;
(3) 如图(3),已知点 $ O $ 为直线 $ AB $ 上一点,$ OC $ 在直线 $ AB $ 上方,$ ∠ AOC = 60° $,三角尺(其中 $ ∠ MON = 90° $)绕点 $ O $ 旋转一周的过程中,写出 $ ∠ COM $ 与 $ ∠ AON $ 可能存在的数量关系,并说明理由.
精题详解
答案
14. (1)$145°$ $40°$ $∠ ACB+∠ ECD=180°$ [解析]$\because ∠ ACB=∠ ACD+∠ BCE-∠ ECD,∠ ACD=∠ ECB=90°$,
$\therefore$ 当$∠ ECD=35°$时,$∠ ACB=180°-35°=145°$;
当$∠ ACB=140°$时,$∠ ECD=∠ ACD+∠ BCE-∠ ACB=40°$.
$\therefore ∠ ACB+∠ ECD=∠ ACD+∠ BCE=180°$.
(2)$∠ GAC+∠ DAF=120°$.理由如下:
$\because ∠ GAC=∠ GAF+∠ DAC-∠ DAF,∠ DAC=∠ GAF=60°$,
$\therefore ∠ GAC+∠ DAF=∠ GAF+∠ DAC=120°$.
(3)$∠ COM+∠ AON=150°$或$210°$.理由如下:
①当三角尺一边 $ON$ 在$∠ AOC$ 内部时,如图(1)所示.
$\because ∠ COM=∠ AOC+∠ MON-∠ AON,∠ AOC=60°$,$∠ MON=90°.\therefore ∠ COM+∠ AON=∠ AOC+∠ MON=60°+90°=150°$.
②当三角尺一边 $ON$ 不在$∠ AOC$ 内部时,如图(2)所示.
$\because ∠ MON=90°,∠ AOC=60°,\therefore ∠ COM+∠ AON=360°-∠ MON-∠ AOC=360°-90°-60°=210°$.
综上所述,$∠ COM+∠ AON=150°$或$210°$.
解析
【分析】
本题是三角尺中的角度问题，分三小问逐步思考：
(1) 两个直角三角尺的直角顶点重合，所以∠ACD和∠ECB都是90°，∠ACB是这两个直角的和减去重叠的∠ECD，因此代入∠ECD可计算∠ACB，反之代入∠ACB可计算∠ECD，进而推导两者的数量关系；
(2) 两个60°角的三角尺顶点重合，∠GAC是∠GAF与∠DAC的和减去重叠的∠DAF，因此∠GAC与∠DAF的和等于两个60°角的和；
(3) 三角尺绕点O旋转，需分两种情况：ON在∠AOC内部、ON不在∠AOC内部，分别利用角的和差或周角的性质推导∠COM与∠AON的数量关系，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 已知∠ACD=∠ECB=90°，
则∠ACB=∠ACD + ∠ECB - ∠ECD = 90°+90°-∠ECD = 180°-∠ECD，
当∠ECD=35°时，∠ACB=180°-35°=145°；
当∠ACB=140°时，∠ECD=180°-∠ACB=180°-140°=40°；
由此可得∠ACB + ∠ECD = 180°；
(2) 猜想：∠GAC + ∠DAF = 120°，理由如下：
因为∠GAC = ∠GAF + ∠DAC - ∠DAF，且∠DAC=∠GAF=60°，
所以∠GAC + ∠DAF = (∠GAF + ∠DAC - ∠DAF) + ∠DAF = ∠GAF + ∠DAC = 60°+60°=120°；
(3) 结论：∠COM + ∠AON = 150°或210°，理由如下：
① 当ON在∠AOC内部时，如图(1)：
∠COM = ∠AOC + ∠MON - ∠AON，已知∠AOC=60°，∠MON=90°，
所以∠COM + ∠AON = ∠AOC + ∠MON = 60°+90°=150°；
② 当ON不在∠AOC内部时，如图(2)：
∠COM + ∠AON = 360° - ∠MON - ∠AOC = 360°-90°-60°=210°；
综上，∠COM + ∠AON=150°或210°。
【答案】14. (1)$145°$ $40°$ $∠ ACB+∠ ECD=180°$ [解析]$\because ∠ ACB=∠ ACD+∠ BCE-∠ ECD,∠ ACD=∠ ECB=90°$,
$\therefore$ 当$∠ ECD=35°$时,$∠ ACB=180°-35°=145°$;
当$∠ ACB=140°$时,$∠ ECD=∠ ACD+∠ BCE-∠ ACB=40°$.
$\therefore ∠ ACB+∠ ECD=∠ ACD+∠ BCE=180°$.
(2)$∠ GAC+∠ DAF=120°$.理由如下:
$\because ∠ GAC=∠ GAF+∠ DAC-∠ DAF,∠ DAC=∠ GAF=60°$,
$\therefore ∠ GAC+∠ DAF=∠ GAF+∠ DAC=120°$.
