21. (8分)(1)如图1,在四边形ABCD中,∠A = ∠C = 90°,AB = CD,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)如图2,若四边形ABCD满足∠A = ∠C ＞ 90°,AB = CD,求证:四边形ABCD是平行四边形.

21. 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定和矩形的判定.
【解析】(1)证明:如题图1,连接 $BD$.
$\because ∠ A = ∠ C = 90°$,$AB = CD$,$BD = DB$.
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CDB(\mathrm{HL})$,
$\therefore AD = CB$,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
又$\because ∠ A = 90°$,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是矩形;
(2)证明:如题图2,分别过点 $B,D$ 作 $BE ⊥ AD$ 于点 $E$,$DF ⊥ BC$
于点 $F$.
$\because ∠ BAD = ∠ BCD$,$\therefore ∠ BAE = ∠ DCF$.
在 $△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中,$∠ AEB = ∠ CFD = 90°$,$∠ BAE = ∠ DCF$,
$AB = CD$.
$\therefore △ ABE ≌ △ CDF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BE = DF$,$AE = CF$,
由(1)同理可得,四边形 $EBFD$ 是矩形.
$\therefore ED = BF$,$\therefore ED - AE = BF - CF$,即 $AD = BC$.
$\because AB = CD$,$AD = BC$,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.

【分析】
（1）要证明四边形ABCD是矩形，先通过连接BD构造两个直角三角形，利用HL定理证明全等得到对边相等，先证四边形为平行四边形，再结合直角条件，依据矩形判定完成证明；（2）对于∠A和∠C均大于90°的情况，通过作高构造全等三角形，利用AAS证得全等后推导线段关系，再结合矩形性质得到边的等量关系，最终依据平行四边形判定完成证明。
【解析】
(1) 证明：如图1，连接BD。
∵ ∠A = ∠C = 90°，AB = CD，BD = DB，
∴ Rt△ABD ≌ Rt△CDB（HL），
∴ AD = CB，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
又
∵ ∠A = 90°，
∴ 四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
(2) 证明：如图2，分别过点B、D作BE ⊥ AD于点E，DF ⊥ BC于点F。
∵ ∠BAD = ∠BCD，
∴ ∠BAE = ∠DCF。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠CFD = 90° \\∠BAE = ∠DCF \\AB = CD\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDF（AAS），
∴ BE = DF，AE = CF。
由(1)同理可得，四边形EBFD是矩形，
∴ ED = BF，
∴ ED - AE = BF - CF，即AD = BC。
∵ AB = CD，AD = BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1) 四边形ABCD是矩形；(2) 四边形ABCD是平行四边形。
【知识点】
全等三角形的判定；矩形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题通过构造辅助线（连接对角线、作高），结合全等三角形性质推导边的关系，考查特殊四边形判定的综合应用，需掌握辅助线构造方法，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.5

22. (6分)已知$∠ MAN$,按要求完成下列尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).
(1)如图1,点$B,C$分别在射线$AM,AN$上,求作$□ ABDC$;
(2)如图2,$O$是$∠ MAN$内一点,求作线段$PQ$,使点$P,Q$分别在射线$AM,AN$上,且$O$是$PQ$的中点.

22. 【点拨】本题考查尺规作图,复杂作图,平行四边形的判定与性质.
【解析】(1)如图1,$□ ABDC$ 即为所求.

(2)如图2,线段 $PQ$ 即为所求.

【分析】
本题包含两个尺规作图任务：（1）作平行四边形ABDC，需利用平行四边形的判定定理，已知AB、AC分别在射线AM、AN上，只需构造点D使得AB与CD平行且相等，或AC与BD平行且相等即可；（2）作线段PQ使O为PQ中点，需利用线段中点的性质，即O是PQ中点等价于PO=OQ，可通过尺规作中心对称点的方法确定Q点。
【解析】
（1）作平行四边形ABDC的步骤：
① 以点B为圆心，线段AC的长度为半径画弧；
② 以点C为圆心，线段AB的长度为半径画弧，两弧在∠MAN内部交于点D；
③ 连接BD、CD，则四边形ABDC即为所求的平行四边形。
（2）作线段PQ的步骤：
① 在射线AM上任取一点P；
② 连接PO并延长，以点O为圆心，OP的长度为半径画弧，交射线AN于点Q；
③ 此时线段PQ即为所求，点O是PQ的中点。
【答案】
（1）所作的□ABDC如图1所示；（2）所作的线段PQ如图2所示。
【知识点】
尺规作图、平行四边形的判定、线段中点
【点评】
本题考查基本尺规作图，结合平行四边形的判定与线段中点的性质，要求学生掌握平行四边形的判定定理及尺规作线段中点的方法，属于基础作图题，难度适中。
【难度系数】
0.5

23. (6分)某中学组织学生去离学校15千米的农场,先遣队比大队提前20分钟出发,先遣队的速度是大队速度的1.2倍,结果先遣队比大队早到0.5小时.先遣队和大队的速度各是多少?

23. 【点拨】本题考查分式方程的应用.
【解析】设大队的速度是 $x$ 千米/时,则先遣队的速度是 $1.2x$ 千米/时,
根据题意得 $\dfrac{15}{1.2x}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{15}{x}-\dfrac{1}{2}$,
解得 $x=15$,
经检验,$x=15$ 是原分式方程的解,且符合题意,
$\therefore 1.2x=1.2×15=18$.
答:大队的速度是 15 千米/时,先遣队的速度是 18 千米/时.

【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路如下：
1. 运用行程问题核心公式：路程=速度×时间，变形得时间=路程÷速度；
2. 设未知数：根据“先遣队速度是大队的1.2倍”，设大队速度为$x$千米/时，则先遣队速度为$1.2x$千米/时；
3. 统一单位：将题目中20分钟换算为$\frac{1}{3}$小时，保证时间单位一致；
4. 找等量关系：先遣队比大队早出发20分钟且早到0.5小时，因此大队行驶15千米的时间减去先遣队行驶15千米的时间，等于早到时间减去提前出发时间；
5. 列分式方程求解，最后检验解的合理性（分式方程需检验，且速度需为正数，符合实际意义），再计算先遣队速度。
【解析】
解：设大队的速度是$x$千米/时，则先遣队的速度是$1.2x$千米/时。
因为20分钟=$\frac{1}{3}$小时，根据题意列方程：
$\frac{15}{1.2x} - \frac{1}{3} = \frac{15}{x} - \frac{1}{2}$
移项整理得：
$\frac{15}{x} - \frac{15}{1.2x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
计算右边：$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
左边通分计算：
$\frac{15 × 1.2 - 15}{1.2x} = \frac{18 - 15}{1.2x} = \frac{3}{1.2x} = \frac{2.5}{x}$
方程变为：
$\frac{2.5}{x} = \frac{1}{6}$
解得：$x = 15$
经检验，$x = 15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则先遣队的速度为：$1.2x = 1.2 × 15 = 18$（千米/时）
【答案】
大队的速度是15千米/时，先遣队的速度是18千米/时。
【知识点】
分式方程的应用、行程问题
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，关键在于找准时间差的等量关系，需注意单位统一，且分式方程求解后必须检验解的合理性，避免出现增根或不符合实际的解。
【难度系数】
0.5