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26. (10 分)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AC=60\ \mathrm{cm}$,$∠ A=60°$,点$D$从点$C$出发沿$CA$方向以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$匀速运动,同时点$E$从点$A$出发沿$AB$方向以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点$D,E$运动的时间是$t$秒$(0 ＜ t≤15)$.过点$D$作$DF⊥ BC$于点$F$,连接$DE,EF$.(备注:在直角三角形中,$30°$角所对的直角边是斜边的一半)
(1)求证:$AE = DF$;
(2)四边形$AEFD$能够成为菱形吗? 如果能,求出相应的$t$值;如果不能,说明理由;
(3)当$t$为何值时,$△ DEF$为直角三角形? 请说明理由.
(1)求证:$AE = DF$;
(2)四边形$AEFD$能够成为菱形吗? 如果能,求出相应的$t$值;如果不能,说明理由;
(3)当$t$为何值时,$△ DEF$为直角三角形? 请说明理由.
答案
26. 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,含$30°$角的直角三
角形的性质,关键在于讨论 $△ DEF$ 为直角三角形时,要分
$△ DEF$ 的三个角分别为 $90°$ 三种情况进行讨论.
【解析】(1)证明:$\because$ 在 $△ ABC$ 中,$∠ B=90°$,$∠ A=60°$,
$\therefore ∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-60°-90°=30°$.
$\because DF⊥ BC$,且由题意可得,$CD=4t$,$AE=2t$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$DF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}×4t=2t$.
$\therefore AE=DF$.
(2)能. 理由如下:
$\because ∠ B=90°$,$DF⊥ BC$,
$\therefore DF// AB$,$DF=AE$,
$\therefore$ 四边形 $AEFD$ 是平行四边形.
当 $AD=AE$ 时,平行四边形 $AEFD$ 是菱形.
$\because AC=60\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AD=AC-CD=60-4t$.
$\because AE=2t$,$\therefore 60-4t=2t$.
解得 $t=10$.
即当 $t=10$ 时,四边形 $AEFD$ 能够成为菱形.
(3)当 $t=\dfrac{15}{2}$ 或 $t=12$ 时,$△ DEF$ 为直角三角形. 理由如下:
①若 $∠ EDF=90°$,则 $DE// BC$,
$\therefore ∠ ADE=∠ C=30°$.
$\therefore AD=2AE$.
即 $60-4t=2×2t$,解得 $t=\dfrac{15}{2}$.
②当 $∠ DEF=90°$ 时,$DE⊥ EF$,
又$\because$ 四边形 $AEFD$ 是平行四边形,
$\therefore AD// EF$. $\therefore DE⊥ AD$.
$\therefore △ ADE$ 是直角三角形,$∠ ADE=90°$.
$\because ∠ A=60°$,$\therefore ∠ DEA=30°$.
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}AE$.
$\therefore 60-4t=\dfrac{1}{2}×2t=t$,解得 $t=12$.
③当 $∠ DFE=90°$ 时,$D$ 点到达 $A$ 点,$E$ 点到达 $B$ 点,此时 $D,E,F$
三点共线.
$\therefore$ 当 $∠ DFE=90°$ 时,$△ DEF$ 不存在.
综上所述,当 $t=\dfrac{15}{2}$ 或 $t=12$ 时,$△ DEF$ 为直角三角形.
角形的性质,关键在于讨论 $△ DEF$ 为直角三角形时,要分
$△ DEF$ 的三个角分别为 $90°$ 三种情况进行讨论.
【解析】(1)证明:$\because$ 在 $△ ABC$ 中,$∠ B=90°$,$∠ A=60°$,
$\therefore ∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-60°-90°=30°$.
$\because DF⊥ BC$,且由题意可得,$CD=4t$,$AE=2t$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$DF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}×4t=2t$.
$\therefore AE=DF$.
(2)能. 理由如下:
$\because ∠ B=90°$,$DF⊥ BC$,
$\therefore DF// AB$,$DF=AE$,
$\therefore$ 四边形 $AEFD$ 是平行四边形.
当 $AD=AE$ 时,平行四边形 $AEFD$ 是菱形.
$\because AC=60\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AD=AC-CD=60-4t$.
$\because AE=2t$,$\therefore 60-4t=2t$.
解得 $t=10$.
即当 $t=10$ 时,四边形 $AEFD$ 能够成为菱形.
(3)当 $t=\dfrac{15}{2}$ 或 $t=12$ 时,$△ DEF$ 为直角三角形. 理由如下:
①若 $∠ EDF=90°$,则 $DE// BC$,
$\therefore ∠ ADE=∠ C=30°$.
$\therefore AD=2AE$.
即 $60-4t=2×2t$,解得 $t=\dfrac{15}{2}$.
②当 $∠ DEF=90°$ 时,$DE⊥ EF$,
又$\because$ 四边形 $AEFD$ 是平行四边形,
$\therefore AD// EF$. $\therefore DE⊥ AD$.
$\therefore △ ADE$ 是直角三角形,$∠ ADE=90°$.
