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18. (6分)解分式方程.
(1)$\frac{3}{x+1}=\frac{6}{x-1}$;
(2)$\frac{1-x}{x-2}=\frac{1}{2-x}-2$.
(1)$\frac{3}{x+1}=\frac{6}{x-1}$;
(2)$\frac{1-x}{x-2}=\frac{1}{2-x}-2$.
答案
18. 【点拨】本题考查解分式方程.
【解析】(1)$\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{6}{x-1}$,
去分母,得 $3(x-1)=6(x+1)$,
去括号,得 $3x-3=6x+6$,
移项合并,得 $3x=-9$,
解得 $x=-3$,
经检验,$x=-3$ 是原方程的解;
(2)$\dfrac{1-x}{x-2}=\dfrac{1}{2-x}-2$,
去分母,得 $1-x=-1-2(x-2)$,
去括号,得 $1-x=-1-2x+4$,
移项合并,得 $x=2$,
检验:当 $x=2$ 时,$x-2=0$,是增根,
$\therefore$ 原方程无解.
【解析】(1)$\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{6}{x-1}$,
去分母,得 $3(x-1)=6(x+1)$,
去括号,得 $3x-3=6x+6$,
移项合并,得 $3x=-9$,
解得 $x=-3$,
经检验,$x=-3$ 是原方程的解;
(2)$\dfrac{1-x}{x-2}=\dfrac{1}{2-x}-2$,
去分母,得 $1-x=-1-2(x-2)$,
去括号,得 $1-x=-1-2x+4$,
移项合并,得 $x=2$,
检验:当 $x=2$ 时,$x-2=0$,是增根,
$\therefore$ 原方程无解.
解析
【分析】解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，关键步骤为去分母（两边同乘最简公分母），且必须检验所得解是否使原方程分母为0，若使分母为0则是增根，原方程无解。第(1)问分母为$x+1$和$x-1$，最简公分母是$(x+1)(x-1)$，去分母后转化为整式方程；第(2)问中分母$2-x$与$x-2$互为相反数，需先转化为同分母，确定最简公分母为$x-2$，去分母时注意符号变化，求解后必须检验。
【解析】(1)$\frac{3}{x+1}=\frac{6}{x-1}$，
去分母，得 $3(x-1)=6(x+1)$，
去括号，得 $3x-3=6x+6$，
移项合并，得 $3x=-9$，
解得 $x=-3$，
经检验，$x=-3$ 是原方程的解；
(2)$\frac{1-x}{x-2}=\frac{1}{2-x}-2$，
去分母，得 $1-x=-1-2(x-2)$，
去括号，得 $1-x=-1-2x+4$，
移项合并，得 $x=2$，
检验：当 $x=2$ 时，$x-2=0$，是增根，
$\therefore$ 原方程无解。
【答案】(1)$x=-3$；(2)原方程无解
【知识点】解分式方程，分式方程的增根
【点评】本题考查分式方程的解法，需严格遵循“去分母→解整式方程→检验”的步骤，重点注意去分母时的符号处理，以及增根的判断（使分母为0的解为增根，此时原方程无解），避免因遗漏检验导致错误。
【难度系数】0.6
【解析】(1)$\frac{3}{x+1}=\frac{6}{x-1}$，
去分母，得 $3(x-1)=6(x+1)$，
去括号，得 $3x-3=6x+6$，
移项合并，得 $3x=-9$，
解得 $x=-3$，
经检验，$x=-3$ 是原方程的解；
(2)$\frac{1-x}{x-2}=\frac{1}{2-x}-2$，
去分母，得 $1-x=-1-2(x-2)$，
去括号，得 $1-x=-1-2x+4$，
移项合并，得 $x=2$，
检验：当 $x=2$ 时，$x-2=0$，是增根，
$\therefore$ 原方程无解。
【答案】(1)$x=-3$；(2)原方程无解
【知识点】解分式方程，分式方程的增根
【点评】本题考查分式方程的解法，需严格遵循“去分母→解整式方程→检验”的步骤，重点注意去分母时的符号处理，以及增根的判断（使分母为0的解为增根，此时原方程无解），避免因遗漏检验导致错误。
【难度系数】0.6
19. (4分)我们都知道,数学来源于生活,生活中处处有数学,例如:现有 $ a $ 克糖水,其中含有 $ b $ 克糖($ a ＞ b ＞ 0 $),则糖水的浓度(即糖的质量与糖水的质量比)是 $ \dfrac{b}{a} $,生活经验告诉我们,在糖水中加水,糖水会变淡. 请运用所学知识证明这一道理.
