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8. 如图，A , B , C , D , E 五个城市，它们之间原有道路相通，现在打算在 C , E 两城市之间沿直线再修建一条公路，这条公路与原公路的交叉处必须设立交桥，问怎样确定立交桥的位置？应架设几座立交桥？
答案
连接 CE,CE 与 BD 的交点处就是架设立交桥的位置,应架设 1 座立交桥.
解析
【分析】
要确定立交桥的位置，需找到新修公路CE与原有公路的交叉点，根据直线相交的性质，两条直线相交仅有1个交点，因此只需确定CE与原有公路的交点即可。观察图形可知，CE与原公路中的直线BD相交，该交点就是立交桥的位置，且仅存在1个这样的交点。
【解析】
根据“两条直线相交有且只有一个交点”的性质，连接CE，CE与原有公路中的直线BD相交，其交点即为架设立交桥的位置；由于CE与原公路仅存在这一个交叉点，因此应架设1座立交桥。
【答案】
连接CE，CE与BD的交点处就是架设立交桥的位置，应架设1座立交桥。
【知识点】
直线相交的性质
【点评】
本题结合实际场景考查直线相交的基本性质，解题关键是理解两条直线相交仅有一个交点，属于基础应用类题目，难度较低。
【难度系数】
0.3
要确定立交桥的位置，需找到新修公路CE与原有公路的交叉点，根据直线相交的性质，两条直线相交仅有1个交点，因此只需确定CE与原有公路的交点即可。观察图形可知，CE与原公路中的直线BD相交，该交点就是立交桥的位置，且仅存在1个这样的交点。
【解析】
根据“两条直线相交有且只有一个交点”的性质，连接CE，CE与原有公路中的直线BD相交，其交点即为架设立交桥的位置；由于CE与原公路仅存在这一个交叉点，因此应架设1座立交桥。
【答案】
连接CE，CE与BD的交点处就是架设立交桥的位置，应架设1座立交桥。
【知识点】
直线相交的性质
【点评】
本题结合实际场景考查直线相交的基本性质，解题关键是理解两条直线相交仅有一个交点，属于基础应用类题目，难度较低。
【难度系数】
0.3
9. 中考新考法 规律探究 (1)观察图(1),由点A和点B可确定
观察图(2),由不在同一直线上的三点A,B和C最多能确定
(2)动手画一画图(3)中经过A,B,C,D四点中任意两点的所有直线,最多共可作
(3)在同一平面内不在同一直线上的五个点最多能确定几条直线?并求出n个点($n≥2$)最多能确定几条直线.
1
条直线.观察图(2),由不在同一直线上的三点A,B和C最多能确定
3
条直线.(2)动手画一画图(3)中经过A,B,C,D四点中任意两点的所有直线,最多共可作
6
条直线.(3)在同一平面内不在同一直线上的五个点最多能确定几条直线?并求出n个点($n≥2$)最多能确定几条直线.
答案
9.(1)1 3 (2)6(图略)
(3)如图,有不在同一直线上的五个点 A,B,C,D,E,连接其中任意两点,最多能确定 10 条直线.当有 n 个点时,每个点都可以确定$(n-1)$条直线,但每条直线都重复算了 1 遍,如:直线 AC 与直线 CA 是同一条直线,故 n 个点最多能确定$\frac{n(n-1)}{2}$条直线.