$\because ∠ A=60°$,$\therefore ∠ DEA=30°$.
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}AE$.
$\therefore 60-4t=\dfrac{1}{2}×2t=t$,解得 $t=12$.
③当 $∠ DFE=90°$ 时,$D$ 点到达 $A$ 点,$E$ 点到达 $B$ 点,此时 $D,E,F$
三点共线.
$\therefore$ 当 $∠ DFE=90°$ 时,$△ DEF$ 不存在.
综上所述,当 $t=\dfrac{15}{2}$ 或 $t=12$ 时,$△ DEF$ 为直角三角形.
解析
【分析】
本题是直角三角形背景下的几何动点综合题，分三步求解：
1. 证明AE=DF：利用Rt△ABC中∠C=30°，结合直角三角形中30°角对的直角边是斜边一半，求出DF的长度，与AE的表达式对比即可；
2. 判断四边形AEFD是否为菱形：先由DF//AB且AE=DF证得是平行四边形，再根据菱形“邻边相等”的性质，令AD=AE列方程求解；
3. 讨论△DEF为直角三角形：分三个角分别为90°的情况分析，结合平行四边形性质和直角三角形性质列方程，舍去不符合题意的解，得到t的值。
【解析】
(1) 证明：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=30°。
由题意得，CD=4t，AE=2t，
∵DF⊥BC，
∴△CDF是直角三角形，
在Rt△CDF中，∠C=30°，
∴DF=½CD=½×4t=2t，
∴AE=DF。
(2) 四边形AEFD能成为菱形，理由如下：
∵∠B=90°，DF⊥BC，
∴DF//AB，
又
∵AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
当平行四边形AEFD为菱形时，需邻边相等，即AD=AE，
∵AC=60cm，
∴AD=AC−CD=60−4t，
又AE=2t，
∴60−4t=2t，
解得t=10，
即当t=10时，四边形AEFD是菱形。
(3) 当△DEF为直角三角形时，分三种情况讨论：
① 若∠EDF=90°，则DE//BC，
∴∠ADE=∠C=30°，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴AD=2AE，
即60−4t=2×2t，解得t=15/2；
② 若∠DEF=90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD//EF，
∴DE⊥AD，即△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=½AE，即60−4t=½×2t，解得t=12；
③ 若∠DFE=90°，此时D到达A点、E到达B点，D、E、F三点共线，△DEF不存在，舍去。
综上，当t=15/2或t=12时，△DEF为直角三角形。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 能，t=10；(3) t=15/2或t=12
【知识点】
直角三角形性质、平行四边形与菱形判定、动点问题
【点评】
本题综合考查直角三角形性质、平行四边形与菱形的判定，属于几何动点综合题，解题时需结合图形性质分析，第三问需分情况讨论直角顶点，注意舍去不符合题意的解，对逻辑分析能力要求较高。
【难度系数】
0.5
本题是直角三角形背景下的几何动点综合题，分三步求解：
1. 证明AE=DF：利用Rt△ABC中∠C=30°，结合直角三角形中30°角对的直角边是斜边一半，求出DF的长度，与AE的表达式对比即可；
2. 判断四边形AEFD是否为菱形：先由DF//AB且AE=DF证得是平行四边形，再根据菱形“邻边相等”的性质，令AD=AE列方程求解；
3. 讨论△DEF为直角三角形：分三个角分别为90°的情况分析，结合平行四边形性质和直角三角形性质列方程，舍去不符合题意的解，得到t的值。
【解析】
(1) 证明：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=30°。
由题意得，CD=4t，AE=2t，
∵DF⊥BC，
∴△CDF是直角三角形，
在Rt△CDF中，∠C=30°，
∴DF=½CD=½×4t=2t，
∴AE=DF。
(2) 四边形AEFD能成为菱形，理由如下：
∵∠B=90°，DF⊥BC，
∴DF//AB，
又
∵AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
当平行四边形AEFD为菱形时，需邻边相等，即AD=AE，
∵AC=60cm，
∴AD=AC−CD=60−4t，
又AE=2t，
∴60−4t=2t，
解得t=10，
即当t=10时，四边形AEFD是菱形。
(3) 当△DEF为直角三角形时，分三种情况讨论：
① 若∠EDF=90°，则DE//BC，
∴∠ADE=∠C=30°，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴AD=2AE，
即60−4t=2×2t，解得t=15/2；
② 若∠DEF=90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD//EF，
∴DE⊥AD，即△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=½AE，即60−4t=½×2t，解得t=12；
③ 若∠DFE=90°，此时D到达A点、E到达B点，D、E、F三点共线，△DEF不存在，舍去。
综上，当t=15/2或t=12时，△DEF为直角三角形。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 能，t=10；(3) t=15/2或t=12
【知识点】
直角三角形性质、平行四边形与菱形判定、动点问题
【点评】
本题综合考查直角三角形性质、平行四边形与菱形的判定，属于几何动点综合题，解题时需结合图形性质分析，第三问需分情况讨论直角顶点，注意舍去不符合题意的解，对逻辑分析能力要求较高。
【难度系数】
0.5