答案
19. 【点拨】本题考查分式的运算,列代数式,作差比较法.
【解析】设加入 $m(m＞0)$ 克水,则糖水的浓度为 $\dfrac{b}{a+m}$,
$\because \dfrac{b}{a}-\dfrac{b}{a+m}=\dfrac{b(a+m)-ab}{a(a+m)}=\dfrac{bm}{a(a+m)}＞0$,
$\therefore \dfrac{b}{a}＞\dfrac{b}{a+m}$,
$\therefore$ 加水后糖水浓度变小,
$\therefore$ 在糖水中加水,糖水会变淡.
【解析】设加入 $m(m＞0)$ 克水,则糖水的浓度为 $\dfrac{b}{a+m}$,
$\because \dfrac{b}{a}-\dfrac{b}{a+m}=\dfrac{b(a+m)-ab}{a(a+m)}=\dfrac{bm}{a(a+m)}＞0$,
$\therefore \dfrac{b}{a}＞\dfrac{b}{a+m}$,
$\therefore$ 加水后糖水浓度变小,
$\therefore$ 在糖水中加水,糖水会变淡.
解析
【分析】本题利用分式的作差比较法证明生活中的糖水变淡问题，解题思路为：先设加入水的质量为$m(m＞0)$，分别表示出加水前后糖水的浓度，再通过作差法比较两个浓度的大小，根据差的正负判断浓度变化，进而证明加水后糖水变淡。
【解析】设加入$m(m＞0)$克水，
原来糖水的浓度为$\dfrac{b}{a}$，
加入水后糖水的浓度为$\dfrac{b}{a+m}$，
计算两者的差：
$\dfrac{b}{a} - \dfrac{b}{a+m} = \dfrac{b(a+m) - ab}{a(a+m)} = \dfrac{bm}{a(a+m)}$，
因为$a＞b＞0$，$m＞0$，所以分子$bm＞0$，分母$a(a+m)＞0$，因此$\dfrac{bm}{a(a+m)}＞0$，
即$\dfrac{b}{a} ＞ \dfrac{b}{a+m}$，说明加水后糖水浓度变小，故糖水会变淡。
【答案】在糖水中加水，糖水会变淡
【知识点】分式的运算、作差比较法、列代数式
【点评】本题将数学知识与生活实际紧密结合，通过代数方法解决生活中的常见问题，考查了分式的运算及作差比较法的应用，体现了数学的实用性，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】设加入$m(m＞0)$克水，
原来糖水的浓度为$\dfrac{b}{a}$，
加入水后糖水的浓度为$\dfrac{b}{a+m}$，
计算两者的差：
$\dfrac{b}{a} - \dfrac{b}{a+m} = \dfrac{b(a+m) - ab}{a(a+m)} = \dfrac{bm}{a(a+m)}$，
因为$a＞b＞0$，$m＞0$，所以分子$bm＞0$，分母$a(a+m)＞0$，因此$\dfrac{bm}{a(a+m)}＞0$，
即$\dfrac{b}{a} ＞ \dfrac{b}{a+m}$，说明加水后糖水浓度变小，故糖水会变淡。
【答案】在糖水中加水，糖水会变淡
【知识点】分式的运算、作差比较法、列代数式
【点评】本题将数学知识与生活实际紧密结合，通过代数方法解决生活中的常见问题，考查了分式的运算及作差比较法的应用，体现了数学的实用性，难度适中。
【难度系数】0.5
20. (6分)某校开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程,随机抽取了部分学生对这三项活动课程的兴趣情况进行了调查(每人从中只能选一项),并将调查结果绘制成下面两幅统计图,请你结合图中信息解答问题.