解析
【分析】
本题是规律探究题，核心依据“两点确定一条直线”的基本事实，从特殊点数入手推导一般规律。解题思路：先计算少量点数（2个、3个、4个、5个）时最多确定的直线数，再通过分析重复计数的情况，总结出n个点（n≥2）最多确定直线的通用公式。
【解析】
(1) 根据“两点确定一条直线”，点A和B是两个点，因此可确定1条直线；不在同一直线上的三点A、B、C，每两点确定一条直线，即AB、AC、BC，共3条直线。
(2) 对于A、B、C、D四点，任意两点确定一条直线，共有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条直线。
(3) 同一平面内不在同一直线上的五个点，任意两点确定一条直线，总数量为$\frac{5×4}{2}=10$条；对于n个点（n≥2），每个点可与其他$(n-1)$个点确定$(n-1)$条直线，此时每条直线被重复计算1次（如直线AC与直线CA是同一条），因此n个点最多能确定$\frac{n(n-1)}{2}$条直线。
【答案】
9.(1)1；3 (2)6 (3)五个点最多确定10条直线，n个点（$n≥2$）最多确定$\frac{n(n-1)}{2}$条直线，
【知识点】
两点确定一条直线、规律探究、组合计数
【点评】
本题结合直线的基本性质，从特殊到一般推导n个点确定直线的数量，考查学生的逻辑推理和规律总结能力，是中考常见的基础探究题，需注意避免重复计数的细节。
【难度系数】
0.5
本题是规律探究题，核心依据“两点确定一条直线”的基本事实，从特殊点数入手推导一般规律。解题思路：先计算少量点数（2个、3个、4个、5个）时最多确定的直线数，再通过分析重复计数的情况，总结出n个点（n≥2）最多确定直线的通用公式。
【解析】
(1) 根据“两点确定一条直线”，点A和B是两个点，因此可确定1条直线；不在同一直线上的三点A、B、C，每两点确定一条直线，即AB、AC、BC，共3条直线。
(2) 对于A、B、C、D四点，任意两点确定一条直线，共有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条直线。
(3) 同一平面内不在同一直线上的五个点，任意两点确定一条直线，总数量为$\frac{5×4}{2}=10$条；对于n个点（n≥2），每个点可与其他$(n-1)$个点确定$(n-1)$条直线，此时每条直线被重复计算1次（如直线AC与直线CA是同一条），因此n个点最多能确定$\frac{n(n-1)}{2}$条直线。
【答案】
9.(1)1；3 (2)6 (3)五个点最多确定10条直线，n个点（$n≥2$）最多确定$\frac{n(n-1)}{2}$条直线，
【知识点】
两点确定一条直线、规律探究、组合计数
【点评】
本题结合直线的基本性质，从特殊到一般推导n个点确定直线的数量，考查学生的逻辑推理和规律总结能力，是中考常见的基础探究题，需注意避免重复计数的细节。
【难度系数】
0.5
10. 数学抽象思维 (1)[观察思考]如图,线段$AB$上有两个点$C$,$D$,请分别写出以点$A$,$B$,$C$,$D$为端点的线段,并计算图中共有多少条线段.
(2)[模型构建]如果线段上有$m$个点(包括线段的两个端点),则该线段上共有多少条线段?请说明你结论的正确性.
(3)[拓展应用]某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手问好,那么共握多少次手?(请将这个问题转化为上述模型,并直接应用上述模型的结论解决问题)
精题详解
(2)[模型构建]如果线段上有$m$个点(包括线段的两个端点),则该线段上共有多少条线段?请说明你结论的正确性.
(3)[拓展应用]某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手问好,那么共握多少次手?(请将这个问题转化为上述模型,并直接应用上述模型的结论解决问题)
精题详解
答案
10.(1)以点 A 为左端点的线段有线段 AC,AD,AB,以点 C 为左端点的线段有线段 CD,CB,以点 D 为左端点的线段有线段 DB,
∴共有 3+2+1=6(条)线段.
(2)设该线段上共有线段 x 条,
则 $x=(m-1)+(m-2)+\dots+3+2+1$,①
$\therefore x=1+2+3+\dots+(m-2)+(m-1)$.②
①+②,得 $2x=m+m+\dots+m=m(m-1)$.
$\therefore x=\frac{1}{2}m(m-1)$.
故该线段上共有$\frac{1}{2}m(m-1)$条线段.
(3)把 45 名同学看作线段上的 45 个点,每两名同学之间的 1 次握手看作 1 条线段,线段上有 45 个点,则该线段上共有线段的条数就等于握手的次数,因此一共要握手$\frac{1}{2}×45×(45-1)=990$(次).
∴共有 3+2+1=6(条)线段.
(2)设该线段上共有线段 x 条,
则 $x=(m-1)+(m-2)+\dots+3+2+1$,①
$\therefore x=1+2+3+\dots+(m-2)+(m-1)$.②
①+②,得 $2x=m+m+\dots+m=m(m-1)$.
$\therefore x=\frac{1}{2}m(m-1)$.
故该线段上共有$\frac{1}{2}m(m-1)$条线段.
(3)把 45 名同学看作线段上的 45 个点,每两名同学之间的 1 次握手看作 1 条线段,线段上有 45 个点,则该线段上共有线段的条数就等于握手的次数,因此一共要握手$\frac{1}{2}×45×(45-1)=990$(次).
