24. (8分)图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)如图1,点P,M在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于点M的对称点Q,连接AQ,QC,CP,PA,则四边形AQCP的周长为________;
(2)在图2中画出一个以线段AC为对角线,面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方形的顶点上.

24. 【点拨】本题考查矩形的性质,作图及轴对称变换作图,勾股定理.
【解析】(1)如图1,正方形 $AQCP$ 即为所求.
$AQ=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,
则四边形 $AQCP$ 的周长为 $4AQ=4\sqrt{10}$. 故答案为 $4\sqrt{10}$.

(2)如图2,矩形 $ABCD$ 即为所求.

【分析】
第(1)问：要作点P关于点M的对称点Q，根据中心对称的性质，对称点的连线被对称中心平分，只需延长PM到Q，使MQ=PM即可得到Q。得到Q后，四边形AQCP的四边长度可通过勾股定理计算，判断其为菱形，进而求周长。第(2)问：要画以AC为对角线的矩形，需利用矩形四个角为直角、对角线互相平分且相等的性质，结合方格纸的格点，找到满足面积为6的点B和D，使AB⊥BC，AD⊥DC，且边长乘积为6。
【解析】
(1) ① 作点Q：连接PM并延长，取MQ=PM，得到点Q；
② 计算边长：由方格可知，A到Q的水平距离为3，垂直距离为1，根据勾股定理，$AQ=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
③ 四边形AQCP四边相等，故周长为$4×\sqrt{10}=4\sqrt{10}$。
(2) 根据矩形的性质，以AC为对角线，在方格纸中找到格点B、D，使得AB⊥BC，AD⊥DC，且AB=$\sqrt{2}$，BC=$3\sqrt{2}$，此时矩形面积为$\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$，连接各点得到矩形ABCD。
【答案】
(1) $4\sqrt{10}$；(2) 矩形ABCD（图略，对应参考答案的作图）
【知识点】
轴对称作图、矩形性质、勾股定理
【点评】
本题结合方格纸考查作图与几何计算，需掌握中心对称作图方法和矩形的判定性质，利用勾股定理计算边长，难度中等，适合中等水平学生作答。
【难度系数】
0.5

25. (8分)平行的思考.
【作平行】
(1)如图1,过P作$l_{2}// AB$;(限用圆规和没有刻度的直尺,保留作图痕迹,不必写出作法和理由)
【折平行】
现有一张长方形纸片ABCD,小明和小丽分别折平行线.
小明:如图2,折出BD,展平后再折叠纸片,使点A,C分别落在BD所在直线上的点$A',C'$处,展平纸片,得到折痕BM,DN.
小丽:如图3,将边MC折至$MC'$处,再将边AD折至$A'D'$处,使得$MC'$和$A'D'$在一条直线上,展平纸片,得到折痕MN,EF.

第25题图1

第25题图2

第25题图3
【证平行】
(2)小明发现$BM// DN$,小丽发现$MN// EF$. 请你选择其中一个发现进行证明.

25. 【点拨】本题考查基本作图,过直线外一点作已知直线的平行线,矩形的性质、平行线的判定.
【解析】(1)如图所示,直线 $l_2$ 即为所求直线.

(2)证明:如题图2,$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore AB // CD$,
$\therefore ∠ ABD = ∠ BDC$,
由折叠可知 $∠ ABM = ∠ DBM = \dfrac{1}{2}∠ ABD$,$∠ CDN = ∠ BDN = \dfrac{1}{2}∠ BDC$,
$\therefore ∠ DBM = ∠ BDN$,
$\therefore BM // DN$.
如题图3,由折叠可知 $∠ D = ∠ D' = 90°$,$∠ C = ∠ A'C'N = 90°$,
$∠ DFE = ∠ EFD'$,$∠ CNM = ∠ C'NM$,
$\therefore ∠ D' = ∠ D'C'N = 90°$,
$\therefore D'F // C'N$,
$\therefore ∠ D'FN = ∠ C'NF$,
设 $∠ D'FN = ∠ C'NF = x$,
$\therefore ∠ D'FE = \dfrac{180° + x}{2}$,$∠ MNC' = \dfrac{180° - x}{2}$,
$\therefore ∠ DFE = \dfrac{180° + x}{2}$,$∠ MNF = \dfrac{180° - x}{2} + x = \dfrac{180° + x}{2}$,
$\therefore ∠ DFE = ∠ MNF$,$\therefore EF // MN$.

【分析】
本题包含尺规作图与几何证明两部分：(1) 过点P作AB的平行线，需用尺规作同位角相等的方法，保留作图痕迹；(2) 证明两条直线平行，可利用矩形的性质和折叠的角相等，通过内错角相等判定平行，选择其中一组证明即可。
【解析】
(1) 尺规作图：以点P为顶点，在截线与AB形成的角的同侧，作一个与该角相等的同位角，得到直线$l_2$，即为所求的平行线，作图痕迹保留（如图）。
(2) 证明$BM//DN$：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠ABD = ∠BDC$（两直线平行，内错角相等）。
由折叠性质得：$∠ABM = ∠DBM = \dfrac{1}{2}∠ABD$，$∠CDN = ∠BDN = \dfrac{1}{2}∠BDC$，
∴ $∠DBM = ∠BDN$，
∴ $BM// DN$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 直线$l_2$（作图痕迹如图）；
(2) $BM// DN$；

【知识点】
基本作图、平行线判定、矩形性质
【点评】
本题结合尺规作图与折叠问题，考查平行线的判定，需掌握尺规作平行线的方法，以及利用矩形和折叠的性质推导角的关系，进而判定平行，是几何基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5