(1)将条形统计图补充完整;
(2)本次抽样调查的样本容量是
(3)已知该校有1 200名学生,请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.
(1)将条形统计图补充完整;
(2)本次抽样调查的样本容量是
100
;(3)已知该校有1 200名学生,请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.
答案
20. 【点拨】本题考查条形统计图,扇形统计图的应用,读图能力,用样本估计总体.
【解析】(1)根据扇形统计图可知女生中喜欢武术的人占 20%,
条形统计图中喜欢武术的女生有 10 人.
$\therefore$ 抽取的女生人数为 $10÷20\%=50$(人),
$\therefore$ 女生中喜欢舞蹈的人数为 $50-10-16=24$(人).
补全条形统计图如图所示.
喜欢三类活动课程的学生人数条形统计图
(2)本次调查的样本容量是 $30+6+14+50=100$.
故答案为 100.
(3)样本中喜欢剪纸的人数为 $16+14=30$(人),样本容量
为 100.
$1\ 200×\dfrac{30}{100}=360$(人).
$\therefore$ 估计全校学生中喜欢剪纸的人数为 360 人.
解析
【分析】
要解决这道题，需结合条形统计图和扇形统计图的关联信息逐步推导：首先，根据扇形图中女生喜欢武术的占比及条形图中女生喜欢武术的人数，求出女生总人数，进而补全条形图；其次，将所有男生人数与女生总人数相加得到样本容量；最后，利用样本中喜欢剪纸的人数占比，结合全校总人数估计喜欢剪纸的全校人数。
【解析】
(1) 由扇形统计图可知，女生中喜欢武术的人数占女生总人数的20%，结合条形统计图中女生喜欢武术的有10人，可得女生总人数为：$10 ÷ 20\% = 50$（人）。
女生中喜欢剪纸的有16人，因此女生中喜欢舞蹈的人数为：$50 - 10 - 16 = 24$（人），据此补全条形统计图（女生舞蹈人数为24）。
(2) 计算男生总人数：$30 + 6 + 14 = 50$（人），女生总人数为50人，因此样本容量为：$50 + 50 = 100$。
(3) 样本中喜欢剪纸的总人数为：$14 + 16 = 30$（人），样本中喜欢剪纸的人数占比为$\frac{30}{100}$，全校共1200名学生，因此估计全校喜欢剪纸的人数为：$1200 × \frac{30}{100} = 360$（人）。
【答案】
(1) 补全后的条形统计图：女生舞蹈对应人数为24；
(2) 100；
(3) 360人。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，需结合两种统计图的关联信息推导未知量，再利用样本估计总体，解题关键是找准对应的数据关系，属于初中统计的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合条形统计图和扇形统计图的关联信息逐步推导：首先，根据扇形图中女生喜欢武术的占比及条形图中女生喜欢武术的人数，求出女生总人数，进而补全条形图；其次，将所有男生人数与女生总人数相加得到样本容量；最后，利用样本中喜欢剪纸的人数占比，结合全校总人数估计喜欢剪纸的全校人数。
【解析】
(1) 由扇形统计图可知，女生中喜欢武术的人数占女生总人数的20%，结合条形统计图中女生喜欢武术的有10人，可得女生总人数为：$10 ÷ 20\% = 50$（人）。
女生中喜欢剪纸的有16人，因此女生中喜欢舞蹈的人数为：$50 - 10 - 16 = 24$（人），据此补全条形统计图（女生舞蹈人数为24）。
(2) 计算男生总人数：$30 + 6 + 14 = 50$（人），女生总人数为50人，因此样本容量为：$50 + 50 = 100$。
(3) 样本中喜欢剪纸的总人数为：$14 + 16 = 30$（人），样本中喜欢剪纸的人数占比为$\frac{30}{100}$，全校共1200名学生，因此估计全校喜欢剪纸的人数为：$1200 × \frac{30}{100} = 360$（人）。
【答案】
(1) 补全后的条形统计图：女生舞蹈对应人数为24；
(2) 100；
(3) 360人。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，需结合两种统计图的关联信息推导未知量，再利用样本估计总体，解题关键是找准对应的数据关系，属于初中统计的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