(3)$∠ COM+∠ AON=150°$或$210°$.理由如下:
①当三角尺一边 $ON$ 在$∠ AOC$ 内部时,如图(1)所示.
$\because ∠ COM=∠ AOC+∠ MON-∠ AON,∠ AOC=60°$,$∠ MON=90°.\therefore ∠ COM+∠ AON=∠ AOC+∠ MON=60°+90°=150°$.
②当三角尺一边 $ON$ 不在$∠ AOC$ 内部时,如图(2)所示.
$\because ∠ MON=90°,∠ AOC=60°,\therefore ∠ COM+∠ AON=360°-∠ MON-∠ AOC=360°-90°-60°=210°$.
综上所述,$∠ COM+∠ AON=150°$或$210°$.
【知识点】角的和差、分类讨论思想、三角尺角度计算
【点评】本题以三角尺为载体，考查角的和差运算及分类讨论思想，解题关键是理清角之间的重叠关系，第(3)问需全面考虑三角尺旋转的不同位置，避免漏解，难度适中，适合期末复习使用。
【难度系数】0.5
本题是三角尺中的角度问题，分三小问逐步思考：
(1) 两个直角三角尺的直角顶点重合，所以∠ACD和∠ECB都是90°，∠ACB是这两个直角的和减去重叠的∠ECD，因此代入∠ECD可计算∠ACB，反之代入∠ACB可计算∠ECD，进而推导两者的数量关系；
(2) 两个60°角的三角尺顶点重合，∠GAC是∠GAF与∠DAC的和减去重叠的∠DAF，因此∠GAC与∠DAF的和等于两个60°角的和；
(3) 三角尺绕点O旋转，需分两种情况：ON在∠AOC内部、ON不在∠AOC内部，分别利用角的和差或周角的性质推导∠COM与∠AON的数量关系，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 已知∠ACD=∠ECB=90°，
则∠ACB=∠ACD + ∠ECB - ∠ECD = 90°+90°-∠ECD = 180°-∠ECD，
当∠ECD=35°时，∠ACB=180°-35°=145°；
当∠ACB=140°时，∠ECD=180°-∠ACB=180°-140°=40°；
由此可得∠ACB + ∠ECD = 180°；
(2) 猜想：∠GAC + ∠DAF = 120°，理由如下：
因为∠GAC = ∠GAF + ∠DAC - ∠DAF，且∠DAC=∠GAF=60°，
所以∠GAC + ∠DAF = (∠GAF + ∠DAC - ∠DAF) + ∠DAF = ∠GAF + ∠DAC = 60°+60°=120°；
(3) 结论：∠COM + ∠AON = 150°或210°，理由如下：
① 当ON在∠AOC内部时，如图(1)：
∠COM = ∠AOC + ∠MON - ∠AON，已知∠AOC=60°，∠MON=90°，
所以∠COM + ∠AON = ∠AOC + ∠MON = 60°+90°=150°；
② 当ON不在∠AOC内部时，如图(2)：
∠COM + ∠AON = 360° - ∠MON - ∠AOC = 360°-90°-60°=210°；
综上，∠COM + ∠AON=150°或210°。
【答案】14. (1)$145°$ $40°$ $∠ ACB+∠ ECD=180°$ [解析]$\because ∠ ACB=∠ ACD+∠ BCE-∠ ECD,∠ ACD=∠ ECB=90°$,
$\therefore$ 当$∠ ECD=35°$时,$∠ ACB=180°-35°=145°$;
当$∠ ACB=140°$时,$∠ ECD=∠ ACD+∠ BCE-∠ ACB=40°$.
$\therefore ∠ ACB+∠ ECD=∠ ACD+∠ BCE=180°$.
(2)$∠ GAC+∠ DAF=120°$.理由如下:
$\because ∠ GAC=∠ GAF+∠ DAC-∠ DAF,∠ DAC=∠ GAF=60°$,
$\therefore ∠ GAC+∠ DAF=∠ GAF+∠ DAC=120°$.
(3)$∠ COM+∠ AON=150°$或$210°$.理由如下:
①当三角尺一边 $ON$ 在$∠ AOC$ 内部时,如图(1)所示.
$\because ∠ COM=∠ AOC+∠ MON-∠ AON,∠ AOC=60°$,$∠ MON=90°.\therefore ∠ COM+∠ AON=∠ AOC+∠ MON=60°+90°=150°$.
②当三角尺一边 $ON$ 不在$∠ AOC$ 内部时,如图(2)所示.
$\because ∠ MON=90°,∠ AOC=60°,\therefore ∠ COM+∠ AON=360°-∠ MON-∠ AOC=360°-90°-60°=210°$.
综上所述,$∠ COM+∠ AON=150°$或$210°$.
【知识点】角的和差、分类讨论思想、三角尺角度计算
【点评】本题以三角尺为载体，考查角的和差运算及分类讨论思想，解题关键是理清角之间的重叠关系，第(3)问需全面考虑三角尺旋转的不同位置，避免漏解，难度适中，适合期末复习使用。
【难度系数】0.5