解析
【分析】
首先，第(1)问数线段时按左端点分类计数，可避免重复或遗漏，依次统计不同左端点对应的线段后求和；第(2)问从特殊情况的计数方法，推广到线段上有m个点的一般情况，通过倒序相加法推导线段总数的公式；第(3)问将握手问题转化为线段计数模型，把同学看作线段上的点，握手看作线段，直接代入公式计算即可。
【解析】
(1) 按左端点分类计数：以A为左端点的线段有AC、AD、AB，共3条；以C为左端点的线段有CD、CB，共2条；以D为左端点的线段有DB，共1条。因此总线段数为$3+2+1=6$条。
(2) 设线段上共有线段$x$条，按左端点计数，以第一个点为左端点的线段有$(m-1)$条，第二个点为左端点的线段有$(m-2)$条，……，最后一个点为左端点的线段有0条，故$x=(m-1)+(m-2)+\dots+2+1$。将式子倒序得$x=1+2+\dots+(m-2)+(m-1)$，两式相加得$2x=m+m+\dots+m$（共$(m-1)$个$m$），即$2x=m(m-1)$，解得$x=\frac{1}{2}m(m-1)$。
(3) 将45名同学看作线段上的45个点，每两人握手对应1条线段，即转化为$m=45$时的线段计数问题。代入公式得$\frac{1}{2}×45×(45-1)=\frac{1}{2}×45×44=990$次。
【答案】
(1) 共有6条线段；(2) 共有$\frac{1}{2}m(m-1)$条线段；(3) 共握手990次。
【知识点】
线段计数、规律探究、数学建模
【点评】
本题从具体线段计数出发，逐步推导一般规律，再应用到实际握手问题，体现了从特殊到一般的数学思想，能培养学生的抽象思维和知识应用能力。
【难度系数】
0.5
首先，第(1)问数线段时按左端点分类计数，可避免重复或遗漏，依次统计不同左端点对应的线段后求和；第(2)问从特殊情况的计数方法，推广到线段上有m个点的一般情况，通过倒序相加法推导线段总数的公式；第(3)问将握手问题转化为线段计数模型，把同学看作线段上的点，握手看作线段，直接代入公式计算即可。
【解析】
(1) 按左端点分类计数：以A为左端点的线段有AC、AD、AB，共3条；以C为左端点的线段有CD、CB，共2条；以D为左端点的线段有DB，共1条。因此总线段数为$3+2+1=6$条。
(2) 设线段上共有线段$x$条，按左端点计数，以第一个点为左端点的线段有$(m-1)$条，第二个点为左端点的线段有$(m-2)$条，……，最后一个点为左端点的线段有0条，故$x=(m-1)+(m-2)+\dots+2+1$。将式子倒序得$x=1+2+\dots+(m-2)+(m-1)$，两式相加得$2x=m+m+\dots+m$（共$(m-1)$个$m$），即$2x=m(m-1)$，解得$x=\frac{1}{2}m(m-1)$。
(3) 将45名同学看作线段上的45个点，每两人握手对应1条线段，即转化为$m=45$时的线段计数问题。代入公式得$\frac{1}{2}×45×(45-1)=\frac{1}{2}×45×44=990$次。
【答案】
(1) 共有6条线段；(2) 共有$\frac{1}{2}m(m-1)$条线段；(3) 共握手990次。
【知识点】
线段计数、规律探究、数学建模
【点评】
本题从具体线段计数出发，逐步推导一般规律，再应用到实际握手问题，体现了从特殊到一般的数学思想，能培养学生的抽象思维和知识应用能力。
【难度系数】
0.5
11. (2024·吉林中考)如图,从长春站去往胜利公园,与其他道路相比,走人民大街路程最近,其蕴含的数学道理是
两点之间,线段最短
.答案
11.两点之间,线段最短
解析
【分析】首先明确长春站和胜利公园是两个确定的点，连接两点的不同路径中，线段的长度是最短的。人民大街是连接这两个点的线段，其他道路是连接这两点的折线，因此走人民大街路程最近，对应的数学道理就是两点之间线段最短。
【解析】长春站与胜利公园可看作平面内的两个点，人民大街是连接这两个点的线段，其余道路为连接这两个点的折线。根据线段的基本性质：两点之间，线段最短，可知走人民大街的路程最短，因此蕴含的数学道理是两点之间，线段最短。
【答案】两点之间，线段最短
【知识点】线段的性质
【点评】本题以实际生活中的路径选择为背景，考查线段的基本性质，将数学知识与生活场景结合，属于基础题型，难度较低，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】0.8
【解析】长春站与胜利公园可看作平面内的两个点，人民大街是连接这两个点的线段，其余道路为连接这两个点的折线。根据线段的基本性质：两点之间，线段最短，可知走人民大街的路程最短，因此蕴含的数学道理是两点之间，线段最短。
【答案】两点之间，线段最短
【知识点】线段的性质
【点评】本题以实际生活中的路径选择为背景，考查线段的基本性质，将数学知识与生活场景结合，属于基础题型，难度较低，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】0.8
